天津二十一中学2024-2025学年九上数学期末监测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）

A．40° B．60° C．70° D．80°
2．抛物线y=-2（x+3）2-4的顶点坐标是：
A．（3，-4） B．（-3，4） C．（-3，-4） D．（-4，3）
3．如图，在菱形中，，，则对角线等于（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0 B．如果是单位向量，那么＝1
C．如果||＝||，那么＝或＝﹣ D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥
5．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）

A．55° B．70° C．125° D．145°
6．已知抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．数据3、3、5、8、11的中位数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）

A． B．
C． D．
9．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和9个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计口袋中大约有红球（ ）
A．21个 B．14个 C．20个 D．30个
10．把图1的正方体切下一个角，按图2放置，则切下的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
11．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形
D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形
12．如图，在矩形中，，对角线相交于点，垂直平分于点，则的长为（ ）

A．4 B． C．5 D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一个不透明的盒子中装有6个白球，x个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率为，则x=_______．
14．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，连接BB′，则∠BAC′的度数为_____°．

15．已知x＝2y﹣3，则代数式4x﹣8y+9的值是_____．
16．一元二次方程x2﹣x﹣=0配方后可化为__________．
17．如果，那么=_____．
18．用一个圆心角90°，半径为8㎝的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图所示，中，，，将翻折，使得点落到边上的点处，折痕分别交边，于点、点，如果，那么______.

20．（8分）锐角中，，为边上的高线，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．
（1）当恰好落在边上（如图2）时，求；
（2）正方形与公共部分的面积为时，求的值．

21．（8分）如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG
(1)判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：2OB2＝BC•BF；
(3)如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．

22．（10分）如图，斜坡AF的坡度为5：12，斜坡AF上一棵与水平面垂直的大树BD在阳光照射下，在斜坡上的影长BC=6.5米，此时光线与水平线恰好成30°角，求大树BD的高．（结果精确的0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）

23．（10分）已知二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点(2，﹣6)，若这个二次函数与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，求出△ABC的面积．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．

25．（12分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）
（2）
26．如图，是菱形的对角线，，（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，求的度数．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠O＝2∠A，进而可得答案．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°−70°×2＝40°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝40°×2＝80°，
故选：D．
此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
2、C
【解析】试题分析：抛物线的顶点坐标是（-3，-4）．故选C．
考点：二次函数的性质．
3、A
【分析】由菱形的性质可证得为等边三角形，则可求得答案．
【详解】四边形为菱形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
故选：．
主要考查菱形的性质，利用菱形的性质证得为等边三角形是解题的关键．
4、D
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．
B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是＝1．
C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．
D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．
故选：D．
本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
5、C
【解析】试题分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．
∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．
∴旋转角等于125°．故选C．
6、D
【分析】先根据抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．
【详解】∵抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，

∵顶点坐标为
∴抛物线的表达式为
故选：D．
本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．
7、C
【解析】根据中位数的定义进行求解即可.
【详解】从小到大排序：3、3、5、8、11，
位于最中间的数是5，
所以这组数据的中位数是5，
故选C.
本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义以及求解方法是解题的关键.①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
8、C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9、A
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】由题意可得：
解得：x＝21，
经检验，x=21是原方程的解
故红球约有21个，
故选：A．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
10、B
【分析】根据主视图的定义，画出图2的主视图进行判断即可．
【详解】根据主视图的定义，切下的几何体的主视图是含底边高的等边三角形（高为虚线），作出切下的几何体的主视图如下

故答案为：B．
本题考查了立体几何的主视图问题，掌握主视图的定义和作法是解题的关键．
11、C
【解析】试题分析：A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误．
B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到四边形ABCD是菱形，故此选项错误．
C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确．
D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．
故选C．
12、B
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD=；
故选：B．
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】直接以概率求法得出关于x的等式进而得出答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得，
故答案为：1．
本题考查了概率的意义，正确把握概率的求解公式是解题的关键．
14、1
【分析】由图形选择的性质，∠BAC＝∠B′AC′则问题可解.
【详解】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，使AB′恰好经过点C，
∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，
∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝1°，
故答案为：1．
本题考查了图形旋转的性质，解答关键是应用旋转过程中旋转角不变的性质.
15、-1．
【分析】根据x＝2y﹣1，可得：x﹣2y＝﹣1，据此求出代数式4x﹣8y+9的值是多少即可．
【详解】∵x＝2y﹣1，
∴x﹣2y＝﹣1，
∴4x﹣8y+9
＝4（x﹣2y）+9
＝4×（﹣1）+9
＝﹣12+9
＝﹣1
故答案为：﹣1．
本题考查的是求代数式的值，解题关键是由x＝2y﹣1得出x﹣2y＝﹣1.
16、
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【详解】x2﹣x﹣=0
x2﹣x=
x2﹣x+=+

故填：.
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
17、
【解析】试题解析：
设a=2t，b=3t，

故答案为:
18、1．
【解析】试题分析：扇形的弧长是：，设底面半径是，则，解得．故答案是：1．
考点：圆锥的计算．

三、解答题（共78分）
19、
【分析】设BE=x，则AE=5-x=AF=A′F，CF=6-（5-x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得，即，进而得到．
【详解】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A′FE，
∵A′F∥AB，∴∠AEF=∠A′FE，
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
由折叠可得，AF=A′F，
设BE=x，则AE=5-x=AF=A′F，CF=6-（5-x）=1+x，
∵A′F∥AB，∴△A′CF∽△BCA，
∴，即，解得x=，
∴.
故答案为：．

本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
20、（1）；（2）或1．
【解析】（1）根据已知条件，求出AD的值，再由△AMN∽△ABC，确定比例关系求出x的值即可；
（2）当正方形与公共部分的面积为时，可分两种情况，一是当 在△ABC的内部，二是当 在△ABC的外部，当当 在△ABC的外部时，根据相似，表达出重叠部分面积，再列出方程，解出x的值即可．
【详解】解：（1）∵，为边上的高线，，
∴
∴AD=1，
设AD交MN于点H，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，解得，
∴当恰好落在边上时，

（2）①当 在△ABC的内部时，正方形与公共部分的面积即为正方形的面积，
∴，解得

②当 在△ABC的外部时，如下图所示，PM交BC于点E，QN交BC于点F，AD交MN于点H，
设HD=a，则AH=1-a，
由得，解得
∴矩形MEFN的面积为
即
解得（舍去），
综上：正方形与公共部分的面积为时，或1．
本题主要考查了相似三角形的对应高的比等于对应边的比的性质，正方形的四边相等的性质以及方程思想，列出比例式是解题的关键．
21、（1）CG与⊙O相切，理由见解析；（1）见解析；（3）DE＝1
【解析】（1）连接CE，由AB是直径知△ECF是直角三角形，结合G为EF中点知∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，再由OA＝OC知∠OCA＝∠OAC，根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，据此即可得证；
（1）证△ABC∽△FBO得，结合AB＝1BO即可得；
（3）证ECD∽△EGC得，根据CE＝3，DG＝1.5知，解之可得．
【详解】解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：
如图1，连接CE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACF＝90°，
∵点G是EF的中点，
∴GF＝GE＝GC，
∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OF⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，
∴CG与⊙O相切；
（1）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，
∴∠OAE＝∠F，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBO，
∴，即BO•AB＝BC•BF，
∵AB＝1BO，
∴1OB1＝BC•BF；
（3）由（1）知GC＝GE＝GF，
∴∠F＝∠GCF，
∴∠EGC＝1∠F，
又∵∠DCE＝1∠F，
∴∠EGC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CEG，
∴△ECD∽△EGC，
∴，
∵CE＝3，DG＝1.5，
∴，
整理，得：DE1+1.5DE﹣9＝0，
解得：DE＝1或DE＝﹣4.5（舍），
故DE＝1．
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．
22、大树的高约为6.0米．
【分析】作CM⊥DB于点M，已知BC的坡度即可得到BM和CM的比值，在Rt△MBC中，利用勾股定理即可求得BM和MC的长度，再在Rt△DCM中利用三角函数求得DM的长，由BD=BM+DM即可求得大树BD的高．
【详解】作CM⊥DB于点M，

∵斜坡AF的坡度是1：：2.4，∠A=∠BCM，
∴==，
∴在直角△MBC中，设BM=5x，则CM=12x．
由勾股定理可得：BM2+CM2=BC2，
∴（5x）2+（12x）2=6.52，
解得：x=，
∴BM=5x=，CM=12x=6，
在直角△MDC中，∠DCM=∠EDG=30°，
∴DM=CM•tan∠DCM=6tan30°=6×=2，
∴BD=DM+BM=+2≈2.5+2×1.732≈6.0（米）．
答：大树的高约为6.0米．
本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形模型是解决问题的关键．
23、1．
【分析】如图，把（0，6）代入y＝2x2+bx﹣6可得b值，根据二次函数解析式可得点C坐标，令y=0，解方程可求出x的值，即可得点A、B的坐标，利用△ABC的面积＝×AB×OC，即可得答案．
【详解】如图，
∵二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点(2，﹣6)，
∴﹣6＝2×4+2b﹣6，
解得：b＝﹣4，
∴抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4x﹣6；
∴点C（0，﹣6）；
令y＝0，则2x2﹣4x﹣6=0，
解得：x1＝﹣1，x2=3，
∴点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），
∴AB=4，OC=6，
∴△ABC的面积＝×AB×OC＝×4×6＝1．

本题考查二次函数图象上的点的坐标特征及图象与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0，即可得出抛物线与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积．
24、
【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB长，根据勾股定理求出AC的长，再通过证△ADE∽△ACB，利用对应边成比例即可求.
【详解】解：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝=8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
本题考查三角函数和相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形和利用相似三角形对应边成比例均是求线段长度的常用方法.
25、（1）；（2）．
【分析】（1）根据因式分解法求解方程即可.
（2）根据公式，将系数代入即可.
【详解】（1）原方程变形 ，
即．
∴或．
∴．
（2）∵，
∴
∴
∴．
本题考查了一元二次方程的解法.
26、（1）答案见解析；（2）45°．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【详解】（1）如图所示，直线EF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．