资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在平面直角坐标系中，将点A（−1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（ ）
A．（−4，−2） B．（2，2） C．（−2，2） D．（2，−2）
2．用10长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6．若设它的一条边长为，则根据题意可列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，弦AC，BD交于点P．若∠A＝∠C＝40°，则∠BPC的度数为（ ）
A．100° B．80°
C．50° D．40°
4．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是( )
A． B．12 C．14 D．21
5．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．2500x＝3500
B．2500（1+x）＝3500
C．2500（1+x%）＝3500
D．2500（1+x）+2500（1+x）＝3500
6．如图⊙O的半径为5，弦心距，则弦的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．5
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点，，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（ ）
A．3或4 B．或4 C．或6 D．4或6
8．已知正方形的边长为4cm，则其对角线长是（）
A．8cm B．16cm C．32cm D．cm
9．下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．要了解路边行人边步行边低头看手机的情况，可采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查
C．做重复试验：抛掷同一枚瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频数为550次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“凸面向上”的概率为0.55
D．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2，则运动员甲的成绩较好
10．若分式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．点关于原点的对称点是
A． B． C． D．
12．下列四个点中，在反比例函数y＝的图象上的是（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是 ______ ．
14．如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
15．函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交点的坐标为_____．
16．若m是方程2x2﹣3x＝1的一个根，则6m2﹣9m的值为_____．
17．如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则________．
18．如图,是以点为圆心的圆形纸片的直径，弦于点,.将阴影部分沿着弦翻折压平，翻折后，弧对应的弧为，则点与弧所在圆的位置关系为____________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
20．（8分）如图1，在和中，顶点是它们的公共顶点，，．
（特例感悟）（1）当顶点与顶点重合时（如图1），与相交于点，与相交于点，求证：四边形是菱形；
（探索论证）（2）如图2，当时，四边形是什么特殊四边形？试证明你的结论；
（拓展应用）（3）试探究：当等于多少度时，以点为顶点的四边形是矩形？请给予证明．
21．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．
（1）求△ADE的周长的最小值；
（2）若CD=4，求AE的长度．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，己知点，点在轴上，并且，动点在过三点的拋物线上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于点，交抛物线于点，求当线段的长有最大值时的坐标．并求出最大值是多少．
（3）在轴上是否存在点，使得△是等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）在一个不透明的袋子里，装有3个分别标有数字﹣1，1，2的乒乓球，他们的形状、大小、质地等完全相同，随机取出1个乒乓球．
（1）写出取一次取到负数的概率；
（2）小明随机取出1个乒乓球，记下数字后放回袋子里，摇匀后再随机取出1个乒兵球，记下数字．用画树状图或列表的方法求“第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数”发生的概率．
24．（10分）如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B，AB＝5，AD＝3，求AC的长．
25．（12分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果按此速度增涨，该公司六月份的快递件数将达到多少万件？
26．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．
（2）求点B绕点O旋转到点B′的路径长（结果保留π）．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【详解】解：点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，2），
即（2，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，-2），
故答案为D
2、A
【分析】一边长为xm，则另外一边长为（5﹣x）m，根据它的面积为1m2，即可列出方程式．
【详解】一边长为xm，则另外一边长为（5﹣x）m，由题意得：x（5﹣x）=1．
故选A．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．
3、B
【分析】根据同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，可知，结合题意求的度数，再根据三角形的一个外角等于其不相邻两个内角和解题即可.
【详解】
故选B
本题考查圆的综合，其中涉及圆周角定理、三角形外角性质，是常见考点，熟练掌握相关知识是解题关键.
4、A
【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，
∴cosB==，
∴∠B=45°，
∵sinC===，
∴AD=3，
∴CD==4，
∴BD=3，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故选A．
此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．
5、B
【分析】根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015年教育经费支出额，列出方程即可．
【详解】设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2＝3500，
故选B．
本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．
6、C
【解析】分析：连接OA，在直角三角形OAC中，OC＝3，OA＝5，则可求出AC，再根据垂径定理即可求出AB．
解：连接OA，如下图所示：
∵在直角三角形OAC中，OA＝5，弦心距，
∴AC＝ ，
又∵OC⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=1．
故选A．
7、D
【分析】分两种情形：当时，，设，，可得，解出值即可；当时，过点作，可得，得出，，则，证明，得出方程求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝8，
∴，AB=10，
，
设，，
①当时，可得，
，
，
，
．
②当时，如图2中，过点作，可得，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
综上所述，或1．
故选：D．
本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
8、D
【分析】作一个边长为4cm的正方形，连接对角线，构成一个直角三角形如下图所示：由勾股定理得AC2=AB2+BC2，求出AC的值即可．
【详解】解：如图所示：
四边形ABCD是边长为4cm的正方形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC==4cm．
所以对角线的长：AC=4cm．
故选D．
9、C
【分析】根据随机事件的概念、抽样调查的特点、方差的意义及概率公式分别判断可得．
【详解】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，此选项错误；
B、要了解路边行人边步行边低头看手机的情况，采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查不具代表性，此选项错误；
C、做重复试验：抛掷同一枚瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频数为550次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“凸面向上”的概率为0.55，正确；
D、射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2，则运动员甲的成绩较稳定，此选项错误；
10、A
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求解即可．
【详解】解：∵分式的值为1，
∴x-2=1且x+4≠1．
解得：x=2．
故选：A．
本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．
11、C
【解析】解：点P(4，﹣3)关于原点的对称点是(﹣4，3)．
故选C．
本题考查关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，两个点的横、纵坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点是P′(﹣x，﹣y)．
12、C
【分析】先分别计算四个点的横、纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵﹣3×（﹣2）＝6，3×2＝6，﹣2×3＝﹣6，﹣2×（﹣3）＝6，
∴点（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上．
故选：C．
此题考查的是判断在反比例函数图象上的点，掌握点的横、纵坐标之积等于反比例函数的比例系数即可判断该点在反比例函数图象上是解决此题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、h≤3
【解析】试题解析：二次函数的对称轴为：
当时,随的增大而增大，
对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.
即：
故答案为：
点睛：本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
当时, 随的增大而增大，可知对称轴与直线重合或者位于直线的左侧.根据对称轴为,即可求出的取值范围.
14、18.
【解析】∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵，
∴，
∴．
15、（0，3）．
【分析】令x＝0，求出y的值，然后写出与y轴的交点坐标即可．
【详解】解：x＝0时，y＝3，
所以．图象与y轴交点的坐标是（0，3）．
故答案为（0，3）．
本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.
16、1
【分析】把m代入方程2x2﹣1x＝1，得到2m2-1m=1，再把6m2-9m变形为1（2m2-1m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程2x2﹣1x＝1的一个根，
∴2m2﹣1m＝1，
∴6m2﹣9m＝1(2m2﹣1m)＝1×1＝1．
故答案为1．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17、1．
【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果．
【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，
∴的面积为，∴，∴.
故答案为1．
本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于基础题型．
18、点在圆外
【分析】连接OC，作OF⊥AC于F，交弧于G，判断OF与FG的数量关系即可判断点和圆的位置关系.
【详解】解：如图，连接OC，作OF⊥AC于F，交弧于G，
∵，
∴OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,
∵,
∴，
∴，
∵OF⊥AC，
∴CF=AC,
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴点与弧所在圆的位置关系是点在圆外.
故答案是：点在圆外.
本题考查了点和圆位置关系，利用垂径定理进行有关线段的计算，通过构造直角三角形是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）证出根的判别式即可完成；
（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.
【详解】（1）证明：
∴方程总有两个实数根
（2）
∴
∴
∵方程有一个小于1的正根
∴
∴
本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
20、 (1)见解析； (2) 当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．证明见解析；(3)当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形. 证明见解析．
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再通过证明得出，从而证明四边形是菱形；
（2）证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，通过证明，，，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；
证法二：如图，过点G作GH⊥BC于H，通过证明OD=OC=OG=OF，GF=CD，从而证明当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形；
（3） 当∠GBC=120°时，点E与点A重合，通过证明，CD=GF，，从而证明四边形是矩形．
【详解】(1) ，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
四边形是菱形．
(2) 当∠GBC=30°时，四边形GCFD是正方形．
证法一：如图，连接交于，在上取一点，使得，
，，
，
，
，
，.
，，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在Rt△BGK中，，解得，
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
证法二：如图
∵，，
.
又，
，
，.
过点G作GH⊥BC于H，
在Rt△BHG中，
∵，
∴GH=BG＝＋１，BH＝GH＝3＋，
∴HC=BC﹣BH=2+2-（3＋）=-1，
∴GC=，
∴OG=OC===2，
∴OD=OF=4-2=2，
∴OD=OC=OG=OF，
四边形是矩形，
∵GF=CD，
四边形是正方形．
(3) 当∠GBC=120°时，以点，，，为顶点的四边形CGFD是矩形.
当∠GBC=120°时，点E与点A重合.
，
∴，
.
∵四边形ABCD和四边形GBEF是平行四边形，
∴，，AB=CD，AB=GF，
∴，CD=GF，
四边形是平行四边形.
∵，
四边形是矩形．
本题考查了几何的综合应用题，掌握矩形和正方形的性质以及判定、勾股定理、全等三角形的判定是解题的关键．
21、（1）6+；（2）3﹣或3+
【分析】（1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论；
（2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3
∴AB=AC=6，
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，
∴当DE最小时，△ADE的周长最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3，
∴△ADE的周长的最小值是6+3；
（2）当点D在CF的右侧，
∵CF=AB=3，CD=4，
∴DF=，
∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；
当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+，
综上所述：AE的长度为3﹣或3+．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．
22、（1）；（2）存在，最大值为4，此时的坐标为；（3）存在，或或或
【分析】（1）先确定A（4，0），B（-1，0），再设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，易得直线AC的解析式为y=-x+4，设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），再用x表示出PD，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先计算出AC=4，再分类讨论：当QA=QC时，易得Q（0，0）；当CQ=CA时，利用点Q与点A关于y轴对称得到Q点坐标；当AQ=AC=4时可直接写出Q点的坐标．
【详解】（1）∵C（0，4），
∴OC=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=4，OB=1，
∴A（4，0），B（-1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4），
即y=-x2+3x+4；
（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵A（4，0），C（0，4）
∴
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x+4，
设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），
∴PD=-x2+3x+4-（-x+4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
当x=2时，PD有最大值，最大值为4，此时P点坐标为（2，6）；
（3）存在．
∵OA=OC=4，
∴AC=4，
∴当QA=QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；
当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（-4，0）；
当AQ=AC=4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4-4，0），
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（-4，0）或（4+4，0）或（4-4，0）．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
23、（1）；（2）
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）由树状图得出第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）取一次取到负数的概率为；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，“第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数”的有5种情况，
∴“第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数”的概率为．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
24、
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵AB＝5，AD＝3，
∴＝，
∴AC2＝15，
∴AC＝．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键在于熟记各种判定方法，难点在于找对应边．
25、（1）10%；（2）13.31
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）根据增长率相同，由五月份的总件数即可得出六月份的总量．
【详解】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，
依题意得，
解方程得，（不合题意，舍弃）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．
（2）六月份快递件数为（万件）．
答：该公司六月份的快递件数将达到13.31万件．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题．
26、（1）画图见解析；（2）点B绕点O旋转到点B′的路径长为．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B绕点O旋转到点B′的路径长．
【详解】（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）OB＝＝3，点B绕点O旋转到点B′的路径长＝＝π．
本题考查作图﹣旋转变换和旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
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