资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的四个结论，其中正确的个数为（ ）
①2a+b＝0②4a﹣2b+c＜0③ac＞0④当y＞0时，﹣1＜x＜4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在半径为6cm的圆中,长为6cm的弦所对的圆周角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
4．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，为外一点，分别切于点切于点且分别交于点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，若点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
7．二次函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ）
A．1或－3 B．5或－3 C．－5或3 D．－1或3
8．下图中几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝( )
A．70° B．110° C．120° D．140°
10．已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( )
A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3
11．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，⊙O的半径为4，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，OD=2，则∠BAC的度数是（ ）．
A．55° B．60° C．65° D．70°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则得到的抛物线解析式是________.（结果写成顶点式）
14．点在抛物线上，则__________．（填“>”，“<”或“=”）.
15．在直角坐标系中，点A（-7，）关于原点对称的点的坐标是_____．
16．已知点A(3，y1)、B(2，y2)都在抛物线y＝﹣(x+1)2+2上，则y1与y2的大小关系是_____．
17．二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____．
18．如图，与⊙相切于点，，，则⊙的半径为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2BO，AC＝6，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）如图，中，是的角平分线，，在边上，以为直径的半圆经过点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，的半径为，求图中阴影部分的面积．(最后结果保留根号和)
21．（8分）如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图，测得其灯臂长为灯翠长为,底座厚度为根据使用习惯，灯臂的倾斜角固定为，
(1)当转动到与桌面平行时,求点到桌面的距离；
(2)在使用过程中发现，当转到至时，光线效果最好，求此时灯罩顶端到桌面的高度(参考数据:，结果精确到个位).
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是 ；
（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．
23．（10分）如图1，内接于,AD是直径，的平分线交BD于H，交于点C，连接DC并延长，交AB的延长线于点E.
（1）求证：；
（2）若，求的值
（3）如图2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若，求的面积.
24．（10分）如图，与交于点，过点，交与点，交与点F，，，，.
(1)求证：
(2)若，求证：
25．（12分）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的两个交点分别为点(，)和点．
（1）求的值和点的坐标；
（2）如果点为轴上的一点，且∠直接写出点A的坐标．
26．如图，矩形中，，，点为边延长线上的一点，过的中点作交边于，交边的延长线于，，交边于，交边于
（1）当时，求的值；
（2）猜想与的数量关系，并证明你的猜想
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.
【详解】当，，
所以∽,故条件①能判定相似，符合题意；
当，，
所以∽，故条件②能判定相似，符合题意；
当，
即AC：：AC，
因为
所以∽，故条件③能判定相似，符合题意；
当，即PC：：AB，
而，
所以条件④不能判断和相似，不符合题意；
①②③能判定相似，故选D．
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.
2、B
【分析】①函数对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a，即可求解；②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，即可求解；③a＜0，c＞0，故ac＜0，即可求解；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，即可求解．
【详解】点B坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，则点A（3，0），
①函数对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a，故①正确，符合题意；
②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确，符合题意；
③a＜0，c＞0，故ac＜0，故③错误，不符合题意；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④错误，不符合题意；
故选：B．
本题考查二次函数图像问题，熟悉二次函数图形利用数形结合解题是本题关键.
3、C
【解析】试题解析：如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，
连接OA、OB，
因为AB=OA=OB=6，
所以，∠AOB=60°，
根据圆周角定理知，∠C=∠AOB=30°，
根据圆内接四边形的性质可知，∠D=180°-∠C=150°，
所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．
故选C．
4、B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形．
故选B．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5、C
【分析】根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=4，
∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，
∴CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，
故选：C．
本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
6、C
【解析】设PN=a，PM=b，则ab=6，∵P点在第二象限，∴P（-a，b），代入y=中，得k=-ab=-6，故选C．
7、B
【分析】由二次函数y=x2-（m-1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，可知△=0，继而求得答案．
【详解】解：∵二次函数y=x2-（m-1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=b2-4ac=[-（m-1）]2-4×1×4=0，
∴（m-1）2=16，
解得：m-1=±4，
∴m1=5，m2=-1．
∴m的值为5或-1．
故选：B．
此题考查了抛物线与x轴的交点问题，注意掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8、D
【分析】根据左视图是从左面看到的图形，即可．
【详解】从左面看从左往右的正方形个数分别为1，2，
故选D．
本题主要考查几何体的三视图，理解左视图是从左面看到的图形，是解题的关键．
9、D
【分析】作所对的圆周角∠ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠ADB＝70°，然后根据圆周角定理求解．
【详解】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选D．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半
10、B
【解析】试题分析：若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.
考点：函数图像与x轴交点的特点.
11、D
【分析】可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【详解】A．一次函数y=ax+c与y轴交点应为(0，c)，二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点也应为(0，c)，图象不符合，故本选项错误；
B．由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C．由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D．由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
本题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来解答这种数形结合题是一种很好的方法．
12、B
【分析】首先连接OB，由OD⊥BC，根据垂径定理，可得∠BOC=2∠DOC，又由OD=1，⊙O的半径为2，易求得∠DOC的度数，然后由勾股定理求得∠BAC的度数．
【详解】连接OB，
∵OD⊥BC，
∴∠ODC=90°，
∵OC=2，OD=1，
∴cos∠COD=，
∴∠COD=60°，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOC=2∠DOC=120°，
∴∠BAC=∠BOC=60°.
故选B.
此题考查圆周角定理、垂径定理，解题关键在于利用圆周角定理得出两角之间的关系.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=x2向左平移3个单位后所得直线解析式为：y=(x+3)2；
再向下平移2个单位为：．
故答案为：
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14、>
【分析】把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值即得答案.
【详解】解：把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得：，，∴>.
故答案为：>.
本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于基本题型，掌握比较的方法是解答关键.
15、（7，）．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解：点A（-7，）关于原点对称的点的坐标是：（7，）．
故答案为：（7，）．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
16、y1＜y1
【分析】先求得函数的对称轴为，再判断、在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系．
【详解】∵函数y=﹣(x+1)1+1的对称轴为，
∴、在对称轴右侧，
∵抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且3＞1，
∴y1＜y1．
故答案为：y1＜y1．
本题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出答案是解题关键．
17、y＝2（x+2）2﹣1
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+2）2，即y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+2）2向下平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+2）2﹣1，即y＝2（x+2）2﹣1．
故答案为：y＝2（x+2）2﹣1．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
18、
【解析】与⊙相切于点，得出△ABO为直角三角形，再由勾股定理计算即可．
【详解】解：连接OB，
∵与⊙相切于点，
∴OB⊥AB，△ABO为直角三角形，
又∵，，
由勾股定理得
故答案为：
本题考查了切线的性质，通过切线可得垂直，进而可应用勾股定理计算，解题的关键是熟知切线的性质．
三、解答题（共78分）
19、（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6）；②点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
【解析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．
【详解】（1）∵B（1，0），
∴OB=1，
∵OC=2OB=2，
∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC=2，
∴=2，
∴=2，
∴AC=6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，
设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE=DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），
x=1（舍）或﹣1，
∴P（﹣1，6）；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，
BM2=（1+1）2+y2=4+y2，
AB2=（1+2）2+62=45，
分三种情况：
i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，
解得：y=3，
∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，
∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，y=﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，
∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，y=，
∴M（﹣1，）；
综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．
20、（1）证明见解析；（2）6﹣．
【分析】（1）连接OE．根据OB＝OE得到∠OBE＝∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB＝∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C＝90°得到∠AEO＝∠C＝90°证得结论AC是⊙O的切线．
（2）连接OF，利用S阴影部分＝S梯形OECF−S扇形EOF求解即可．
【详解】（1）连接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°
又∵OE为半径∴AC是圆O的切线
（2）连接OF．
∵圆O的半径为4，∠A=30° ，∴AO=2OE=8，
∴AE=4，∠AOE=60°，
∴AB=12，
∴BC=AB=6 AC=6，
∴CE=AC﹣AE=2．
∵OB=OF，∠ABC=60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∠EOF=60°．
∴S梯形OECF=（2+4）×2=6． S扇形EOF=
∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6﹣．
本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
21、（1）点到桌面的距离为；（2）灯罩顶端到桌面的高度约为．
【分析】（1）作CM⊥EF于M，BP⊥AD于P，交EF于N，则CM＝BN，PN＝3，由直角三角形的性质得出AP＝AB＝14，BP＝AP＝14，得出CM＝BN＝BP＋PN＝14＋3即可；
（2）作CM⊥EF于M，作BQ⊥CM于Q，BP⊥AD于P，交EF于N，则∠QBN＝90°，CM＝BN，PN＝3，由（1）得QM＝BN，求出∠CBQ＝25，由三角函数得出CQ＝BC×sin25，得出CM＝CQ＋QM即可．
【详解】解当转动到与桌面平行时，
如图2所示:作于于,交于则
，
即点到桌面的距离为;
作于，作于于，交于,如图3所示:
则，
由得
，
在中，
,
即此时灯罩顶端到桌面的高度约为.
本题考查了解直角三角形、翻折变换的性质、含30角的直角三角形的性质等知识；通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22、（2）（2，0）；（2）0≤x≤2；（3）（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）
【分析】（2）根据已知条件将A点、C点代入抛物线即可求解；
（2）观察直线在抛物线上方的部分，根据抛物线与直线的交点坐标即可求解；
（3）先设动点M的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可求解．
【详解】（2）因为直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A，C两点，
所以当x＝0时，y＝2，所以C（0，2）
当y＝0时，x＝2，所以A（2，0）
因为抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，
所以c＝2，2+b+2＝0，解得b＝﹣6，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+2．
当y＝0时，0＝x2﹣6x+2．解得x2＝2，x2＝2．
所以B点坐标为（2，0）．
答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+2，B点坐标为（2，0）；
（2）观察图象可知：
x2+bx+c≤﹣2x+2的解集是0≤x≤2．
故答案为0≤x≤2．
（3）设M（m，m2﹣6m+2）
因为S△ABM＝S△ABC＝×4×2＝3．
所以×4•|m2﹣6m+2|＝3
所以|m2﹣6m+2|＝±4．
所以m2﹣6m+9＝0或m2﹣6m+2＝0
解得m2＝m2＝3或m＝3±2．
所以M点的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．
答：此时点M的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23、（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用ASA判定△ACD≌△ACE即可推出AE=AD；
（2）连接OC交BD于G，设，根据垂径定理的推论可得出OC垂直平分BD，进而推出OG为中位线，再判定，利用对应边成比例即可求出的值；
（3）连接OC交BD于G，由（2）可知：OC∥AB，OG=AB，然后利用ASA判定△BHA≌△GHC，设，则，再判定，利用对应边成比例求出m的值，进而得到AB和AD的长，再用勾股定理求出BD，可求出△BED的面积，由C为DE的中点可得△BEC为△BED面积的一半，即可得出答案.
【详解】（1）证明：∵AD是的直径
∵AC平分
在△ACD和△ACE中，
∵∠ACD=∠ACE，AC=AC，∠DAC=∠EAC
∴△ACD≌△ACE（ASA）
（2）如图，连接OC交BD于G，
，设，
则，OC=AD=
∴OC垂直平分BD
又∵O为AD的中点
∴OG为△ABD的中位线
∴OC∥AB，OG=，CG=
（3）如图，连接OC交BD于G，
由（2）可知：OC∥AB，OG=AB
∴∠BHA=∠GCH
在△BHA和△GHC中，
∵∠BHA=∠GCH，AH=CH，∠BHA=∠GHC
∴
设，则
又，
∴
，
∵AD是的直径
又
本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，是一道圆的综合问题，解题的关键是连接OC利用垂径定理得到中位线.
24、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△AOB∽△COD,从而可证∠A=∠D；
（2）证明△AOE∽△DOF, △BOE∽△COF,然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
【详解】证明：（1）∵，，，,
∴,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD,
∴∠A=∠D；
（2）∵∠A=∠D，
∴AB∥CD,
∴△AOE∽△DOF, △BOE∽△COF,
∴,,
∴,
∵，
∴
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何证明．
25、（1）k=1,Q（-1，-1）．（2）
【分析】（1）将点P代入直线中即可求出m的值，再将P点代入反比例函数中即可得出k的值，通过直线与反比例函数联立即可求出Q的坐标；
（2）先求出PQ之间的距离，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出点A的坐标.
【详解】解：（1）∵点 (，)在直线上，
∴．
∵点 (，)在上，
∴．
∴
∵点为直线与的交点，
∴ 解得
∴点坐标为(，)．
（2）由勾股定理得
∵∠
∴
∴(,0) , (,0)．
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,掌握待定系数法，勾股定理是解题的关键.
26、（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）根据E为DP中点，，可得出EH=2，再利用平行线分线段对应成比例求解即可；
（2）作交于点，可求证∽，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
（2）答：
证明：作交于点
则，
∵，，，
∴
∴∽
∴
∴
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理及其性质以及平行线分线段成比例定理，解此题的关键是利用矩形的性质求出EH的长．
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