资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．有一组数据5，3，5，6，7，这组数据的众数为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．7
2．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝0 B．y2﹣3x+2＝0
C．x2＝5x D．x2﹣4＝（x+1）2
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=50°，则∠A的度数为（ ）
A．80º B．60º C．40º D．50º
5．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一根电线杆垂直于地面，并用两根拉线，固定，量得，，则拉线，的长度之比（ ）
A． B． C． D．
9．根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（ ）．
…
…
…
…
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在轴两侧
C．有两个交点，且它们均在轴同侧 D．无交点
10．从﹣1，0，1，2，3这五个数中，任意选一个数记为m，能使关于x的不等式组有解，并且使一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m+2＝0有实数根的数m的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．现有6张正面分别标有数字的不透明卡片，这些卡片除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗均匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根的概率为____．
12．若是一元二次方程的两个实数根，则_______．
13．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝_____．
14．如图，在直角坐标系中，已知点，，，，对述续作旋转变换，依次得、、、．．．，则的直角顶点的坐标为________．
15．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为_______.（结果保留）
16．如图，的对角线交于O，点E为DC中点，AC=10cm，△OCE的周长为18cm，则的周长为____________．
17．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则的面积为_____________．
18．若圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面展开图的圆心角应为_________________度.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形EFGC，点E在AD上．延长AD交FG于点H
（1）求证：△EDC≌△HFE；
（2）若∠BCE＝60°，连接BE、CH．证明：四边形BEHC是菱形．
20．（6分）某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的长．（结果保留根号）
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．
（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．
（2）若，，求OB．
22．（8分）（1）解方程组:
（2）计算
23．（8分）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．
(1)已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是__________；
(2)随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．
24．（8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC=BD•AC；
（2）如果=3，=2，DE=6，求BC的长．
25．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点，.
（1）求的值；
（2）直接写出不等式的解.
26．（10分）李师傅驾驶出租车匀速地从西安市送客到咸阳国际机场，全程约，设小汽车的行驶时间为 (单位:)，行驶速度为(单位:)，且全程速度限定为不超过.
（1）求关于的函数表达式;
（2）李师傅上午点驾驶小汽车从西安市出发.需在分钟后将乘客送达咸阳国际机场，求小汽车行驶速度.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据众数的概念求解．
【详解】这组数据中1出现的次数最多，出现了2次，
则众数为1．
故选：C．
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
2、B
【分析】首先根据已知等式得出，然后代入所求式子，即可得解.
【详解】∵
∴
∴
故答案为B.
此题主要考查利用已知代数式化为含有同一未知数的式子，即可解题.
3、C
【解析】依据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】A．x20是分式方程，故错误；
B．y2﹣3x+2=0是二元二次方程，故错误；
C．x2=5x是一元二次方程，故正确；
D．x2﹣4=(x+1)2是一元一次方程，故错误．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
4、C
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠B=50°，∴∠A=90°-∠B=40°．故选C．
5、C
【分析】根据三角函数的定义及相似三角形的判定定理及性质对各选项逐一判断即可得答案．
【详解】∵已知∠ACB的度数和AC的长，
∴利用∠ACB的正切可求出AB的长，故①能求得A，B两树距离，
∵AB//EF，
∴△ADB∽△EDF，
∴，故②能求得A，B两树距离，
设AC＝x，
∴AD＝CD+x，AB＝，AB＝；
∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴可求出x，然后可得出AB，故③能求得A，B两树距离，
已知∠F，∠ADB，FB不能求得A，B两树距离，故④求得A，B两树距离，
综上所述：求得A，B两树距离的有①②③，共3个，
故选：C．
本题考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
6、B
【解析】连接AO1，AO2，O1O2，BO1，推出△AO1O2是等边三角形，求得∠AO1B=120°，得到阴影部分的面积=-，得到空白部分的面积=+，于是得到结论．
【详解】
解：连接AO1，AO2，O1O2，BO1，则O1O2垂直平分AB
∴AO1=AO2=O1O2=BO1=1，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，AB=2AO1sin60°=
∴∠AO1B=120°，∴阴影部分的面积=2×（）=-，
∴空白部分和阴影部分的面积和=2π-（-）=+，
∴骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为≈，
故选B．
此题考查了几何概率，扇形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
7、D
【分析】可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【详解】A．一次函数y=ax+c与y轴交点应为(0，c)，二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点也应为(0，c)，图象不符合，故本选项错误；
B．由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C．由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D．由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
本题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来解答这种数形结合题是一种很好的方法．
8、D
【分析】根据锐角三角函数可得：和，从而求出.
【详解】解：在Rt△AOP中，，
在Rt△BOP中，，
∴
故选D.
此题考查的是锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键.
9、B
【分析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上
则该二次函数的图像与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧
故选B.
本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.
10、B
【分析】根据一元一次不等式组可求出m的范围，根据判别式即可求出答案．
【详解】解：∵
∴2﹣2m≤x≤2+m，
由题意可知：2﹣2m≤2+m，
∴m≥0，
∵由于一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m+2＝0有实数根，
∴△＝4m2﹣4（m﹣1）（m+2）＝8﹣4m≥0，
∴m≤2，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m的取值范围为：0≤m≤2且m≠1，
∴m＝0或2
故选：B．
本题考查不等式组的解法以及一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先由一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根，得出a的取值范围，最后根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根，
∴4-4（a-2）≥0，
∴a≤1，
∴a=-1，0，1，2，1．
∴使得关于x的一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根概率为：.
考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到使一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根情况数是解决本题的关键．
12、1
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出，即可求得答案．
【详解】∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：1.
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，方程的两个根为，则，.
13、100°
【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出与β的关系式．进而可求出β的度数．
【详解】连结OC，OD，
∵PC、PD均与圆相切，
∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，
∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD＝360°，
∴∠CPD+∠COD＝180°，
∵OB＝OC，OD＝OA，
∴∠BOC＝180°﹣2∠B，∠AOD＝180°﹣2∠A，
∴∠COD+∠BOC+∠AOD＝180°，
∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A＝180°．
∴∠CPD＝100°，
故答案为：100°．
本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．
14、 (1200，0)
【分析】根据题目提供的信息，可知旋转三次为一个循环，图中第三次和第四次的直角顶点的坐标相同，由①→③时直角顶点的坐标可以求出来，从而可以解答本题．
【详解】由题意可得，
△OAB旋转三次和原来的相对位置一样，点A(-3，0)、B(0，4)，
∴OA=3，OB=4，∠BOA=90°，
∴，
∴旋转到第三次时的直角顶点的坐标为：(12，0)，
∵301÷3=100…1
∴旋转第301次的直角顶点的坐标为：(1200，0)，
故答案为：(1200，0)．
本题考查了坐标与图形变化-旋转，是对图形变化规律，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题的关键．
15、
【分析】根据弧长公式是，代入就可以求出弧长．
【详解】∵扇形的半径是30cm，圆心角是60°，
∴该扇形的弧长是：
．
故答案为：．
本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．
16、
【分析】先利用平行四边形的性质得AO=OC,再利用三角形中位线定理得出BC=2OE，然后根据AC=10cm，△OCE的周长为18cm，可求得BC+CD，即可求得的周长．
【详解】∵的对角线交于O，点E为DC中点，
∴EO是△DBC的中位线，AO=CO，CD=2CE，
∴BC=2OE，
∵AC=10cm，
∴CO=5cm，
∵△OCE的周长为18cm，
∴EO+CE=18−5=13(cm)，
∴BC+CD=26cm，
∴▱ABCD的周长是52cm.
故答案为：52cm.
本题主要考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解答本题的关键．
17、1
【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得CF的长，又根据线段的和差可得DF的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得出DE的长，最后根据直角三角形的面积公式即可得．
【详解】四边形ABCD是正方形，
，即
在和中，
，即
解得
又，即
，即
解得
则的面积为
故答案为：1．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键．
18、
【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长列式计算，弧长公式为 ，圆周长公式为 .
【详解】解：圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°,根据题意得，
，
∴n=144
∴圆锥的侧面展开图的圆心角度数为144°.
故答案为：144°.
本题考查圆锥的侧面展开图公式；用到的知识点为，圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面圆周长．记准公式及有空间想象力是解答此题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）依据题意可得到FE=AB=DC，∠F=∠EDC=90°，FH∥EC，利用平行线的性质可证明∠FHE=∠CED，然后依据AAS证明△EDC≌△HFE即可；
（2）首先证明四边形BEHC为平行四边形，再证明邻边BE=BC即可证明四边形BEHC是菱形．
【详解】（1）证明：∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，
∴FE＝AB＝DC，∠F＝∠EDC＝90°，FH∥EC，
∴∠FHE＝∠CED．
在△EDC和△HFE中，
，
∴△EDC≌△HFE（AAS）；
（2）∵△EDC≌△HFE，
∴EH＝EC．
∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，
∴EH＝EC＝BC，EH∥BC，
∴四边形BEHC为平行四边形．
∵∠BCE＝60°，EC＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝BC，
∴四边形BEHC是菱形．
本题主要考查的是旋转的性质、菱形的判定，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键．
20、隧道AB的长为（1800﹣600）m
【分析】易得∠CAO＝60°，∠CBO＝45°，利用相应的正切值可得BO，AO的长，相减即可得到AB的长．
【详解】解：∵CDOB，
∴∠CAO＝∠DCA＝60°，∠CBO＝∠DCB＝45°，
在RtCAO中，tan∠CAO＝＝tan60°，
∴，
∴OA＝600，
在RtCAO中，tan∠CBO＝＝tan45°，
∴OB＝OC＝1800，
∴AB＝OB﹣OA＝1800﹣600．
答：隧道AB的长为（1800﹣600）m．
本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角和仰角，解答本题的关键是利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度．
21、（2）有一个公共点，证明见解析；（2）．
【分析】（2）先根据题意作出图形W，再作辅助线,连接OE，证明AE是圆O的切线即可；
（2）先利用解直角三角形的知识求出CE=2，从而求出BE=2．再由AC∥DE 得出，把各线段的长代入即可求出OB的值.
【详解】（2）判断有一个公共点
证明：连接OE，如图．
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠DEB=90°．
∵ OE=OB，
∴ ∠OEB=∠B．
又∵∠AED=∠B，
∴ ∠AED=∠OEB．
∴ ∠AEO =∠AED+∠DEO
=∠OEB +∠DEO
=∠DEB=90°．
∴ AE是⊙O的切线．
∴图形W与AE所在直线有2个公共点．
（2）解：∵ ∠C = 90°，，，
∴ AC=2，．
∵ ∠DEB=90°，
∴ AC∥DE．
∴ ∠CA E=∠AED=B ．
在Rt△ACE中，∠C = 90°，AC=2，
∴ CE=2．
∴ BE=2．
∵AC∥DE
∴．
∴，
∴．
本题考查了圆的综合知识，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键.
22、（1）；（2）
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）根据分式混合运算的法则及运算顺序进行计算即可．
【详解】解：（1），
①×2得：③，
②－③得：，
解得： ，
将代入①得：，
原方程组的解为；
（2）原式
．
本题考查了二元一次方程组的求解及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23、（1）（2）
【解析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；
故答案为：
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，
所以有乙同学的概率=．
本题考查1、列表法与树状图法；2、概率公式，难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．
24、 (1)证明详见解析；(2)1.
【详解】试题分析：（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE•BC=BD•AC；
（2）根据三角形面积公式与=3，=2，可得AD：BD=3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长．
试题解析：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE•BC=BD•AC；
（2）解：设△ABE中边AB上的高为h，
∴=，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴BC=1．
考点：相似三角形的判定与性质．
25、（1），；（2）
【解析】（1）将已知两点代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）根据图象及抛物线与x轴的交点，得出不等式的解集即可．
【详解】（1）将，
代入抛物线解析式得
解得，
（2）由(1)知抛物线解析式为：，对称轴为，
所以抛物线与x轴的另一交点坐标为（2,0）
由图象得：不等式的解为
本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
26、（1）；（2）
【分析】（1）根据距离=速度×时间即可得关于的函数表达式，根据全程速度限定为不超过可确定t的取值范围；
（2）把t=0.5代入（1）中关系式，即可求出速度v的值.
【详解】∵全程约，小汽车的行驶时间为，行驶速度为，
∴vt=40，
∵全程速度限定为不超过，全程约，
∴t≥0.4，
∴v关于的函数表达式为：.
（2）∵需在分钟后将乘客送达咸阳国际机场，30分钟=0.5小时，
∴v==80，
∴小汽车行驶速度是.
此题考查反比例函数的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解题关键．
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