资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知x1，x2是一元二次方程的两根，则x1＋x2的值是（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．4
2．如图，正方形中，为的中点，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，，，连接并延长交于点，则下列结论中：①；②；③；④；⑤ ；⑥；⑦．正确的结论的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，AB是半径为1的⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为劣弧CB的中点，点P是直径AB上一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图所示，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝27°，则∠AEC的大小应为（ ）
A．23° B．70° C．77° D．80°
5．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔 B．水中捞月 C．瓮中捉鳖 D．水涨船高
6．如图一块直角三角形ABC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，截得两个正方形DEFG，BHJN，设S1＝DEFG的面积，S2＝BHJN的面积，则S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定
7．已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
8．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（ ）
A． B． C． D．
9．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或－2 B．2 C．－2 D．0
10．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．不能确定
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．两个函数和（abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式的解集_______________．
12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_________．
13．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．
14．用一张半径为14cm的扇形纸片做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸片的面积是________ cm1．
15．已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E'的坐标为_____．
17．二次函数y=3x2+3的最小值是__________．
18．已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）求证：BD＝CD；
（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．
20．（6分）如图，与交于点，过点，交与点，交与点F，，，，.
(1)求证：
(2)若，求证：
21．（6分）解方程：x2+11x+9＝1．
22．（8分）如图，反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝mx+n的图象过格点（网格线的交点）B、P．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是： ．
（3）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
23．（8分）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明：
24．（8分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
（1）求证：△ADE∽△EFC；
（2）若AD＝4，DE＝6，＝2，求EF和FC的值．
25．（10分）为深化课改，落实立德树人目标，某学校设置了以下四门拓展性课程：A．数学思维，B．文学鉴赏，C．红船课程，D．3D打印，规定每位学生选报一门．为了解学生的报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并制作成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）求这次被调查的学生人数；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）假如全校有学生1000人，请估计选报“红船课程”的学生人数.
26．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3cm，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】∵x1，x1是一元二次方程的两根，∴x1+x1=1．故选B．
2、B
【分析】①作辅助线，构建三角形全等，证明△ADE≌△GKF，则FG=AE，可得FG=2AO；
②设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，证明△ADE∽△HOA，得，于是可求BH及HE的值，可作出判断；
③分别表示出OD、OC，根据勾股定理逆定理可以判断；
④证明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，则∠DOE≠∠HEA，OD与HE不平行；
⑤由②可得，根据AR∥CD，得，则；
⑥证明△HAE∽△ODE，可得，等量代换可得OE2=AH•DE；
⑦分别计算HC、OG、BH的长，可得结论．
【详解】解：①如图，过G作GK⊥AD于K，
∴∠GKF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，
∴∠ADE=∠GKF，
∵AE⊥FH，
∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，
∵∠OAF+∠AED=90°，
∴∠AFO=∠AED，
∴△ADE≌△GKF，
∴FG=AE，
∵FH是AE的中垂线，
∴AE=2AO，
∴FG=2AO，
故①正确；
②设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，
，
易得△ADE∽△HOA，
，
，
Rt△AHO中，由勾股定理得：AH= ，
∴BH=AH-AB= ，
∵HE=AH= ，
∴HE=5BH；
故②正确；
③，，
∴，
∴OC与OD不垂直，
故③错误；
④∵FH是AE的中垂线，
∴AH=EH，
∴∠HAE=∠HEA，
∵AB∥CD，
∴∠HAE=∠AED，
Rt△ADE中，∵O是AE的中点，
∴OD=AE=OE，
∴∠ODE=∠AED，
∴∠HEA=∠AED=∠ODE，
当∠DOE=∠HEA时，OD∥HE，
但AE＞AD，即AE＞CD，
∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，
∴OD与HE不平行，
故④不正确；
⑤由②知BH=，
，
延长CM、BA交于R，
∵RA∥CE，
∴∠ARO=∠ECO，
∵AO=EO，∠ROA=∠COE，
∴△ARO≌△ECO，
∴AR=CE，
∵AR∥CD，
，
故⑤正确；
⑥由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，
∴△HAE∽△ODE，
∵AE=2OE，OD=OE，
∴OE•2OE=AH•DE，
∴2OE2=AH•DE，
故⑥正确；
⑦由②知：HC= ，
∵AE=2AO=OH= ，
tan∠EAD= ，
，
，
∵FG=AE ，
，
∴OG+BH= ，
∴OG+BH≠HC，
故⑦不正确；
综上所述，本题正确的有；①②⑤⑥，共4个，
故选：B．
本题是相似三角形的判定与性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质的综合应用，正确作辅助线是关键，解答时证明三角形相似是难点．
3、C
【分析】作D点关于AB的对称点E，连接OC．OE、CE，CE交AB于P'，如图，利用对称的性质得到P'E=P'D，，再根据两点之间线段最短判断点P点在P'时，PC+PD的值最小，接着根据圆周角定理得到∠BOC=60°，∠BOE=30°，然后通过证明△COE为等腰直角三角形得到CE的长即可．
【详解】作D点关于AB的对称点E，连接OC、OE、CE，CE交AB于P'，如图，
∵点D与点E关于AB对称，
∴P'E=P'D，，
∴P'C+P'D=P'C+P'E=CE，
∴点P点在P'时，PC+PD的值最小，最小值为CE的长度．
∵∠BOC=2∠CAB=2×30°=60°，
而D为的中点，
∴∠BOE∠BOC=30°，
∴∠COE=60°+30°=90°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴CEOC，
∴PC+PD的最小值为．
故选：C．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4、C
【分析】根据平行线的性质可求解∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理及平角的定义可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，
∴∠ABC＝∠C＝27°，
∵∠A＝50°，
∴∠AEB＝180°﹣27°﹣50°＝103°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝77°，
故选：C．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
5、A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故A符合题意；
B.水中捞月是不可能事件，故B不符合题意；
C.瓮中捉鳖是必然事件，故C不符合题意；
D.水涨船高是必然事件，故D不符合题意；
故选A．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6、B
【分析】根据勾股定理求出AC，求出AC边上的高BM，根据相似三角形的性质得出方程，求出方程的解，即可求得S1，如图2，根据相似三角形的性质列方程求得HJ＝，于是得到S2＝（）2＞（）2，即可得到结论．
【详解】解：如图1，设正方形DEFG的边长是x，
∵△ABC是直角三角形，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴由勾股定理得：AC＝5，
过B作BM⊥AC于M，交DE于N，
由三角形面积公式得：BC×AB＝AC×BM，
∵AB＝3，AC＝5，BC＝4，
∴BM＝2.4，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝GF＝EF＝DE＝MN＝x，DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
即正方形DEFG的边长是；
∴S1＝（）2，
如图2，
∵HJ∥BC，
∴△AHJ∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴HJ＝，
∴S2＝（）2＞（）2，
∴S1＜S2，
故选：B．
本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积公式，正方形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7、B
【解析】试题解析：是关于的二次函数,
解得：
故选B.
8、B
【解析】由已知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.
【详解】解：：①∵，∠A为公共角，∴；
②∵，∠A为公共角，∴；
③虽然，但∠A不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似；
④∵，∴，又∵∠A为公共角，∴．
综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.
本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
9、B
【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|=1，且m+1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：|m|=1，且m+1≠0，
解得：m=1．
故选：B．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是1”；“二次项的系数不等于0”．
10、A
【分析】通过计算判别式的值可判断抛物线与轴的交点个数．
【详解】由二次函数，
知
∴．
∴抛物线与轴有二个公共点．
故选：A．
本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与轴的交点个数取决于的值．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或；
【分析】由题意可知关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，由于反比例函数的图象有两个分支，因此可以分开来考虑．
【详解】解：关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，观察图象的交点坐标可得：或.
本题考查一次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质以及一次函数、反比例函数与一次不等式的关系，理解不等式与一次函数和反比例函数的关系式解决问题的关键．
12、0
【分析】根据一元二次方程根的判别式的正负判断即可.
【详解】解：原方程可变形为，由题意可得
所以
故答案为：0
本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.
13、16:25
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：，
∴这两个三角形的面积比；
故答案为：∶.
本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
14、110∏C㎡
【解析】试题分析：∵圆锥的底面周长为10π，
∴扇形纸片的面积=×10π×14=140πcm1．
故答案为140π．
考点：圆锥的计算．
15、337
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得出有关p，q的式子，再利用两个根都是质数，可分析得出结果．
【详解】解：x1+x2＝，
x1x2＝＝287q＝7×41×q，
x1和x2都是质数，
则只有x1和x2是7和41，而q＝1，
所以7+41＝，
p＝336，
所以p+q＝337，
故答案为：337.
此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及质数的概念，题目比较典型．
16、（﹣8，4），（8，﹣4）
【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可．
【详解】解：以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（﹣4，2），
∴点E的对应点E'的坐标为（﹣4×2，2×2）或（4×2，﹣2×2），
即（﹣8，4），（8，﹣4），
故答案为：（﹣8，4），（8，﹣4）．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
17、1．
【分析】根据二次函数的性质求出函数的最小值即可．
【详解】解：∵y=1x2+1=1（x+0）2+1，
∴顶点坐标为（0，1）．
∴该函数的最小值是1．
故答案为：1．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．
18、a＜1
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，
∴﹣＜，
解得a＜1．
故答案为：a＜1．
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）DH＝2．
【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，即可求出∠ADB＝90°，从而得出AD⊥BC，最后根据三线合一即可证出结论；
（2）连接OE，根据菱形的性质可得OA＝OE＝AE，从而证出△AOE是等边三角形，从而得出∠A＝60°，然后根据等边三角形的判定即可证出△ABC是等边三角形，从而求出∠C，根据（1）的结论即可求出CD，最后根据锐角三角函数即可求出DH.
【详解】（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：如图，连接OE．
∵四边形AODE是菱形，
∴OA＝OE＝AE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵CD＝BD=，
∴DH＝CD•sinC＝2．
此题考查的是圆周角定理推论、等腰三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握直径所对的圆周角是直角、三线合一、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
20、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△AOB∽△COD,从而可证∠A=∠D；
（2）证明△AOE∽△DOF, △BOE∽△COF,然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
【详解】证明：（1）∵，，，,
∴,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD,
∴∠A=∠D；
（2）∵∠A=∠D，
∴AB∥CD,
∴△AOE∽△DOF, △BOE∽△COF,
∴,,
∴,
∵，
∴
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何证明．
21、x1＝﹣1，x2＝﹣2
【分析】利用因式分解法进行解答即可.
【详解】解：方程分解得：（x+1）（x+2）＝1，
可得x+1＝1或x+2＝1，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确的因式分解是解答本题的关键.
22、（1）y＝，y＝﹣+3；（2）2＜x＜1；（3）见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
【详解】（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点P（2，2），
∴k＝2×2＝1，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵一次函数y＝mx+n的图象过格点P（2，2），B（1，1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣+3；
（2）一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是2＜x＜1，
故答案为2＜x＜1．
（3）如图所示：
矩形OAPE、矩形ODFP即为所求作的图形．
此题是一道综合题，考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质，（3）中画矩形时把握矩形特点即可正确解答.
23、已知，分别是∠BAC、∠上的角平分线，
【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，对应角相等，可证得和相似，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】已知，分别是∠BAC、∠上的角的平分线，求证：
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴，∠B=∠，∠BAC∠，
∵分别是∠BAC、∠上的角的平分线，
∴∠BAD∠，
∴，
∴，
本题实际上是相似三角形的性质的拓展，不但有对应角的平分线等于相似比，对应边上的高，对应中线也都等于相似比．
24、（1）证明见解析；（2）EF＝2，FC＝1．
【分析】（1）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由EF∥AB可得出△EFC∽△ABC，再利用相似于同一三角形的两三角形相似可证出△ADE∽△EFC；
（2）由△ADE∽△EFC，利用相似三角形的性质可求出EF和FC的值．
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；
∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，
∴△ADE∽△EFC．
（2）∵△ADE∽△EFC，
∴，即，
∴EF＝2，FC＝1．
本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线截得的相似三角形模型是解题的关键.
25、（1）80人 （2）见解析 （3）375
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知，选择文学鉴赏的学生16人，占总体的20%，从而可以求得调查的学生总人数；
（2）根据 3D打印的百分比和（1）中求得的调查的学生数，可以求得选择3D打印的有多少人，进而可以求得选择数学思维的多少人，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据调查的选择红船课程的学生所占的百分比，即可估算出全校选择体育类的学生人数.
【详解】解：（1）16÷20%=80人；
（2）如图所示；
（3）=375（人）．
本题考查了条形统计图、样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.
26、（1）见解析；（1）（3π﹣）cm1
【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠ODB＝∠C．得出OD∥AC．由已知条件证出DE⊥OD，即可得出结论；
（1）由垂径定理求出OF，由勾股定理得出DF，求出BD，得出△BOD的面积，再求出扇形BOD的面积，即可得出结果．
【详解】（1）连接OD，如图1所示：
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠ODB＝∠C．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（1）过O作OF⊥BD于F，如图1所示：
∵∠C＝30°，AB＝AC，OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝∠C＝30°，
∴∠BOD＝110°，
在Rt△DFO中，∠FDO＝30°，
∴OF＝OD＝cm，
∴DF＝＝cm，
∴BD＝1DF＝3cm，
∴S△BOD＝×BD×OF＝×3×＝cm1，
S扇形BOD＝＝3πcm1，
∴S阴＝S扇形BOD﹣S△BOD＝＝（3π﹣）cm1．
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、三角形和扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定，由垂径定理和勾股定理求出OF和DF是解决问题（1）的关键．
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