资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．
2．在中，，，则（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
3．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如果两个相似多边形的面积之比为，那么它们的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是( )
A．对角线相等四边形是矩形
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．在反比例函数图像上，随的增大而增大
D．若一个斜坡的坡度为，则该斜坡的坡角为
6．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
7．已知二次函数的与的部分对应值如表：
下列结论：抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是；⑤若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．下列事件中是随机事件的个数是（ ）
①投掷一枚硬币，正面朝上；
②五边形的内角和是540°；
③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品；
④一个图形平移后与原来的图形不全等．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=；④y=x1．x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（ ）
A．1个 B．1个 C．3个 D．4个
10．下列不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为_____．
12．圆的半径为1，AB是圆中的一条弦，AB=，则弦AB所对的圆周角的度数为____．
13．已知：如图，△ABC的面积为16，点D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE的面积为______．
14．如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是_____．
15．已知抛物线y＝（1﹣3m）x2﹣2x﹣1的开口向上，设关于x的一元二次方程（1﹣3m）x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，若﹣1＜x1＜0，x2＞2，则m的取值范围为_____．
16．若是方程的一个根，则式子的值为__________．
17．如图，人字梯，的长都为2米.当时，人字梯顶端高地面的高度是____米（结果精确到.参考依据：，，）
18．若点是双曲线上的点，则__________（填“>”，“<”或“=”)
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．
20．（6分）如图，已知：抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB=2CO.
(1)求二次函数解析式；
(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
(3) 抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（6分）抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴的两个交点分别为和，与轴的交点为，其中．
（1）写出点的坐标________；
（2）若抛物线上存在一点，使得的面积是的面积的倍，求点的坐标；
（3）点是线段上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度的最大值．
22．（8分）校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？
23．（8分）先化简，再求值：，其中．
24．（8分）定义：若函数与轴的交点的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，称为友好函数．
（1）判断是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数表达式中的与之间的关系；
（3）若是友好函数，且为锐角，求的取值范围．
25．（10分）如图，已知二次函数 的图像过点A(-4，3），B(4，4).
（1）求抛物线二次函数的解析式.
（2）求一次函数直线AB的解析式．
（3）看图直接写出一次函数直线AB的函数值大于二次函数的函数值的x的取值范围．
（4）求证：△ACB是直角三角形．
26．（10分）如图，已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选D．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
2、C
【分析】首先根据特殊角的三角函数值求出∠C，∠A的度数，然后根据三角形的内角和公式求出∠B的大小．
【详解】∵，，∴∠C=30°，∠A=30°，∴∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．
故选C．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及三角形的内角和公式．
3、B
【解析】试题分析：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD=×1=，
∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=4--=1．
故选B．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
4、A
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为，
∴两个相似多边形周长的比等于，
∴这两个相似多边形周长的比是．
故选：A．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5、D
【分析】根据矩形的判断定理、相似三角形的性质、反比例函数的性质、坡度的定义及特殊的三角函数值解答即可.
【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，故A错误；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，故B错误；
在反比例函数图像上，在每个象限内，随的增大而增大，故C错误；
若一个斜坡的坡度为，则tan坡角= ，该斜坡的坡角为，故D正确.
故选：D
本题考查的是矩形的判断定理、相似三角形的性质、反比例函数的性质、坡度的定义及特殊的三角函数值，熟练的掌握各图形及函数的性质是关键.
6、B
【解析】解：∵∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=70°，
∴∠OAC=（180°-∠AOC）÷2=110°÷2=55°．
故选B．
7、B
【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)可对③④进行判断；根据二次函数的性质求出x的值，即可对⑤进行判断．
【详解】设抛物线解析式为y=ax(x﹣4)，
把(﹣1，5)代入得5=a×(﹣1)×(﹣1﹣4)，解得：a=1，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线x==2，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)，开口向上，
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，由x2﹣4x=2，解得：x1=，由x2﹣4x=3，解得：x2=，若取x1=，x2=，则⑤错误．
故选：B．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8、C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】①掷一枚硬币正面朝上是随机事件；
②五边形的内角和是540°是必然事件；
③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品是随机事件；
④一个图形平移后与原来的图形不全等是不可能事件；
则是随机事件的有①③，共2个；
故选：C．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9、C
【解析】解: 当x<0时，①y=−x，③，④ y随x的增大而减小；
②y=x，y随x的增大而增大.
故选C.
10、A
【分析】根据中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】∵A是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴A符合题意，
∵B是中心对称图形，
∴B不符合题意，
∵C是中心对称图形，
∴C不符合题意，
∵D是中心对称图形，
∴D不符合题意，
故选A．
本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是1cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．
故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
12、60°或120°
【解析】试题解析：如图，作OH⊥AB于H，连接OA、OB，∠C和∠C′为AB所对的圆周角，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH=AB=，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH=，
∴∠OAH=30°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠C=∠AOB=60°，
∴∠C′=180°-∠C=120°，
即弦AB所对的圆周角为60°或120°．
点睛：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
13、4
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE//BC，，即可证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案.
【详解】∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵△ABC的面积为16，
∴S△ADE=×16=4.
故答案为：4
本题考查三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
14、．
【详解】解：∵把x=1分别代入、，得y=1、y=，
∴A（1，1），B（1，）．∴．
∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线BC的距离为1．
∴△PAB的面积．
故答案为：．
15、﹣＜m＜
【分析】首先由抛物线开口向上可得：1﹣3m＞0，再由1＜x1＜0可得：2＞3m，最后由x2＞2可得：1﹣3m＜，由以上三点即可求出m的取值范围．
【详解】∵抛物线y＝（1﹣3m）x2﹣2x﹣1的开口向上，
∴1﹣3m＞0，①
∵﹣1＜x1＜0，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即2＞3m，②
∵x2＞2，
∴当x＝2时，y＜0，
即1﹣3m＜，③
由①②③可得：﹣＜m＜，
故答案为：﹣＜m＜．
本题考查了抛物线与x轴的交点的问题，解题时应掌握△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16、1
【分析】将a代入方程中得到，将其整体代入中，进而求解．
【详解】由题意知，，即，
∴，
故答案为：1．
本题考查了方程的根，求代数式的值，学会运用整体代入的思想是解题的关键．
17、1.5.
【分析】在中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
【详解】在中，
∵，，
∴，
∴.
故答案为1.5.
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
18、>
【分析】根据得出反比例图象在每一象限内y随x的增大而减小，再比较两点的横坐标大小，即可比较两点的纵坐标大小．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数的图象在第一、三象限内，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点是双曲线上的点，且1<2，
∴，
故答案为：>．
本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握k>0时，反比例函数图象在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、1m高
【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，
∴DP＝OP＝灯高．
在△CEA与△COP中，
∵AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP．
∴△CEA∽△COP，
∴．
设AP＝xm，OP＝hm，则，①，
DP＝OP＝2+4+x＝h，②
联立①②两式，
解得x＝4，h＝1．
∴路灯有1m高．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
20、（1）y；（2）；（3）（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）
【分析】（1）利用待定系数法求出A、B、C的坐标，然后把B点坐标代入，求出a 的值，并化简二次函数式即可；
（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2-m），可得， GM=，利用矩形MNHG的周长=2MN+2GM，化简可得，即当时，C有最大值，最大值为，
（3）分三种情况讨论：①点P在AB的下方，②点P在AB的上方，③以AB为直径作圆与对称轴交，分别讨论得出结果即可.
【详解】（1）对于抛物线y=a（x+1）（x-3），
令y=0，得到a（x+1）（x-3）=0，
解得x=-1或3，
∴C（-1，0），A（3，0），
∴OC=1，
∵OB=2OC=2，
∴B（0，2），
把B（0，2）代入y=a（x+1）（x-3）中得：2=-3a，a=-
∴二次函数解析式为
（2）设点M的坐标为（m，），
则点N的坐标为（2-m，），
， GM=
矩形MNHG的周长 C=2MN+2GM
=2（2m-2）+2（）
=
=
∴当时，C有最大值，最大值为，
（3）∵A（3，0），B（0，2），
∴OA=3，OB=2，
由对称得：抛物线的对称轴是：x=1，
∴AE=3-1=2，
设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：
①如图1，
当∠BAP=90°时，点P在AB的下方，
∵∠PAE+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PAE=∠ABO，
∵∠AOB=∠AEP，
∴△ABO∽△PAE，
∴ ，即，
∴PE=3，
∴P（1，-3）；
②如图2，
当∠PBA=90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，
同理得：△PFB∽△BOA，
∴，即，
∴
∴，
∴P（1，）；
③如图3，
以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B=∠AP2B=90°，
设P1（1，y），
∵AB2=22+32=13，
由勾股定理得：AB2=P1B2+P1A2，
∴，
解得：，
∴P（1，1+）或（1，1-）
综上所述，点P的坐标为（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的性质、三角形相似的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用学过的知识解决问题，学会构建二次函数，利用配方法确定线段的最值，与方程相结合，并利用分类讨论的思想．
21、（1）；（2）点的坐标为或；（3）MD长度的最大值为．
【分析】（1）抛物线的对称轴为x=1，点A坐标为（-1，0），则点B（3，0），即可求解；
（2）由S△POC=2S△BOC，则x=±2OB=6，即可求解；
（3）设：点M坐标为（x，x-3），则点D坐标为（x，x2-2x-3），则MD=x-3-x2+2x+3，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，点坐标为，则点，
故：答案为；
（2）二次函数表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
所以
由题意得：，
设P（x, ）
则
所以则，
所以当时，=-21，当时，=45
故点的坐标为或；
（3）如图所示，
将点坐标代入一次函数得表达式得
，解得：，
故直线的表达式为：
，
设：点坐标为，则点坐标为，
则，
故MN长度的最大值为．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22、2m
【详解】解：设道路的宽为xm，
（32-x）（20-x）=540，
整理，得x2-52x+100=0，
∴（x-50）（x-2）=0，
∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），
小道的宽应是2m．
故答案为2.
此题应熟记长方形的面积公式，另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.
23、1
【分析】注意到可以利用完全平方公式进行展开，利润平方差公式可化为，则将各项合并即可化简，最后代入进行计算．
【详解】解：原式
将代入原式
考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变.
24、（1）是，理由见解析；（2）；（1）或，且
【分析】（1）根据友好函数的定义，求出函数与x轴交点的横坐标以及与y轴交点的纵坐标，即可进行判断；
（2）先求出函数与y轴交点的纵坐标为c，再根据定义，可得当x=c时，y=0，据此可得出结果；
（1）分一下三种情况求解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，进而可得出结果；（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，画出图像可得出结果；（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
【详解】解：（1）是友好函数．理由如下：
当时，；当时，或1，
∴与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是1．
故是友好函数．
（2）当时，，即与轴交点的纵坐标为．
∵是友好函数．
∴时，，即在上．
代入得：，而，∴．
（1）（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为．
则，∴只需满足，即．
∴．
（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，
∴显然都满足为锐角．
∴，且．
（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
综上所述，或，且．
本题主要考查二次函数的新定义问题以及二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是理解题意．
25、（1）；（2）；（3）﹣4﹤x﹤4；（4）见解析
【分析】（1）由题意把A点或B点坐标代入得到，即可得出抛物线二次函数的解析式；
（2）根据题意把A点或B点坐标代入y=kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数直线AB的解析式；
（3）由题意观察函数图像，根据y轴方向直线在曲线上方时，进而得出x的取值范围；
（4）根据题意求出C点坐标，进而由两点的距离公式或者是构造直角三角形进行分析求证即可.
【详解】解：(1)把A点或B点坐标代入得到，
∴抛物线二次函数的解析式为：.
（2）把A点或B点坐标代入y=kx+b列出方程组，解得，
得出一次函数直线AB的解析式为：..
（3）由图象可以看出：一次函数直线AB的函数值大于二次函数的函数值的x的取值范围为：﹣4﹤x﹤4.
（4）由抛物线的表达式得：C点坐标为（-2，0），
由两点的距离公式或者是构造直角三角形得出，
，，．
∴，
∴△ACB是直角三角形.
本题考查的是二次函数综合运用，由题意结合一次函数和勾股定理的运用等进行分析是解题的关键.
26、见解析
【分析】（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点，两点代入y=-x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；
（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．
【详解】（1）把，代入得
，
解得.
∴这个二次函数解析式为.
（2）∵抛物线对称轴为直线，
∴的坐标为，
∴，
∴.
本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．
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