资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=1．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
2．某超市花费1140元购进苹果100千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为多少元/千克？设售价为元/千克，根据题意所列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．向阳村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元．设年平均增长率为，根据题意，可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5．已知是单位向量，且，那么下列说法错误的是（ ）
A． ∥ B．||=2 C．||=﹣2|| D． =﹣
6．如图，在菱形中，，是线段上一动点（点不与点重合），当是等腰三角形时，（ ）
A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°
7．已知函数的图像上两点，，其中，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
8．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是( )
A．p一定等于
B．p一定不等于
C．多投一次，p更接近
D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近
9．袋中有5个白球，x个红球，从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为，则x为
A．25 B．20 C．15 D．10
10．若抛物线y=x2-2x-1与x轴的一个交点坐标为（m，0），则代数式2m2-4m+2017的值为（ ）
A．2019 B．2018 C．2017 D．2015
11．如图，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上.若，则的长为（ ）
A．0.5 B．1.5 C． D．1
12．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若用αn表示正n边形的中心角，则边长为4的正十二边形的中心角是____．
14．如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，作轴于点，轴于点，连结，记的面积为，的面积为，则___________（填“>”或“<”或“=”）
15．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．
16．方程2x2-x=0的根是______.
17．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形连结则对角线的最小值为 ．
18．从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为 ________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知中，，为上一点，以为直径作与相切于点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20．（8分）如图，我国海监船在处发现正北方向处有一艘可疑船只，正沿南偏东方向航行，我海监船迅速沿北偏东方向去拦裁，经历小时刚好在处将可疑船只拦截，已知我海监船航行的速度是每小时海里，求可疑船只航行的距离．
21．（8分）已知直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线解析式；
（2）点C（m，0）在线段OA上（点C不与A，O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE＝AD，求m的值；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）将△ABC各顶点的横纵坐标都缩小为原来的得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；
（2）求A1C1的长．
23．（10分）已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，对角线AC和BD交于点E．
（1）若∠BAD和∠BCD的度数之比为1：2，求∠BCD的度数；
（2）若AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为劣弧BD的中点，求弦AC的长；
（3）若⊙O的半径为1，AC+BD＝3，且AC⊥BD．求线段OE的取值范围．
24．（10分）如图，已知△ABC为和点A'.
(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;
(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.
25．（12分）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
26．已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC．
（1）求证：△AED∽△CFE；
（2）当EF//DC时，求证：AE=DE．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
【详解】∵点C的坐标为（﹣1，0），AC=1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
如图所示，
将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，
则点A′的坐标为（﹣1，1），
再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（1，1），
故选A．
本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键．
2、A
【分析】根据“为避免亏本”可知，总售价≥总成本，列出不等式即可.
【详解】解：由题意可知：
故选：A.
此题考查的是一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的不等关系是解决此题的关键.
3、A
【分析】设年平均增长率为，根据：2017年的人均收入×1+增长率=年的人均收入，列出方程即可．
【详解】设设年平均增长率为，根据题意，得：
，
故选：A．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
4、B
【解析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，则有AC=AB=×24=12，在Rt△AOC中，∠ACO=90°，AO=13， ∴OC==5，即点O到AB的距离是5.
5、C
【详解】解：∵是单位向量，且，，
∴，， ， ，
故C选项错误，
故选C.
6、C
【分析】根据是等腰三角形，进行分类讨论
【详解】是菱形，
，
不符合题意
所以选C
7、B
【分析】由二次函数可知，此函数的对称轴为x＝2，二次项系数a＝−1＜0，故此函数的图象开口向下，有最大值；函数图象上的点与坐标轴越接近，则函数值越大，故可求解．
【详解】函数的对称轴为x＝2，二次函数开口向下，有最大值，
∵，
A到对称轴x＝2的距离比B点到对称轴的距离远，
∴
故选：B．
本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象性质．
8、D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
【详解】投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在附近．
故选：D．
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．
9、B
【解析】考点：概率公式．
分析：根据概率的求法，除去红球的概率，就是白球的概率．找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：解：从中任意取一个，恰为红球的概率为4/5，
,那从中任意取一个，恰为白球的概率就为1/5，
据题意得5/(5+x)=1/5
，解得x=1．
∴袋中有红球1个．
故选B．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= m/n
10、A
【分析】将代入抛物线的解析式中，可得，变形为然后代入原式即可求出答案．
【详解】将代入，
∴，
变形得：，
∴，
故选：A．
本题考查抛物线的与轴的交点，解题的关键是根据题意得出，本题属于基础题型．
11、D
【解析】利用∠B的正弦值和正切值可求出BC、AB的长，根据旋转的性质可得AD=AB，可证明△ADB为等边三角形，即可求出BD的长，根据CD=BC-BD即可得答案.
【详解】∵AC=，∠B=60°，
∴sinB=，即，tan60°=，即，
∴BC=2，AB=1，
∵绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，
∴AB=AD，
∵∠B=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1.
故选D.
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．
12、C
【解析】试题解析：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，
∴DE=6-2x，
∴纸盒侧面积=3x（6-2x）=-6x2+18x，
=-6（x-）2+，
∴当x=时，纸盒侧面积最大为．
故选C．
考点：1．二次函数的应用；2．展开图折叠成几何体；3．等边三角形的性质．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、30º
【分析】根据正多边形的中心角的定义，可得正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．
【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．
故答案为：30º．
此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
14、=
【分析】
连接OP、OQ，根据反比例函数的几何意义，得到，由OM=AP，OB=NQ，得到，即可得到.
【详解】
解：如图，连接OP、OQ，则
∵点P、点Q在反比例函数的图像上，
∴，
∵四边形OMPA、ONQB是矩形，
∴OM=AP，OB=NQ，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：=.
本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几何意义判断面积相等.
15、
【解析】根据相似三角形的性质直接解答即可．
解：∵两个相似三角形的周长比是1：3，
∴它们的面积比是，即1：1．
故答案为1：1．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
16、x1=, x2=0
【分析】利用因式分解法解方程即可.
【详解】2x2-x=0，
x（2x-1）=0，
x=0或2x-1=0，
∴x1=， x2=0.
故答案为x1=， x2=0.
本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，熟练运用因式分解法将方程化为x（2x-1）=0是解决问题的关键.
17、1
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
18、
【分析】采用列举法求概率．
【详解】解：随机抽取的所有可能情况为：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁六种情况，则符合条件的只有一种情况，则P（抽取的2名学生是甲和乙）=1÷6=．
故答案为：
本题考查概率的计算，题目比较简单．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，等量代换得到∠OED=∠F，于是得到结论；
（2）根据平行得出，再由可得到关于BE的方程，从而得出结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵切于点，
∴．
∴．
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
20、70海里．
【分析】过作于点，分别利用三角函数解和，即可进行求解.
【详解】过作于点，
根据题意得： (海里) ，
在中，
(海里) ，
在中，
(海里) ，
答：可疑船只航行的距离为70海里．
本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
21、（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝﹣2；（3）存在，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0），理由见解析
【分析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法即可得出结论；
（2）先表示出DE，再利用勾股定理表示出AD，建立方程即可得出结论；
（3）分两种情况：①以BD为一边，判断出△EDB≌△GNM，即可得出结论．
②以BD为对角线，利用中点坐标公式即可得出结论．
【详解】（1）当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
当y＝0时，x+3＝0，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）∵CD⊥OA，C（m，0），
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵AC＝m+3，CD＝m+3，
由勾股定理得：AD＝（m+3），
∵DE＝AD，
∴﹣m2﹣3m＝2（m+3），
∴m1＝﹣3（舍），m2＝﹣2；
（3）存在，分两种情况：
①以BD为一边，如图1，设对称轴与x轴交于点G，
∵C（﹣2，0），
∴D（﹣2，1），E（﹣2，3），
∴E与B关于对称轴对称，
∴BE∥x轴，
∵四边形DNMB是平行四边形，
∴BD＝MN，BD∥MN，
∵∠DEB＝∠NGM＝90°，∠EDB＝∠GNM，
∴△EDB≌△GNM，
∴NG＝ED＝2，
∴N（﹣1，﹣2）；
②当BD为对角线时，如图2，
此时四边形BMDN是平行四边形，
设M（n，﹣n2﹣2n+3），N（﹣1，h），
∵B(0，3),D(-2，1),
∴
∴n＝-1，h＝0
∴N（﹣1，0）；
综上所述，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，根据线段之间的数量关系求点坐标，根据点的位置构建平行四边形，（3）中以BD为对角线时，利用中点坐标公式计算更简单.
22、（1）作图见解析；（2）
【解析】(1)直接利用位似图形的性质求解即可;(2)根据题意利用勾股定理解答即可.
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，△A2B2C2，都是符合题意的图形；
（2）A1C1的长为：．
本题考查了位似变换及勾股定理的知识点，解题的关键是由题意正确得出对应点的位置.
23、（1）120°；（2）；（3）≤OE≤
【分析】(1)利用圆内接四边形对角互补构建方程解决问题即可．
(2)将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；
(3)由题知 AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2＝2﹣（AC2+BD2），设AC＝m，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】解：(1)如图1中，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A：∠C＝1：2，
∴设∠A＝x，∠C＝2x，则x+2x＝180°，
解得，x＝60°，
∴∠C＝2x＝120°．
(2)如图2中，
∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵点C为弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝30°，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，如图2所示：
则∠E＝∠CAD＝∠CAB＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，
∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝360°﹣（∠CAB+∠ACB+∠ABC）＝360°﹣180°＝180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC＝CE，
∴AM＝EM＝AE＝（AB+AD）＝×（3+5）＝4，
在Rt△AMC中，AC＝．
(3) 过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，
∵OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，AC⊥BD，
∴四边形OMEN是矩形，
∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，
∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）
设AC＝m，则BD＝3﹣m，
∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，
∴1≤m≤2，
OE2＝2﹣ [（AC+BD）2﹣2AC×BD]＝﹣m2+m﹣＝﹣（m﹣）2+，
∴≤OE2≤，
∴≤OE≤．
本题主要考查的是圆和四边形的综合应用，掌握圆和四边形的基本性质结合题目条件分析题目隐藏条件是解题的关键.
24、（1）作图见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可．
（2）根据中位线定理易得△DEF∽△CAB，△D'E'F'∽△C'A'B'，故可得△DEF∽△D'E'F'.
【详解】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即为所求．
证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴；
（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴△DEF∽△CAB，
同理：△D'E'F'∽△C'A' B'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．
本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
25、（1）；（2）.
【解析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，
所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）．
本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】试题分析：两组角对应相等，两个三角形相似.
证明根据相似三角形对应边成比例，即可证明.
试题解析：（1）
又
∵AD//BC，
（2）∵EF//DC，
∴．
∵AD//BC，
∴，∴．
即，
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