资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
2．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在△中，∠，如果，，那么cos的值为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知反比例函数的表达式为，它的图象在各自象限内具有 y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是（ ）．
A．k>-2 B． C． D．
6．下列标志中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )
A．2－ B． C． D．1
8．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．下列函数中是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，使点P′在△ABC内，已知∠AP′B＝135°，若连接P′C，P′A：P′C＝1：4，则P′A：P′B＝（ ）
A．1：4 B．1：5 C．2： D．1：
11．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
12．如图，中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知函数的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A、B两点，连接OA、OB．下列结论；①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP；④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为（2，﹣）．其中正确的结论为___．
14．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则k＝_____．
15．近日，某市推出名师公益大课堂.据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，则这个增长率是______.
16．代数式a2＋a＋3的值为7，则代数式2a2＋2a－3的值为________．
17．已知，且 ，且与的周长和为175 ，则的周长为 _________．
18．《算学宝鉴》中记载了我国数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何?”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步?如果设矩形田地的长为x步，可列方程为_________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，AD是高．
（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求线段AD，BD与弧所围成的封闭图形的面积．
20．（8分）解方程：
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）x2﹣3x+1＝1．
21．（8分）某市为调查市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“：自行车，：电动车，：公交车，：家庭汽车，：其他”五个选项中选择最常用的一项.将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中，一共调查了 名市民，其中“：公交车”选项的有 人；扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是 度；
（2）若甲、乙两人上班时从、、、四种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点B(0，4)，OA＝OB，点C(﹣3，n)在直线l1上.
(1)求直线l1和直线OC的解析式；
(2)点D是点A关于y轴的对称点，将直线OC沿y轴向下平移，记为l2，若直线l2过点D，与直线l1交于点E，求△BDE的面积.
23．（10分）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）
24．（10分）如图，为固定一棵珍贵的古树，在树干处向地面引钢管，与地面夹角为，向高的建筑物引钢管，与水平面夹角为，建筑物离古树的距离为，求钢管的长．(结果保留整数，参考数据：)
25．（12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点，其中点，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求点坐标；
根据图象，直接写出不等式的解集．
26．如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE 得到==，则 CE=DF，由 DF∥AE 得到==，则 AE=4DF， 然后计算的值．
【详解】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F，
∵DF∥CE，
∴=，
而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD，
∴=，则 CE=DF，
∵DF∥AE，
∴=，
∵AG：GD=4：1，
∴=，则 AE=4DF，
∴=，
故选D．
本题考查了平行线分线段成比例、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键.
2、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性质求EC和AE的值即可
【详解】∵，
∴，即，
∴，
∴．
故选C．
此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE
3、B
【详解】，
移项得：，
两边加一次项系数一半的平方得：，
所以，
故选B.
4、A
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而可求.
【详解】∵∠，，
∴
∴
故选A
本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.
5、C
【分析】先根据反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大，
∴＜0，解得k＜-1．
故选：C．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键
6、B
【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意．
故选：B．
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
7、C
【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，
由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠DBB′=∠DBA=30°，
∴BD⊥AB′，且AD=B′D，
∵AC＝BC＝，
∴，
∴，，，
．
故选：C．
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
8、B
【解析】试题解析：可能出现的结果
小明
打扫社区卫生
打扫社区卫生
参加社会调查
参加社会调查
小华
打扫社区卫生
参加社会调查
参加社会调查
打扫社区卫生
由上表可知，可能的结果共有种，且都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有种，
则所求概率
故选B.
点睛：求概率可以用列表法或者画树状图的方法.
9、B
【分析】由题意直接根据反比例函数的定义对下列选项进行判定即可．
【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数，
，是一次函数，
，是二次函数，都要排除.
故选：B．
本题考查反比例函数的定义，注意掌握反比例函数解析式的一般形式，也可以转化为的形式.
10、C
【分析】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．
【详解】解：如图，连接AP，
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，
∴∠ABP＝∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP＝P′C，
∵P′A：P′C＝1：4，
∴AP＝4P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，
∵∠AP′B＝135°，
∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A＝x，则AP＝4x，
∴PP'＝，
∴P'B＝PB＝，
∴P′A：P′B＝2：，
故选：C．
本题主要考查的是全等三角形的性质以及判定，掌握全等三角形的五种判定方法的解本题的关键.
11、A
【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
12、B
【分析】由题意根据勾股定理求出BC，进而利用三角函数进行分析即可求值.
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∴.
故选：B.
本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，注意掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、②③④．
【分析】①错误．根据x1＜x2＜0时，函数y随x的增大而减小可得；
②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题；
③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），求出PA、PB，推出PA＝4PB，由SAOB＝S△OPB+S△OPA即可求出S△AOB＝7.5；
④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），推出PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，由△OPB∽△APO，可得OP2＝PB•PA，列出方程即可解决问题．
【详解】解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数y随x是增大而减小，
∴y1＞y2，故①错误．
②正确．∵P（0，﹣3），
∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），
∴AB＝5，OA＝＝5，
∴AB＝AO，
∴△AOB是等腰三角形，故②正确．
③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），
∴PB＝﹣，PA＝﹣，
∴PA＝4PB，
∵SAOB＝S△OPB+S△OPA＝+＝7.5，故③正确．
④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），
∴PB＝﹣，PA＝﹣，OP＝﹣m，
∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°，
∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°，
∴∠BOP＝∠OAP，
∴△OPB∽△APO，
∴＝，
∴OP2＝PB•PA，
∴m2＝﹣•（﹣），
∴m4＝36，
∵m＜0，
∴m＝﹣，
∴A（2，﹣），故④正确．
∴②③④正确，
故答案为②③④．
本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．
14、-1．
【分析】直接把点（3，﹣4）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），
∴﹣4＝，解得k＝﹣1.
故答案为：﹣1．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15、
【分析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解.
【详解】设增长率为x，根据题意，得
2(1+x)2=2.42，
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．
∴增长率为10%．
故答案为：10%．
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
16、3
【分析】先求得a2+a=1，然后依据等式的性质求得2a3+2a=2，然后再整体代入即可．
【详解】∵代数式a2+a+3的值为7，
∴a2+a=1．
∴2a3+2a=2．
∴2a3+2a-3=2-3=3．
故答案为3．
本题主要考查的是求代数式的值，整体代入是解题的关键．
17、1
【分析】根据相似三角形的性质得△ABC的周长:△DEF的周长=3:4，然后根据与的周长和为11即可计算出△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC与△DEF的面积比为9：16，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：4，
∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：4，
∵与的周长和为11 ，
∴△ABC的周长=×11=1．
故答案是：1．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
18、x（x-12）=864
【解析】设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是(x−12)步．
根据矩形面积=长×宽,得：x(x−12)=864.
故答案为x(x−12)=864.
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）
【分析】（1）作BH⊥AC交AD于O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．
（1）线段AD，BD与所围成的封闭图形的面积＝S扇形OAB+S△BOD．
【详解】解：（1）如图，⊙O即为所求．
（2）∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BH⊥AC，
∴BD＝CD＝3，∠OBD＝∠ABC＝30°，∠AOB＝2∠C＝120°，
∴OD＝BD•tan30°＝，OB＝2OD＝2，
∴线段AD，BD与所围成的封闭图形的面积＝S扇形OAB+S△BOD＝×3×＝2π+．
本题考查的知识点是作圆以及求不规则图形的面积，熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
20、（1）x1＝1,x2＝1.2；（2）或．
【分析】(1)利用因式分解法求解可得；
(2)利用公式法求解可得．
【详解】解：(1)∵2x(x﹣1)＝3(x﹣1)，
∴2x(x﹣1)﹣3(x﹣1)＝1，
则(x﹣1)(2x﹣3)＝1，
∴x﹣1＝1或2x﹣3＝1，
解得x＝1或x＝1.2；
故答案为x＝1或x＝1.2．
(2)∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝(-3)2﹣4×1×1＝2＞1，
则x，
或．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其常见的解法是解决本类题的关键．
21、（1）、800、；（2）
【分析】（1）由选项D的人数及其所占的百分比可得调查的人数，总调查人数减去A、B、D、E选项的人数即为C选项的人数，求出B选项占总调查人数的百分比再乘以360度即为项对应的扇形圆心角度数；
（2）用列表法列出所有可能出现的情况，再根据概率公式求解即可.
【详解】解：（1）本次调查的总人数为人；选项的人数为人；扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是；
（2）列表如下：
由表可知共有种等可能结果，其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的结果有种，所以甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率为.
本题考查了样本估计总体及列表法或树状图法求概率，是数据与概率的综合题，灵活的将条形统计图与扇形统计图中的数据相关联是解（1）的关键，熟练的用列表或树状图列出所有可能情况是求概率的关键.
22、 (1)直线I1的解析式：y＝2x+4，直线OC解析式y＝x；(2)S△BDE＝16.
【分析】(1)根据题意先求A的坐标，然后待定系数就AB解析式，把点C的坐标代入，可得n，即可求得直线OC解析式；
(2)根据对称性先去D的坐标，根据直线平移，k不变，可求DE解析式，然后求E的坐标，即可求出面积.
【详解】解：(1)∵点B(0，4)，OA＝OB，
∴OA＝OB＝＝2，
∴A(﹣2，0)，
设OA解析式y＝kx+b，
∴解得：，
∴直线I1的解析式：y＝2x+4，
∵C(﹣3，n)在直线l1上，
∴n＝﹣3×2+4
n＝﹣2
∴C(﹣3，﹣2)
设OC的解析式：y＝k1x
∴﹣2＝﹣3k1
k1＝，
∴直线OC解析式y＝x；
(2)∵D点与A点关于y轴对称
∴D(2，0)
设DE解析式y＝x+b′，
∴0＝×2+b′，
∴b′＝﹣，
∴DE解析式y＝x﹣，
当x＝0，y＝﹣，
解得：，
∴E(﹣4，﹣4)，
∴S△BDE＝×(2+2)(4+4)＝16.
本题考查了两条直线相交与平行问题，用待定系数法解一次函数，一次函数的性质，关键是找出点的坐标．
23、（1）与相切，见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，进而求出圆心角的度数，再用直角三角形的面积减去扇形DOF的面积即可确定出阴影部分的面积.
【详解】解：（1）与相切
证明：连接，是的平分线，
，，则
，，即
又 过半径的外端点与相切
（2）设，则，
根据勾股定理得 ，即
解得：，即
中，,，
扇形，阴扇形
阴影部分的面积为.
本题考查的是圆的相关知识、勾股定理和不规则图形的面积问题，能够充分调动所学知识是解题的关键.
24、钢管AB的长约为6m
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，于是得到CF=DE=6，AF=CFtan30°．在Rt△ABD中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】过点C作CF⊥AD于点F，则CF=DE=6，AF=CFtan30°=62，
∴AD=AF+DF=21.5，
在Rt△ABD中，AB(21.5)46(m)．
答：钢管AB的长约为6m．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
25、（1）y＝－x－2，y＝－，（2）C(1,-3)，（3）－3＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的表达式，进而求出A点坐标，然后再将A点坐标代入反比例函数中即可求出反比例函数的表达式；
（2）将一次函数与反比例函数联立即可求出C点坐标；
（3）根据两交点坐标及图象即可得出答案．
【详解】解：（1）由点B（－2，0）在一次函数y＝－x＋b上，得b＝－2，
∴一次函数的表达式为y＝－x－2，
由点A(－3，m)在y＝－x－2上，得m＝1，∴A(－3，1)，
把A(－3，1)代入数y＝（x＜0）得k＝－3，
∴反比例函数的表达式为：y＝－，
（2） 解得 或
∴C（1， －3）
（3）当时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，根据图象可知此时
－3＜x＜0或x＞1．
∴不等式的解集为－3＜x＜0或x＞1．
本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）30°.
【解析】(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠DAC，从而OC∥AD，由平行线的性质可得OC⊥CD，从而得出CD是⊙O切线；
(2)连接BC,证明△ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度数.
【详解】解：(1) 连结OC.
∵平分，∴∠BAC=∠DAC.
又OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD.
∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切线.
(2) 连结BC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ADC=90°.
又∠BAC=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC. ∴, , , ∴AC=.
在Rt△ACB中, cos∠BAC=, ∴∠BAC=30°.
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆的切线的判定及锐角三角函数的知识.连接半径是证明切线的一种常用辅助线的做法,求角的度数可以借助于三角函数.
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