资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰8，则∠D的度数是
A．10° B．30° C．80° D．120°
3．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；
③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
5．反比例函数的图象经过点，若点在反比例函数的图象上，则n等于（ ）
A．-4 B．-9 C．4 D．9
6．一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
9．下列四个点,在反比例函数y=图象上的是( )
A．(1,-6) B．(2,4) C．(3,-2) D．(-6,-1)
10．如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（ ）．
A．10° B．20° C．40° D．80°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为20cm，扇面BD的长为15cm，则弧DE的长是_____．
12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_____．
13．如图，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，则EF＝_____cm，
14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2020次得到正方形，那点的坐标是__________．
16．若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 ．
17．已知中，，，，，垂足为点，以点为圆心作，使得点在外，且点在内，设的半径为，那么的取值范围是______.
18．圆心角为，半径为2的扇形的弧长是_______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项．
（1）求证：∠CDE=∠ABC；
（2）求证：AD•CD=AB•CE．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为．
（1）点关于原点对称点分别为点，，写出点，的坐标；
（2）作出关于原点对称的图形；
（3）线段与线段的数量关系是__________，线段与线段的关系是__________．
21．（6分）如图, 是半圆的直径, 是半圆上的一点, 切半圆于点，于为点，与半圆交于点．
(1)求证: 平分；
(2)若,求圆的直径．
22．（8分）如图，在中，为边的中点，为线段上一点，联结并延长交边于点，过点作的平分线，交射线于点.设.
（1）当时，求的值；
（2）设，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）当时，求的值.
23．（8分）列一元二次方程解应用题
某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．
（1）求每个月增长的利润率；
（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？
24．（8分）用列代数式或列方程（组）的方法，解决网络上流行的一个问题：法国新总统比法国第一夫人小24岁，美国新总统比美国第一夫人大24岁，法国新总统比美国新总统小32岁．求：美国第一夫人比法国第一夫人小多少岁？
25．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
销售玩具获得利润w（元）
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
26．（10分）在一个不透明的袋子中装有大小、形状完全相同的三个小球，上面分别标有1，2，3三个数字．
（1）从中随机摸出一个球，求这个球上数字是奇数的概率是 ；
（2）从中先随机摸出一个球记下球上数字，然后放回洗匀，接着再随机摸出一个，求这两个球上的数都是奇数的概率（用列表或树状图方法）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】直接得出２的个数，再利用概率公式求出答案．
【解答】∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴朝上一面的数字是２的概率为：
故选Ａ．
【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
2、D
【解析】试题分析：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，
因为四边形ABCD为圆内接四边形，
所以∠A+∠C=180°，
即：x+8x=180，
∴x=20°，
则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，
所以∠D=120°，
故选D
考点: 圆内接四边形的性质
3、C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐一分析即可．
【详解】解: ∵AB=AC=6，∠B=75°
∴∠B=∠C=75°
∴∠A=180°－∠B－∠C=30°，
对于A选项，如下图所示
∵，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于B选项，如下图所示
∵DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形
∴∠E=60°
∴，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于C选项，如下图所示
∵，∠A=∠E=30°
∴∽△EFD，故本选项符合题意；
对于D选项，如下图所示
∵，但∠A≠∠D
∴与△DEF不相似，故本选项不符合题意；
故选C．
此题考查的是相似三角形的判定，掌握有两组对应边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似是解决此题的关键．
4、B
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【详解】解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选B．
本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．
5、A
【分析】将点（-2，6）代入得出k的值，再将代入即可
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴k=（-2）×6=-12，
∴
又点（3，n）在此反比例函数的图象上，
∴3n=-12，
解得：n=-1．
故选：A
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
6、C
【解析】A. 由抛物线可知，a>0，x=− <0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；
B. 由抛物线可知，a>0，x=−>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；
C. 由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确；
D. 由抛物线可知，a<0，x=−<0，得b<0，由直线可知，a<0，b>0，故本选项错误．
故选C.
7、D
【解析】将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.
【详解】原式=×=×（+1）=2+.
故选D.
本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.
8、D
【解析】试题解析：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
在中,由勾股定理得：
故选D.
点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
9、D
【解析】由可得xy=6，故选D．
10、B
【详解】根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,
所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半,
即
故选B
考点：同一弧所对的圆周角与它所对圆心角的关系.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、cm
【分析】直接利用弧长公式计算得出答案．
【详解】弧DE的长为：.
故答案是：.
考查了弧长公式计算，正确应用弧长公式是解题关键．
12、.x1＝－3，x2＝2
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3,0)，(2,0)，
∴当x=−3或x=2时，y=0，
即方程的解为
故答案为：
13、
【分析】连接AC、BD，根据题意得出E、F分别为AB、AD的中点，EF是△ABD的中位线，得出EF＝BD，再由已知条件根据三角函数求出OB，即可求出EF.
【详解】解：连接AC、BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，
∴AE＝EO，AF＝OF，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD，
∵菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，
∴AB＝2cm，∠ABC＝60°，
∴OB＝BD，∠ABO＝30°，
∴OB＝AB•cos30°＝2×＝，
∴EF＝BD＝OB＝；
故答案为：.
此题考查菱形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，三角形中位线的判定及性质，由折叠得到EF是△ABD的中位线，由此利用锐角三角函数求出OB的长度达到解决问题的目的.
14、（1，2）．
【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线的顶点坐标的形式是解题的关键．
15、（-1，-1）
【分析】连接OB，根据图形可知，点B在以点O为圆心、、OB为半径的圆上运用，将正方形OABC绕点O逆时针依次旋转45°，可得点B的对应点坐标，根据图形及对应点的坐标发现是8次一个循环，进而得出结论．
【详解】解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1,1），
连接OB，由勾股定理可得 ，由旋转的性质得：
将正方形OABC绕点O逆时针依次旋转45°，得：
，
∴，，，，…，可发现8次一循环，
∵，
∴点的坐标为,
故答案为．
本题考查了几何图形的规律探究，根据计算得出“8次一个循环”是解题的关键．
16、．
【详解】解：由题意作出树状图如下：
一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有30种，所以，P=．
考点：列表法与树状图法.
17、
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，再求出AD,BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，
∴AB==1．
∵CD⊥AB，∴CD=．
∵AD•BD=CD2，
设AD=x，BD=1-x，得x(1-x)=,
又AD＞BD,解得x1=(舍去),x2=.
∴AD=,BD=.
∵点A在圆外，点B在圆内，
∴BD＜r＜AD,
∴r的范围是，
故答案为：．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
18、
【分析】利用弧长公式进行计算.
【详解】解：
故答案为：
本题考查弧长的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键.
三、解答题(共66分)
19、 (1)证明见解析;(2)证明见解析;
【解析】试题分析:(1)根据BD是AB与BE的比例中项可得, BD是∠ABC的平分线,则∠ABD=∠DBE,可证△ABD∽△DBE, ∠A=∠BDE. 又因为∠BDC=∠A+∠ABD,
即可证明∠CDE=∠ABD=∠ABC,(2) 先根据∠CDE=∠CBD,∠C=∠C,可判定
△CDE∽△CBD,可得.又△ABD∽△DBE,所以,,所以
.
试题解析:（1）∵BD是AB与BE的比例中项,
∴,
又BD是∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBE,
∴△ABD∽△DBE,
∴∠A=∠BDE.
又∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠CDE=∠ABD=∠ABC,即证.
（2）∵∠CDE=∠CBD,∠C=∠C,
∴△CDE∽△CBD,
∴.
又△ABD∽△DBE,
∴,
∴,
∴.
20、（1）点，，的坐标分别为，，；（2）作图见解析；（3），
【分析】（1）分别作出点关于原点对称点，，，然后根据平面直角坐标系即可写出点，、的坐标；
（2）连接、、即可；
（3）根据对称的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）分别作点关于原点对称点，，，如下图所示，，，即为所求，由平面直角坐标系可知：点，，的坐标分别为，，；
（2）连接、、，如图所示，即为所求；
（3）由对称的性质可得到，．
故答案为：；．
此题考查的是作已知图形关于原点对称的图形和对称的性质，掌握已知图形关于原点对称图形的作法和对称的性质是解决此题的关键．
21、 (1)见解析；(2)．
【分析】（1）连结OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，则OC∥BD，所以∠1=∠3，加上∠1=∠2，从而得到∠2=∠3；
（2）连结AE交OC于G，如图，利用圆周角定理得到∠AEB=90°，再证明四边形CDEG为矩形得到GE=CD=8，然后利用勾股定理计算AB的长即可．
【详解】解：（1）证明：连结OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥DF，
∴OC∥BD，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：连结AE交OC于G，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵OC∥BD，
∴OC⊥CD，
∴AG=EG，
易得四边形CDEG为矩形，
∴GE=CD=8，
∴AE=2EG=16，
在Rt△ABE中，AB==，
即圆的直径为.
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
22、（1）；（2）；（3）或2.
【分析】（1）由平行四边形ABCD，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到两对内错角相等，进而确定出三角形BEF与三角形AGF相似，由相似得比例，把x＝1代入已知等式，结合比例式得到AG＝BE，AD＝AB，即可求出所求式子的值；
（2）设AB＝1，根据已知等式表示出AD与BE，由AD与BC平行，得到比例式，表示出AG与DG，利用两角相等的三角形相似得到三角形GDH与三角形ABE相似，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方列出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；
（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示；②当H在DC的延长线上时，如图2所示，分别利用相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】（1）在中，，，
.
，即，
.
，.
为的中点，
.
，即.
（2），
不妨设.
则，.
，
.
，.
，
.
，
.
.
在中，，
.
.
.
.
（3）①当点在边上时，
，
.
.
，
.
.
解得.
②当在的延长线上时，
，
.
.
，
.
.
解得.
综上所述，可知的值为或2.
此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
23、（1）每个月增长的利润率为5%．（2）4月份该公司的纯利润为23.1525万元．
【分析】（1）设出平均增长率,根据题意表示出1月份和3月份的一元二次方程即可解题,
（2）根据上一问求出的平均增长率,用3月份利润即可求出4月份的纯利润.
【详解】解：（1）设每个月增长的利润率为x，
根据题意得：20×（1+x）2=22.05，
解得：x1=0.05=5%，x2=﹣2.05（不合题意，舍去）．
答：每个月增长的利润率为5%．
（2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）．
答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．
本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.
24、美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．
【分析】将法国新总统设为x岁，然后用含x的代数式分别表示出法国第一夫人，美国新总统，美国第一夫人，然后用法国第一夫人减去美国第一夫人的年龄即可得出答案.
【详解】设法国新总统x岁，则法国第一夫人：（x+24）岁，美国新总统：（x+32）岁，美国第一夫人：（x+32﹣24）＝（x+8）岁，
故美国第一夫人比法国第一夫人小：（x+24）﹣（x+8）＝16（岁）．
故美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．
本题主要考查代数式的应用，掌握列代数式的方法是解题的关键.
25、 (1) 1000﹣x，﹣10x2+1300x﹣1；（2）50元或80元；（3）8640元.
【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得
销售量y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，销售利润w=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣1．
（2）令﹣10x2+1300x﹣1=10000，求出x的值即可；
（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣1转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．
【详解】解：（1）销售量y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，
销售利润w=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣1．
故答案为: 1000﹣x，﹣10x2+1300x﹣1．
（2）﹣10x2+1300x﹣1=10000
解之得：x1=50，x2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
（3）根据题意得，
解得：44≤x≤46 ．
w=﹣10x2+1300x﹣1=﹣10（x﹣65）2+12250
∵a=﹣10＜0，对称轴x=65，
∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．
∴当x=46时，W最大值=8640（元）．
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
26、（1）；（2）见解析，
【分析】（1）直接根据概率公式解答即可；
（2）首先根据题意列出表格，然后列表法求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案
【详解】解：（1）从3个球中随机摸出一个，摸到标有数字是奇数的球的概率是；
（2）列表如下：
第1次 第2次
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
根据表格可知共有9中情况，其中两次都是奇数的是4种，则概率是=．
本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
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