资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在菱形中，，是线段上一动点（点不与点重合），当是等腰三角形时，（ ）
A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°
2．如图，在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
4．某校数学课外小组，在坐标纸上为某湿地公园的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1＝1，y1＝1，且k≥2时，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.3]＝2，，[1.5]＝1．按此方案，第2119棵树种植点的坐标应为（ ）
A．(6，2121) B．(2119，5) C．(3，413) D．(414，4)
5．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则的值的变化范围是( )
A． B． C． D．
7．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC＝4，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．5
8．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线与双曲线交于、两点，过点作轴，垂足为，连接，若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
10．正六边形的半径为4，则该正六边形的边心距是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
11．如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（ ）
A．50° B．65° C．100° D．130°
12．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知如图，中，，点在上，，点、分别在边、上移动，则的周长的最小值是__________．
14．小明掷一枚硬币10次，有9次正面向上，当他掷第10次时，正面向上的概率是_____．
15．若关于x的方程x2-kx+9=0（k为常数）有两个相等的实数根，则k=_____.
16．如图，在中，.动点以每秒个单位的速度从点开始向点移动，直线从与重合的位置开始，以相同的速度沿方向平行移动，且分别与边交于两点，点与直线同时出发，设运动的时间为秒，当点移动到与点重合时，点和直线同时停止运动.在移动过程中，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在直线上，点的对应点记为点，连接，当时，的值为___________.
17．已知某个正六边形的周长为，则这个正六边形的边心距是__________．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，与交于点（4，2），反比例函数的图象经过点．若将菱形向左平移个单位，使点落在该反比例函数图象上，则的值为_____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）期中考试中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如表信息：
A
B
C
D
E
平均分
中位数
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
（1）完成表格中的数据；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩方差．
从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
20．（8分）已知抛物线C1的解析式为y= -x2+bx+c，C1经过A（-2,5）、B（1,2）两点.
（1）求b、c的值；
（2）若一条抛物线与抛物线C1都经过A、B两点，且开口方向相同，称两抛物线是“兄弟抛物线”，请直接写出C1的一条“兄弟抛物线”的解析式.
21．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点.
（1）求反比例函数的解析式和点的坐标；
（2）连接，，求的面积.
（3）结合图象，请直接写出使反比例函数值小于一次函数值的自变量的取值范围.
22．（10分）如图，AB是的直径，点C、D在上，且AD平分，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
证明EF是的切线；
求证：；
已知圆的半径，，求GH的长．
23．（10分）如图，把Rt△ABC绕点A．逆时针旋转40°，得到在Rt△ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．
24．（10分） “早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩.
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？
25．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，CD上一点E，连接AE，将△ADE绕点A旋转90°得△AFG，连接EG、DF．
（1）画出图形；
（2）若EG、DF交于BC边上同一点H，且△GFH是等腰三角形，试计算CE长．
26．已知反比例函数和一次函数．
（1）当两个函数图象的交点的横坐标是-2和3时，求一次函数的表达式；
（2）当时，两个函数的图象只有一个交点，求的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据是等腰三角形，进行分类讨论
【详解】是菱形，
，
不符合题意
所以选C
2、C
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】解：∵AB=1，
可得AF=BE=1，
设DF=x，则AD=x+1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
即：，
解得，（不合题意舍去），
经检验是原方程的解，
∴DF的长为，
故选C.
本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
3、D
【分析】根据三角函数的定义求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝1．
∴AC＝，
∴sinA＝，tanA＝，cosB＝，tanB＝．
故选：D．
本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．
4、D
【分析】根据已知分别求出1≤k≤5时，P点坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5），当6≤k≤11时，P点坐标为（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5），通过观察得到点的坐标特点，进而求解．
【详解】解：由题可知1≤k≤5时，P点坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5），
当6≤k≤11时，P点坐标为（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5），
……
通过以上数据可得，P点的纵坐标5个一组循环，
∵2119÷5＝413…4，
∴当k＝2119时，P点的纵坐标是4，横坐标是413+1＝414，
∴P（414，4），
故选：D．
本题考查点的坐标和探索规律；能够理解题意，通过已知条件探索点的坐标循环规律是解题的关键．
5、D
【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A. 不是一元二次方程；
B. 不是一元二次方程；
C. 整理后可知不是一元二次方程；
D. 整理后是一元二次方程；
故选：D.
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
6、A
【分析】代入两点的坐标可得 ， ，所以 ，由抛物线的顶点在第一象限可得 且 ，可得 ，再根据、，可得S的变化范围．
【详解】将点(0，1)代入中
可得
将点(-1，0)代入中
可得
∴
∵二次函数图象的顶点在第一象限
∴对称轴 且
∴
∵，
∴
∴
故答案为：A．
本题考查了二次函数的系数问题，掌握二次函数的性质以及各系数间的关系是解题的关键．
7、A
【分析】连接BO,根据垂径定理得出BD,在△BOD中利用勾股定理解出OD,从而得出AD,在△ABD中利用勾股定理解出AB即可．
【详解】连接OB，
∵AO⊥BC，AO过O，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝，
∴AD＝OA+OD＝+＝4，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，
故选：A．
本题考查圆的垂径定理及勾股定理的应用,关键在于熟练掌握相关的基础性质．
8、D
【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是．
【详解】解： ．
故选：D．
本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键．
9、A
【解析】由题意得:，又,则k的值即可求出.
【详解】设,
直线与双曲线交于A、B两点,
,
，
,
,
,则.
又由于反比例函数位于一三象限,,故.
故选A.
本题主要考查了反比例函数中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为,是经常考查的一个知识点.
10、C
【分析】分析出正多边形的内切圆的半径就是正六边形的边心距，即为每个边长为4的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．
【详解】解：半径为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，
而正多边形的边心距即为每个边长为4的正三角形的高，
∴正六多边形的边心距==2.
故选C.
本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
11、C
【分析】直接根据题意得出AB=AC，进而得出∠A=50°，再利用圆周角定理得出∠BOC=100°．
【详解】解：由题意可得：AB=AC，
∵∠ABC=65°，
∴∠ACB=65°，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=100°，
故选：C．
本题考查圆心角、弧、弦的关系．
12、D
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A．由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；两者相矛盾，错误；
B．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＜0，两者相矛盾，错误；
C．由一次函数的图象可知a＜0，b＞0，由抛物线图象可知a＞0，两者相矛盾，错误；
D．由一次函数的图象可知a＞0，b＜0，由抛物线图象可知a＞0，对称轴x=﹣＞0，b＜0；正确．
故选D．
解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】作P关于AO,BO的对称点E,F，连接EF与OA，OB交于MN,此时△PMN周长最小；连接OE,OF,作OG⊥EF,利用勾股定理求出EG，再根据等腰三角形性质可得EF.
【详解】作P关于AO,BO的对称点E,F，连接EF与OA，OB交于MN,此时△PMN周长最小；连接OE,OF,作OG⊥EF
根据轴对称性质：PM=EM,PN=NF,OE=OP,
OE=OF=OP=10,
∠EOA=∠AOP,∠BOF=∠POB
∵∠AOP+∠POB=60°
∴∠EOF=60°×2=120°
∴∠OEF=
∵OG⊥EF
∴OG=OE=
∴EG=
所以EF=2EG=10
由已知可得△PMN的周长=PM+MN+PN=EF=10
故答案为：10
考核知识点：轴对称，勾股定理.根据轴对称求最短路程，根据勾股定理求线段长度是关键.
14、．
【分析】根据概率的性质和概率公式即可求出，当他掷第10次时，正面向上的概率．
【详解】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
∴她第10次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：．
故答案为：．
本题考查了概率统计的问题，根据概率公式求解即可．
15、±1
【分析】根据方程x2-kx+9=0有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，即k2-4×1×9=0，然后解方程即可．
【详解】∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即k2-4×1×9=0，解得k=±1．
故答案为±1．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的根判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
16、
【分析】由题意得CP=10-3t，EC=3t,BE=16-3t，又EF//AC可得△ABC∽△FEB，进而求得EF的长；如图，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，由EF//AC∠C=90°可以得出∠PEC=∠NEG，又由，就有∠CBN=∠CEP.可以得出∠CEP=∠NEP=∠B,过N做NG⊥BC,可得EN=BN,最后利用三角函数的关系建立方程求解即可；
【详解】解：设运动的时间为秒时；
由题意得：CP=10-3t，EC=3t,BE=16-3t
∵EF//AC
∴△ABC∽△FEB
∴
∴
∴EF=
在Rt△PCE中，PE=
如图：过N做NG⊥BC,垂足为G
∵将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在直线上，点的对应点记为点，
∴∠PEF=∠MEN，EF=EN,
又∵EF//AC
∴∠C=∠CEF=∠MEB=90°
∴∠PEC=∠NEG
又∵
∴∠CBN=∠CEP.
∴∠CBN=∠NEG
∵NG⊥BC
∴NB=EN,BG=
∴NB=EN=EF=
∵∠CBN=∠NEG，∠C=NGB=90°
∴△PCE∽△NGB
∴
∴=，解得t=或-（舍）
故答案为.
本题考查了相似三角形的判定及性质的运用、三角函数值的运用、勾股定理的运用，灵活利用相似三角形的性质和勾股定理是解答本题的关键.
17、
【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出.
【详解】解：如图
作正六边形外接圆，连接OA，作OM⊥AB垂足为M,得到∠AOM=30°
∵ 圆内接正六边形ABCDEF的周长为6
∴ AB=1 则AM= ，OA=1
因而OM=OA·=
正六边形的边心距是
此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正多边形的性质是解题的关键.
18、1
【分析】根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D （4，2）和反比例函数的图象经过点D求出k=8，C点的纵坐标是2×2=4，求出C的坐标，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCO是菱形，
∴CD=AD,BC∥OA，
∵D (4,2),反比例函数的图象经过点D，
∴k=8，C点的纵坐标是2×2=4，
∴，
把y=4代入得：x=2，
∴n=3−2=1，
∴向左平移1个单位长度，反比例函数能过C点，
故答案为1.
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，坐标与图形变化-平移，数形结合思想是关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）70，70，85，85；（2）数学．
【分析】（1）由平均数、中位数的定义进行计算即可；
（2）代入公式：标准分＝（个人成绩﹣平均成绩）÷成绩方差计算，再比较即可．
【详解】（1）数学平均分是：×（71+72+69+68+70）＝70分，
中位数为：70分；
英语平均分是：×（88+82+94+85+76）＝85分，
中位数为：85分；
故答案为：70，70，85，85；
（2）数学成绩的方差为： [（71﹣70）2+（72﹣70）2+（69﹣70）2+（68﹣70）2+（70﹣70）2]＝2；
英语成绩的方差为： [（88﹣85）2+（82﹣85）2+（94﹣85）2+（85﹣85）2+（76﹣85）2]＝36；
A同学数学标准分为：＝，
A同学英语标准分为：＝，
因为，
所以A同学在本次考试中，数学学科考得更好．
本题考查了平均数和方差的计算，正确把握方差的定义是解题关键．
20、（1）b=-2，c=5；（2）(答案不唯一).
【分析】（1）直接把点代入，求出的值即可得出抛物线的解析式；
（2）根据题意，设“兄弟抛物线”的解析式为：，直接把点代入即可求得答案.
【详解】（1）∵在C1上 ，
∴ ，
解得： .
（2）根据“兄弟抛物线”的定义，知：“兄弟抛物线”经过A（-2,5）、B（1,2）两点，且开口方向相同，
∴设“兄弟抛物线”的解析式为：，
∵在“兄弟抛物线”上，
∴ ，
解得：.
∴另一条“兄弟抛物线”的解析式为：.
本题主要考查了待定系数法求二次函数，正确理解题意，明确“兄弟抛物线”的定义是解题的关键.
21、（1），点的坐标为；（2）；（3）或.
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，令y值相等求点B坐标；
（2）数形结合求面积；
（3）数形结合，利用图像解不等式
【详解】解：（1）把代入得，∴.
∴反比例函数的解析式为.
联立解得
∴点的坐标为.
（2）设直线与轴交于点.
可知点的坐标为，∴.
∴.
（3）当或时，反比例函数值小于一次函数值.
本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，数形结合思想是解题的关键
22、（1）详见解析；（1）详见解析；（3）.
【解析】（1）由题意可证OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切线；（1）由同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB＝∠DGB，由余角的性质可得∠DGB＝∠BDF；（3）由题意可得∠BOG＝90°，根据勾股定理可求GH的长．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠DAB+∠OBD＝90°
由（1）得，EF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°
∴∠BDF+∠ODB＝90°
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD
∴∠DAB＝∠BDF
又∠DAB＝∠DGB
∴∠DGB＝∠BDF
（3）连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝1．
∴GH＝＝.
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键．
23、20°
【分析】利用旋转的性质及等腰三角形的性质可得∠ABBʹ，再根据直角三角形两锐角互余可得解.
【详解】解：由旋转可知：
∠BABʹ=40°，AB=ABʹ．
∴∠ABBʹ=∠ABʹB．
∴∠ABBʹ==70°．
∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．
本题考查了三角形的旋转，灵活利用旋转对应边相等，对应角相等且等于旋转角的性质是解题的关键.
24、（1）该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.（2）售价应降低3元
【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解方程即可；（2）设售价应降低y元，则每天售出（200+50y）千克，根据题意列出关于y的一元二次方程，求解方程即可.
【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为，根据题意得
解得，（不合题意，舍去）
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%.
（2）设售价应降低元，则每天可售出千克
根据题意，得
整理得，，解得，
∵要减少库存
∴不合题意，舍去，∴
答：售价应降低3元.
本题考查一元二次方程与销售的实际应用，明确售价、成本、销量和利润之间的关系，正确用一个量表示另外的量然后找到等量关系是列出方程的关键.
25、（1）见解析；（2）CE=3-
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据旋转的性质得到DE=FG，△ADF、△BHF是等腰直角三角形，故求出FH=，再根据等腰三角形的性质得到GF=FH==DE，故可求出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）由旋转得，AD=AF=5，DE=GF
∵∠BAD=90°
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴A、B、F在同一直线上
∴BF=2=BH
∴△BHF为等腰直角三角形，
∴HF==,
∵△GFH是等腰三角形且∠GFH=90°+45°=135°
∴GF=FH==DE
∵CD=AB=3
∴CE=CD-DE=3-．
此题主要考查矩形及旋转的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质．
26、（1）；（2）
【分析】（1）根据两个函数图象的交点的横坐标是-2和3先求出两个交点坐标，然后把两点代入一次函数解析式求出k，b值，即可得到一次函数解析式；
（2）两个函数解析式联立组成方程组消去y得到关于x的一元二次方程，根据判别式=0求出b的值.
【详解】解：（1）把-2和3分别代入中，得：和.
把，代入中，
.
∴一次函数表达式为：；
（2）当，则，联立得：，
整理得：，
只有一个交点，即，
则，得．
故b的值为4或-4.
本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点坐标的求法，先利用反比例函数解析式求出两交点坐标是解本题的关键．
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