资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点，为直线上的两点，过，两点分别作轴的平行线交双曲线（）于、两点.若，则的值为（ ）
A．12 B．7 C．6 D．4
2．关于二次函数y＝x2+4x﹣5，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，5） B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小 D．图象与x轴的两个交点之间的距离为5
3．如图，二次函数的图象过点，下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④当时，．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
5．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )
A． B． C． D．2
6．⊙O是半径为1的圆，点O到直线L的距离为3，过直线L上的任一点P作⊙O的切线，切点为Q；若以PQ为边作正方形PQRS，则正方形PQRS的面积最小为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，9） B．（2，-9）
C．（-2，9） D．（-2，-9）
8．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
9．在中，最简二次根式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．边长为4cm的正三角形的外接圆半径长是_____cm．
12．某厂前年缴税万元，今年缴税万元， 如果该厂缴税的年平均增长率为，那么可列方程为______．
13．菱形的两条对角线分别是，，则菱形的边长为________，面积为________．
14．若二次函数的图象开口向下，则实数a的值可能是___________（写出一个即可）
15．如图，点M是反比例函数（）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为______．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3）和点B（7，0），则tan∠ABO＝_____．
17．观察下列运算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144，…，则：81+82+83+84+…+82014的和的个位数字是 .
18．使代数式有意义的实数x的取值范围为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知锐角△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D．
（1）若∠BAC=60°，⊙O的半径为4，求BC的长；
（2）请用无刻度直尺画出△ABC的角平分线AM． （不写作法，保留作图痕迹）
20．（6分）二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y满足下表
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
0
3
1
0
…
不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
21．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
22．（8分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足，则称点P为⊙O的“随心点”．
（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，⊙O的“随心点”是 ；
（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；
（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围 ．
23．（8分）解方程:;
二次函数图象经过点，当时，函数有最大值，求二次函数的解析式．
24．（8分）非洲猪瘟疫情发生以来，猪肉市场供应阶段性偏紧和猪价大幅波动时有发生，为稳定生猪生产，促进转型升级，增强猪肉供应保障能力，国务院办公厅于2019年9月印发了《关于稳定生猪生产促进转型升级的意见》，某生猪饲养场积极响应国家号召，努力提高生产经营管理水平，稳步扩大养殖规模，增加猪肉供应量。该饲养场2019年每月生猪产量y（吨）与月份x（，且x为整数）之间的函数关系如图所示.
（1）请直接写出当（x为整数）和（x为整数）时，y与x的函数关系式；
（2）若该饲养场生猪利润P（万元/吨）与月份x（，且x为整数）满足关系式：，请问：该饲养场哪个月的利润最大？最大利润是多少？
25．（10分） “道路千万条，安全第一条”，《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在据路边处有“车速检测仪”，测得该车从北偏西的点行驶到北偏西的点，所用时间为．
（1）试求该车从点到点的平均速度(结果保留根号)；
（2）试说明该车是否超速．
26．（10分）如图，抛物线过原点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）已知为抛物线上一点，连接，，，求的值；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在一点，过点作轴于点，使以，，三点为顶点的三角形与相似，若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是(a，a)，B的坐标是(b，b)．则AE=OE=a，BF=OF=b．根据BD=2AC即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
【详解】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b．
∵点A、B为直线y=x上的两点，
∴A的坐标是(a，a)，B的坐标是(b，b)．则AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D两点在交双曲线(x＞0)上，则CE，DF，
∴BD=BF﹣DF=b，AC=a．
又∵BD=2AC，
∴b2(a)，
两边平方得：b22=4(a22)，即b24(a2)﹣1．
在直角△OCE中，OC2=OE2+CE2=a2，同理OD2=b2，
∴4OC2﹣OD2=4(a2)﹣(b2)=1．
故选：C．
本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD=2AC得到a，b的关系是关键．
2、C
【分析】通过计算自变量为0的函数值可对A进行判断；利用对称轴方程可对B进行判断；根据二次函数的性质对C进行判断；通过解x2+4x﹣5＝0得抛物线与x轴的交点坐标，则可对D进行判断．
【详解】A、当x＝0时，y＝x2+4x﹣5＝﹣5，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣5），所以A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以B选项错误；
C、抛物线开口向上，当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，所以C选项正确；
D、当y＝0时，x2+4x﹣5＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），两交点间的距离为1+5＝6，所以D选项错误．
故选：C．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3、B
【分析】根据二次函数的性质对各项进行判断即可．
【详解】A.∵函数图象过点，∴对称轴为，可得，正确；
B.∵，∴当，，正确；
C.根据二次函数的对称性，的纵坐标等于的纵坐标，∵，所以，错误；
D.由图象可得，当时，，正确；
故答案为：B．
本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象以及性质是解题的关键．
4、C
【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝．
故选：C．
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
5、A
【解析】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则AB=，
则cosB=．
故选A．
6、B
【分析】连接OQ、OP，作于H，如图，则OH=3，根据切线的性质得，利用勾股定理得到，根据垂线段最短，当OP=OH=3时，OP最小，于是PQ的最小值为，即可得到正方形PQRS的面积最小值1．
【详解】解： 连接OQ、OP，作于H，如图，则OH=3，
∵PQ 为的切线，
∴
在Rt中，，
当OP最小时，PQ最小，正方形PQRS的面积最小，
当OP=OH=3时，OP最小，
所以PQ的最小值为，
所以正方形PQRS的面积最小值为1
故选B
7、A
【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案．
【详解】∵，
∴顶点坐标为（2，9）．
故选：A．
本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解答此题的关键，即在中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
8、B
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该抛物线与x轴的交点坐标和顶点的坐标，再根据在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，可知其中一点一定在顶点处，从而可以求得m的值．
【详解】∵抛物线y=（x+1）（x-3）与x轴相交于A、B两点，
∴点A（-1，0），点B（3，0），该抛物线的对称轴是直线x==1，
∴AB=3-（-1）=4，该抛物线顶点的纵坐标是：y=（1+1）×（1-3）=-4，
∵在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，
∴m==8，
故选B．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9、A
【分析】根据最简二次根式的条件进行分析解答即可．
【详解】解：不是最简二次根式，是最简二次根式.
故选A.
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
10、D
【解析】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．
详解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D．
点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、．
【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝ ．OC是边心距r，OA即半径R．AB＝2AC＝a．根据三角函数即可求解．
【详解】解：连接中心和顶点，作出边心距．那么得到直角三角形在中心的度数为：360°÷3÷2＝60°，那么外接圆半径是4÷2÷sin60°＝；
故答案为：．
本题考查了等边三角形、垂径定理以及三角函数的知识，解答的关键在于做出辅助线、灵活应用勾股定理.
12、
【分析】由题意设该厂缴税的年平均增长率为x，根据该厂前年及今年的纳税额，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：如果该厂缴税的年平均增长率为，
那么可以用表示今年的缴税数，今年的缴税数为，
然后根据题意列出方程.
故答案为：.
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13、
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求菱形的面积即可．
【详解】∵菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，
∴对角线的一半分别为3cm，4cm，
∴根据勾股定理可得菱形的边长为： =5cm，
∴面积S= ×6×8=14cm1．
故答案为5；14．
本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，熟记菱形的性质是解决本题的关键．
14、-2（答案不唯一，只要是负数即可）
【分析】根据二次函数的图像和性质进行解答即可
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0
∴取a=-2
故答案为：-2（答案不唯一，只要是负数即可）
本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键，题目较简单
15、1
【解析】解：设A的坐标是（m，n），则mn=2，则AB=m，△ABC的AB边上的高等于n，则△ABC的面积=mn=1．故答案为1．
点睛：本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，△ABC的面积=|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
16、．
【分析】过A作AC⊥OB于点C，由点的坐标求得OC、AC、OB，进而求BC，在Rt△ABC中，由三角函数定义便可求得结果．
【详解】解：过A作AC⊥OB于点C，如图，
∵A（3，3），点B（7，0），
∴AC＝OC＝3，OB＝7，
∴BC＝OB﹣OC＝4，
∴tan∠ABO＝，
故答案为：．
本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．
17、1．
【解析】试题分析：易得底数为8的幂的个位数字依次为8，2，1，6，以2个为周期，个位数字相加为0，呈周期性循环．那么让1012除以2看余数是几，得到相和的个位数字即可：
∵1012÷2=503…1，
∴循环了503次，还有两个个位数字为8，2．
∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是503×0+8+2=11的个位数字.
∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是1．
考点：探索规律题（数字的变化类——循环问题）.
18、
【分析】根据二次根式有意义的条件得出即可求解.
【详解】若代数式有意义，
则，
解得：，
即实数x的取值范围为.
故填：
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义即根号内的式子要大于等于零是关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）见解析
【分析】（1）连接OB、OC，得到，然后根据垂径定理即可求解BC的长；
（2）延长OD交圆于E点，连接AE，根据垂径定理得到，即，AE即为所求．
【详解】（1）连接OB、OC，
∴
∵OD⊥BC
∴BD=CD，且
∵OB=4
∴0D=2，BD=
∴BC=
故答案为；
（2）如图所示，延长OD交⊙O于点E，
连接AE交BC于点M，AM即为所求
根据垂径定理得到，即，所以AE为的角平分线．
本题考查了垂径定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，熟练掌握圆部分的定理和相关性质是解决本题的关键．
20、（1）抛物线与x轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x＜1时，y随x的增大而增大
【分析】根据表格中数据，可得抛物线与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，抛物线的对称轴直线以及抛物线在对称轴左侧的增减性，从而进行解答.
【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=3；当y=0时，x=-1或3
∴该函数三条不同的性质为：
（1）抛物线与x轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x＜1时，y随x的增大而增大
本题考查二次函数性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.
21、（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣1．
【分析】（1）将（1，﹣1）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；
（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图象及性质即可求出结论．
【详解】（1）根据题意得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣1．
此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质是解决此题的关键．
22、 (1) A,C ；（2）；(3) 1≤b≤或-≤b≤-1．
【分析】（1）根据已知条件求出d的范围：1≤d≤3，再将各点距离O点的距离，进行判断是否在此范围内即可，满足条件的即为随心点；
（2）根据点E（4，3）是⊙O的“随心点”，可根据，求出d=5，再求出r的范围即可；
（3）如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r=2，求出随心点范围，再分情况点N在y轴正半轴时，当点N在y轴负半轴时，分情况讨论即可.
【详解】(1) ∵⊙O的半径r=2，
∴=3，=1
∴1≤d≤3
∵A（3，0），
∴OA=3，在范围内
∴点A是⊙O的“随心点”
∵B（0，4）
∴OB=4，而4＞3，不在范围内
∴B是不是⊙O的“随心点”，
∵C（，2），
∴OC=，在范围内
∴点C是⊙O的“随心点”，
∵D（，），
∴OD=＜1，不在范围内
∴点D不是⊙O的“随心点”，
故答案为：A,C
（2）∵点E（4，3）是⊙O的“随心点”
∴OE=5，即d=5
若， ∴r=10
若 ，
∴
(3)
∵如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r=2，随心点范围
∴
∵直线MN的解析式为y=x+b，
∴OM=ON，
①点N在y轴正半轴时，
当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（-1，0），
将M（-1，0）代入直线MN的解析式y=x+b中，解得，b=1，
即：b的最小值为1，
过点O作OG⊥M'N'于G，
当点G是⊙O的“随心点”时，此时OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，
∴GO=3
∴在Rt△GNN’中，===，
b的最大值为，
∴1≤b≤，
②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出-≤b≤-1．
综上所述，b的取值范围是：1≤b≤或-≤b≤-1．
此题考查了一次函数的综合题，主要考查了新定义，点到原点的距离的确定，解（3）的关键是找出线段MN上的点是圆O的“随心点”的分界点，是一道中等难度的题目．
23、；
【分析】（1）根据题意利用因式分解法进行一元二次方程求解；
（2）根据题意确定出顶点坐标，设出顶点形式，将（4，-3）代入即可确定出解析式．
【详解】解:
;
解:由题意可知此抛物线顶点坐标为，
设其解析式为，
将点代入得:，
解得:，
此抛物线解析式为:.
考查一元二次方程求解以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握一元二次方程的解法和待定系数法求二次函数解析式是解本题的关键．
24、（1）(，x为整数) ， （,x为整数）；（2）该饲养场一月份的利润最大，最大利润是203万元
【分析】（1）由图可知当时，，当时，利用待定系数法可求出解析式；
（2）设生猪饲养场月利润为W，分段讨论函数的最值，进行比较即可得出最大利润及月份.
【详解】解：（1）当时，；
当时，设，
将(4,140)，(12,220)代入得
，解得
∴
∴y与x的函数关系式为：
(，x为整数) ，（,x为整数）
（2）设生猪饲养场月利润为W，
当（x为整数）时，,
因为，W随x的增大而减小，所以当x取最小值1时，万元
当（x为整数）时，,
因为，所以当时，万元；
综上所述，该饲养场一月份的利润最大，最大利润是203万元
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数和二次函数的最值问题，熟练掌握待定系数法和二次函数的最值求法是解题的关键.
25、（1）；（2）没有超过限速．
【分析】（1）分别在、中，利用正切求得、的长，从而求得的长，已知时间路程则可以根据公式求得其速度．
（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．
【详解】解：（1）在中，，
在中，，
．
小汽车从到的速度为．
（2），
又，
小汽车没有超过限速．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．．
26、（1）抛物线的解析式为；顶点的坐标为；（2）3；（3）点的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而即可求出顶点坐标；
（2）先将点C的横坐标代入抛物线的解析式中求出纵坐标，根据B,C的坐标得出，，从而有，最后利用求解即可；
（3）设为．由于，所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，分两种情况：或，分别建立方程计算即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过原点，且与轴交于点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点的坐标为．
（2）∵在抛物线上，
∴．
作轴于，作轴于，
则，，
∴，．
∴．
∵，．
∴．
（3）假设存在．
设点的横坐标为，则为．
由于，
所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，
有或
∴ 或．
解得或．
∴存在点，使以，，三点为顶点的三角形与相似．
∴点的坐标为或．
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
