资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．式子有意义的的取值范围（ ）
A．x ≥4 B．x≥2 C．x≥0且x≠4 D．x≥0且x≠2
2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为（ ）
A．55° B．70° C．110° D．125°
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
4．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
5．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列事件中，属于随机事件的是（ ）．
A．13名同学中至少有两名同学的生日在同一个月
B．在只有白球的盒子里摸到黑球
C．经过交通信号灯的路口遇到红灯
D．用长为，，的三条线段能围成一个边长分别为，，的三角形
7．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法，错误的是（ ）
A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法
B．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8
C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度
D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差
9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )
A．4 B．5 C．5.5 D．6
10．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
11．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球
12．下面空心圆柱形物体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，正方形内接于，正方形的边长为，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形内的概率是_____________．
14．一个盒子中装有个红球，个白球和个蓝球，这些球除了颜色外都相同，从中随机摸出两个球，能配成紫色的概率为_____．
15．已知关于x的一元二次方程的常数项为零，则k的值为_____．
16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__．
17．在平面直角坐标系中，将点（-b，-a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_______象限．
18．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．
20．（8分）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
21．（8分）解方程:（1） ；
（2）.
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．
23．（10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC= 度，∠BPC= 度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．
24．（10分）已知，二次函数的图象，如图所示，解决下列问题：
（1）关于的一元二次方程的解为；
（2）求出抛物线的解析式；
（3）为何值时．
25．（12分）如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．
26．在中，分别是的中点，连接
求证：四边形是矩形；
请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：C．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值．
2、D
【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】由圆周角定理得,∠A=∠BOD=55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=180°−∠A=125°，
故选：C.
此题考查圆周角定理及其推论，解题关键在于掌握圆内接四边形的性质.
3、B
【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．
【详解】连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB=8，AE=1，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
4、D
【分析】根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴，，
则a的值为：．
故选D．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义.
5、A
【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）
共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，
∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝＝．
故选：A．
本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．
6、C
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义对每一选项进行判断即可．
【详解】A、必然事件，不符合题意；
B、不可能事件，不符合题意；
C、随机事件，符合题意；
D、不可能事件，不符合题意；
故选C．
本题考查随机事件，正确理解随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
7、A
【解析】要使方程为一元二次方程，则二次项系数不能为0，所以令二次项系数不为0即可．
【详解】解：由题知：m+1≠0，则m≠-1，
故选：A．
本题主要考查的是一元二次方程的性质，二次项系数不为0，掌握这个知识点是解题的关键．
8、A
【分析】利用抽样调查、普查的特点和试用的范围和众数、方差的意义即可做出判断.
【详解】A．灯泡数量很庞大，了解它的使用寿命不宜采用普查的方法，应该采用抽查的方法，所以A错误；
B.众数是一组数据中出现次数最多的数值，所以8，8，7，10，6，8，9的众数是8正确；C. 方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度，正确；
D. 对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差，正确；
故选A.
本题考查的是调查、众数、方差的意义，能够熟练掌握这些知识是解题的关键.
9、D
【分析】由两个中点连线得到DE是中位线，根据DE的长度即可得到AB的长度.
【详解】∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
故选：D.
此题考查三角形的中位线定理，三角形两边中点的连线是三角形的中位线，平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
10、D
【解析】由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【详解】共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选D．
本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
11、A
【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.
12、A
【解析】试题分析：找出从几何体的左边看所得到的视图即可．
解：从几何体的左边看可得
，
故选A．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：因为正方形的边长为2cm，则对角线的长为cm，
所以⊙O的半径为cm，直径为2cm,
⊙O的面积为2πcm2；
正方形的面积为4c m2
因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，
所以P（豆子落在正方形ABCD内）＝．
故答案为：．
此题主要考查几何概率的意义：一般地，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）＝.
14、
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得：
∵共有种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有种情况
∴两次摸到的求的颜色能配成紫色的概率为：．
故答案是：
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15、1
【分析】由一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，即可得 ，继而求得答案．
【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，
∴，
由①得：（k﹣1）（k﹣1）＝0，
解得：k＝1或k＝1，
由②得：k≠1，
∴k的值为1，
故答案为：1．
本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程知识是解决本题的关键.
16、30°
【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°．
故答案为：30°．
本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键．
17、二、四.
【解析】试题解析：根据关联点的特征可知：
如果一个点在第一象限，它的关联点在第三象限.
如果一个点在第二象限，它的关联点在第二象限.
如果一个点在第三象限，它的关联点在第一象限.
如果一个点在第四象限，它的关联点在第四象限.
故答案为二，四.
18、24或．
【解析】试题分析：由x2-16x+60=0，可解得x的值为6或10，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
考点：一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．勾股定理．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）EM＝
【分析】（1）通过证明四边形AHGD是平行四边形，可得AH=DG，AD=HG=CD，由“SAS”可证△DCG≌△HGF，可得DG=HF，∠HFG=∠HGD，可证AH⊥HF，AH=HF，即可得结论；
（2）由题意可得DE=2，由平行线分线段成比例可得 ，即可求EM的长．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形
∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°
∵AD∥BC，AH∥DG，
∴四边形AHGD是平行四边形
∴AH＝DG，AD＝HG＝CD，
∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG，
∴△DCG≌△HGF（SAS），
∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD
∴AH＝HF，
∵∠HGD+∠DGF＝90°，
∴∠HFG+∠DGF＝90°
∴DG⊥HF，且AH∥DG，
∴AH⊥HF，且AH＝HF
∴△AHF为等腰直角三角形．
（2）∵AB＝3，EC＝1，
∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝1．
∵AD∥EF，
∴，且DE＝2．
∴EM＝．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，综合性较强难度大灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．
20、（1）为y＝﹣10x+2；（2）3元时每天获取的利润最大利润是4元；（3）45≤x≤1．
【分析】（1）根据每上涨1元，销量下降10件即可求解；
（2）根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量列出二次函数，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据每天剩余利润不低于3600元和二次函数图象即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，得
y＝250﹣10（x﹣45）＝﹣10x+2．
答：每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣10x+2．
（2）销售量不低于240件，得﹣10x+2≥240
解得x≤3，
∴30＜x≤3．
设销售单价为x元时，每天获取的利润是w元，根据题意，得
w＝（x﹣30）（﹣10x+2）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000
∵﹣10＜0，
所以x＜50时，w随x的增大而增大，
所以当x＝3时，w有最大值，
w的最大值为﹣10（3﹣50）2+4000＝4．
答：销售单价为3元时，每天获取的利润最大，最大利润是4元．
（3）根据题意，得
w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600
即﹣10（x﹣50）2＝﹣250
解得x1＝1，x2＝45，
根据图象得，当45≤x≤1时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质求最大值，正确求出二次函数关系式，理解二次函数的性质是解题的关键.
21、（1）；（2）
【分析】（1）化为一般形式后，用公式法求解即可.
（2）用因式分解法提取公因式即可.
【详解】（1）原方程可化为，
得
（2），
所以.
本题考查的是一元二次方程的解法，能根据方程的特点灵活的选择解方程的方法是关键.
22、 (1)画图见解析；(2)画图见解析.
【解析】（1）先连接矩形的对角线交于点O，再连接MO并延长，交AD于P，则点P即为AD的中点；
（2）先运用（1）中的方法，画出AD的中点P，再连接BP，交AC于点K，则点E，再连接DK并延长，交AB于点Q，则点Q即为AB的中点．
【详解】(1)如图点P即为所求；
(2)如图点Q即为所求；
本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．
23、（1）60；60；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；
（2）利用（1）中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；
（3）利用（2）证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
故答案为60， 60；
（2）∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PBC=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC，
∵AC=BC，
∴△ACM≌△BCP；
（3）作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S梯形PBCM=（PB+CM）×PH=×(2+3)×=.
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相关的性质与判定定理.
24、（1）-1或2；（2）抛物线解析式为y=-x2+2x+2；（2）x＞2或x＜-1．
【分析】（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于-1，2两点，所以方程的解为x1=-1，x2=2．
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（2，0），即可求得抛物线的解析式．
（2）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．
【详解】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=2两点，
∴方程的解为x1=-1，x2=2，
故答案为：-1或2；
（2）设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（2，0），
∴（2-1）2+k=0，
解得：k=4，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，
即：抛物线解析式为y=-x2+2x+2；
（2）抛物线与x轴的交点（-1,0），（2,0），当y＜0时，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞2或x＜-1；
本题主要考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，以及求函数解析式的方法，能从图像中得到关键信息是解决此题的关键．
25、（1）见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：圆内接四边形的对角互补.
直径所对的圆周角是直角.
试题解析：
如图①，即为所求．
如图②，即为所求．
点睛：圆内接四边形的对角互补. 直径所对的圆周角是直角.
26、（1）证明见解析；（2）作图见解析.
【解析】首先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
连接交于点，作射线即可．
【详解】证明：分别是的中点，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形
连接交于点，作射线，射线即为所求．
本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
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