资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限
2．如图所示，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，DE//BC，，S梯形BCED＝8，则S△ABC是（ ）
A．13 B．12 C．10 D．9
4．如图，已知正五边形内接于，连结相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．2020年的除夕是晴天 B．太阳从东边升起
C．打开电视正在播放新闻联播 D．在一个都是白球的盒子里，摸到红球
6．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm
7．将点A(2，1)向右平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．(0，1) B．(2，﹣1) C．(4，1) D．(2，3)
8．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
9．书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十二边形
11．若将抛物线的函数图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，可得到一个新的抛物线的图象，则所得到的新的抛物线的解析式为( )
A． B．
C． D．
12．将抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一个盒中装有4个均匀的球，其中2个白球，2个黑球，今从中任取出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可能性分别记为，则与的大小关系为__________．
14．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________
15．若锐角满足，则__________．
16．函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交点的坐标为_____．
17．把一副普通扑克牌中的13张红桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数字是3的倍数的概率为______.
18．在某一个学校的运动俱乐部里面有三大筐数量相同的球，甲每次从第一个大筐中取出9个球；乙每次从第二个大筐中取出7个球；丙则是每次从第三个大筐中取出5个球.到后来甲、乙、丙三人都记不清各自取过多少次球了，于是管理人员查看发现第一个大筐中还剩下7个球，第二个大筐还剩下4个球，第三个大筐还剩下2个球，那么根据上述情况可以推知甲至少取了______次.
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）；
（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．
20．（8分）如图，点在上，，交于点，点为射线上一动点， 平分，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，则当_______时，四边形是矩形．
21．（8分）如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)画出位似中心O；
(2)△ABC与△A′B′C′的相似比为__________，面积比为__________.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点从点运动到点停止，连接，以长为直径作.
（1）若，求的半径；
（2）当与相切时，求的面积；
（3）连接，在整个运动过程中，的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由.
23．（10分）某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为、、、、五个组，表示测试成绩，组：；组：；组：；组：；组：），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）抽取的学生共有______人，请将两幅统计图补充完整；
（2）抽取的测试成绩的中位数落在______组内；
（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？
24．（10分）定义：如果函数C：（）的图象经过点（m，n）、（-m，-n），那么我们称函数C为对称点函数，这对点叫做对称点函数的友好点．
例如：函数经过点（1，2）、（-1，-2），则函数是对称点函数，点（1，2）、（-1，-2）叫做对称点函数的友好点．
（1）填空：对称点函数一个友好点是（3，3），则b= ，c= ；
（2）对称点函数一个友好点是（2b，n），当2b≤x≤2时，此函数的最大值为，最小值为，且=4，求b的值；
（3）对称点函数（）的友好点是M、N（点M在点N的上方），函数图象与y轴交于点A．把线段AM绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段A′M′．若线段A′M′与该函数的图象有且只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
25．（12分）山西是我国酿酒最早的地区之一，山西酿酒业迄今为止已有余年的历史.在漫长的历史进程中，山西人民酿造出品种繁多、驰名中外的美酒佳酿，其中以汾酒、竹叶青酒最为有名.某烟酒超市卖有竹叶青酒，每瓶成本价是元，经调查发现，当售价为元时，每天可以售出瓶，售价每降低元，可多售出瓶（售价不高于元）
（1）售价为多少时可以使每天的利润最大？最大利润是多少？
（2）要使每天的利润不低于元，每瓶竹叶青酒的售价应该控制在什么范围内？
26．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，作∠ABC的平分线交AC于点D，在AB上取点O，以点O为圆心经过B、D两点画圆分别与AB、BC相交于点E、F（异于点B）．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E恰好是AO的中点，求的长；
（3）若CF的长为，①求⊙O的半径长；②点F关于BD轴对称后得到点F′，求△BFF′与△DEF′的面积之比．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k>0，位于一、三象限，k<0，位于二、四象限．
【详解】解：∵反比例函数的比例系数-6<0，∴函数图象过二、四象限．
故选：B．
本题考查的知识点是反比例函数的图象及其性质，熟记比例系数与图象位置的关系是解此题的关键．
2、B
【分析】先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性确定图象与x轴的另一个交点，再根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，图象与轴的一个交点坐标为，
∴图象与轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴一元二次方程的解为．
故选：B．
本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与一元二次方程的关系，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
3、D
【分析】由DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求△ADE的面积，再加上BCED的面积即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴，
∵S梯形BCED＝8，
∴
∴
故选：D
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用平行线得相似，利用相似三角形的面积的性质求解．
4、C
【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD和∠BOE的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC和∠BCF的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.
【详解】解：连接OA、OB、OC、OD、OE，如图，则∠COD=∠AOB=∠AOE=，
∴∠BOE=144°，
∴，，
∴.
故选：C.
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
5、B
【分析】根据必然事件和随机事件的概念进行分析．
【详解】A选项：2020年的元旦是晴天，属于随机事件，故不合题意；
B选项：太阳从东边升起，属于必然事件，故符合题意；
C选项：打开电视正在播放新闻联播，属于随机事件，故不合题意；
D选项：在一个都是白球的盒子里，摸到红球，属于不可能事件，故不合题意．
故选：B．
考查了确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件；注：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
6、C
【解析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．
【详解】设小三角形的周长为xcm，则大三角形的周长为（x+40）cm，
由题意得，，
解得，x=75，
则x+40=115，
故选C．
7、C
【分析】把点（2，1）的横坐标加2，纵坐标不变即可得到对应点的坐标．
【详解】解：∵将点（2，1）向右平移2个单位长度，
∴得到的点的坐标是（2+2，1），
即：（4，1），
故选：C．
本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
8、A
【分析】利用勾股定理，求出四个图形中阴影三角形的边长，然后判断哪两个三角形的三边成比例即可.
【详解】解：由图，根据勾股定理，可得出
①图中阴影三角形的边长分别为：；
②图中阴影三角形的边长分别为：；
③图中阴影三角形的边长分别为：；
④图中阴影三角形的边长分别为：；
可以得出①②两个阴影三角形的边长，
所以图①②两个阴影三角形相似；
故答案为：A.
本题考查相似三角形的判定，即如果两个三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似；本题在做题过程中还需注意，阴影三角形的边长利用勾股定理计算，有的图形需要把小正方形补全后计算比较准确.
9、C
【分析】画树状图（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是古典名著的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说），
共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是古典名著的结果数为6，
所以从中随机抽取2本都是古典名著的概率=．
故选：C．
本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即.
10、B
【分析】边心距与边长的比为，即边心距等于边长的一半，进而可知半径与边心距的夹角是15度．可求出中心角的度数，从而得到正多边形的边数．
【详解】如图，圆A是正多边形的内切圆；
∠ACD＝∠ABD＝90°，AC＝AB，CD＝BD是边长的一半，
当正多边形的边心距与边长的比为，即如图有AB＝BD，
则△ABD是等腰直角三角形，
∠BAD＝15°，∠CAB＝90°，
即正多边形的中心角是90度，
所以它的边数＝360÷90＝1．
故选：B．
本题利用了正多边形与它的内切圆的关系求解，转化为解直角三角形的计算．
11、C
【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向右平移1个单位可得到抛物线；由“上加下减”的原则可知，将抛物线先向下平移2个单位可得到抛物线．
故选：C．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12、B
【分析】原抛物线的顶点坐标(0,0)，再把点(0,0)向右平移3个单位长度得点(0,3)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：将抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的解析式．
故选：B
本题考查的是抛物线的平移.抛物线的平移可根据平移规律来写，也可以移动顶点坐标，根据平移后的顶点坐标代入顶点式，即可求解．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】分别求出“两球同色”与“两球异色”的可能性，然后比较大小即可．
【详解】根据盒子中有2个白球，2个黑球
可得从中取出2个球，一共有6种可能：2白、2黑、1白1黑（4种）
∴“两球同色”的可能性为
“两球异色”的可能性为
∵
∴
故答案为：．
本题考查了概率的问题，掌握“两球同色”与“两球异色”的可能性是解题的关键．
14、x=±1
【解析】移项得x1=4，
∴x=±1．
故答案是：x=±1．
15、
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：由∠A为锐角，且，
∠A=60°，
故答案为：60°．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
16、（0，3）．
【分析】令x＝0，求出y的值，然后写出与y轴的交点坐标即可．
【详解】解：x＝0时，y＝3，
所以．图象与y轴交点的坐标是（0，3）．
故答案为（0，3）．
本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.
17、
【分析】根据概率的定义求解即可
【详解】一副普通扑克牌中的13张红桃牌，牌上的数字是3的倍数有4张
∴概率为
故本题答案为：
本题考查了随机事件的概率
18、2
【分析】设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得：
k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)
∴9a+7=5c+2，
∴9a=5(c-1)，
∴a是5的倍数．
不妨设a=5m(m为正整数)，
∴k=45m+7=7b+4，
∴b=，
∵b和m都是正整数，
∴m的最小值为1．
∴a=5m=2．
故答案为：2．
本题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的者方程，会根据整除性进一步设未知数．
三、解答题（共78分）
19、（1）； （2）几何体的体积是1.
【分析】（1）化简各项的三角函数，再把各项相加；
（2）原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体，由此可求几何体的体积．
【详解】（1）原式=
=
=
（2）由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
∴=1
∴几何体的体积是1．
本题考查了三角函数的混合运算以及几何体的体积问题，掌握特殊三角函数的值以及几何体的体积计算方法是解题的关键．
20、（1）见详解；（2）1
【分析】(1)先证，再证，可得，即可得出结论；
(2)根据矩形的性质可得∠BCA=90°，再证△ABC≌△ADC，即可解决问题.
【详解】(1)证明：∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
(2) 当1时，四边形是矩形．
当四边形是矩形,
∴∠BCA=90°,
又∵平分，
∴∠BAC=∠DAC
∴△ABC≌△ADC，
∴BC=DC
又∵
∴DC=1
故答案为1．
本题考查矩形判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21、（1）作图见解析；（2）2∶1；4∶1.
【详解】（1）根据位似的性质，延长AA′、BB′、CC′，则它们的交点即为位似中心O；
（2）根据位似的性质得到AB：A′B′=OA：OA′=2：1，则△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质得到它们面积的比．
解：(1)如图，点O为位似中心；
(2)因为AB:A′B′=OA:OA′=12:6=2:1，
所以△ABC与△A′B′C′的相似比为2:1，面积比为4:1.
故答案为2:1； 4:1.
点睛：本题主要考查位似知识.利用位似的性质找出位似中心是解题的关键.
22、（1）；（2）；（3）是，
【分析】（1）若，则 ,代入数值即可求得CD,从而求得的半径.
（2）当与相切时，则CD⊥AB，利用△ACD∽△ABO，得出比例式求得CD，AD的长，过P点作PE⊥AO于E点，再利用△CPE∽△CAD，得出比例式求得P点的坐标，即可求得△POB的面积.
（3）①若 与AB有一个交点，则与AB相切，由（2）可得PD⊥AB，PD= ,则 ②若 与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，由（2）可得CF=3，过P点作PG⊥AB于G点，则DG= ，PG为△DCF的中位线，PG= , 则,综上所述，△PAB的面积是定值，为 .
【详解】（1）根据题意得：OA=8，OB=6，OC=3
∴AC=5
∵
∴
即
∴CD=
∴ 的半径为
（2）在直角三角形AOB中，OA=8，OB=6，
∴AB= ，
当与相切时，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO
∴△ACD∽△ABO
∴ ，即
∴CD=3，AD=4
∵CD为圆P的直径
∴CP=
过P点作PE⊥AO于E点，
则∠PEC=∠ADC=90°，∠PCE=∠ACD
∴△CPE∽△CAD
∴
即
∴CE=
∴OE=
故P点的纵坐标为
∴△POB的面积=
（3）①若 与AB有一个交点，则与AB相切，
由（2）可得PD⊥AB，PD= ,则
②若 与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，
由（2）可得CF=3，
过P点作PG⊥AB于G点，则DG= ，PG为△DCF的中位线，PG= ,
则.
综上所述，△PAB的面积是定值，为 .
本题考查的是圆及相似三角形的综合应用，熟练的掌握直线与圆的位置关系，相似三角形的判定是关键.
23、（1）400，图详见解析；（2）B；（3）660人.
【分析】（1）用E组的人数除以E组所占的百分比即可得出学生总人数；根据总人数乘以B组所占百分比可得B组的人数，利用A、C各组的人数除以总人数即得A、C两组所占百分比，进而可补全两幅统计图；
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）利用总人数乘以A、B两组的百分比之和求解即可．
【详解】解：（1）40÷10%=400，∴抽取的学生共有400人；
B组人数为：400×30%=120，A组占：100÷400=25%，C组占：80÷400=20%，补全统计图如下：
故答案为：400；
（2）∵A组有100人，B组有120人，C组有80人，D组有60人，E组有40人，
∴400的最中间的两个数在B组，∴测试成绩的中位数落在B组．
故答案为：B；
（3）1200×（25%+30%）＝660，∴该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到解题的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24、（1）b=1，c=9；（2）b=0或b=或b=；（3） 或
【分析】（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入即可求出b，c的值；
（2）代入函数的友好点，求出函数解析式y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2，再根据二次函数的图象及性质分三种情况分析讨论；
（3）由 推出 ，再根据“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M′（2，-2） A′（-4a，0），将（-4a，0）代 得出，根据图象即可得出结论．
【详解】解：（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入函数（），得
解得：b=1，c=9；
（2）由题意得另一个友好数为（-2b，-n）
∴-n=4b2-4b2+c
∴c=-n
∴y=x2+2bx-n
把（2b，n）代入y=x2+2bx-n
n=4b2+4b2-n
∴n=4b2
∴y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2
当-b<2b即b>0时
∵抛物线开口向上
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大
∴当x=2b时，y1=4b2
当x=2时，y2=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴-4b2+4b+4-4b2=4
∴-8b2+4b=0
∴b1=0（舍）b2=
当2<-b，即b<-2时
在对称轴左侧，y随x增大而减小
∴当x=2b时，y1=4b2
当x=2时，y2=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴4b2+4b2-4b-4=4
∴8b2-4b-8=0
∴2b2-b-2=0
b=（舍）
当2b≤-b≤2，即-2≤b≤0时y2=-5b2
当x=2时，y1=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴-4b2+4b+4+5b2=4
∴b2+4b=0
∴b1=0，b2=-4（舍）
当x=2b时，y1=4b2
∵y1-y2=4
∴9b2=4
∴b=（舍）b=
∴b=0或b=或b= ；
（3） 推出
“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M’（2，-2） A’（-4a，0）
将（-4a，0）代入
当a>0时 当抛物线经过A′后有两个交点 ∴
当a<0时，当抛物线经过A′点以后，开始于抛物线有一个交点 ∴
综上：或．
本题是一道关于二次函数的综合题目，难度很大，理解“友好点”概念，综合利用二次函数的图象及其性质以是解此题的关键．解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．
25、（1）每瓶竹叶青酒售价为元时，利润最大，最大利润为元；（2）要使每天利润不低于元，每瓶竹叶青酒售价应控制在元到元之间.
【分析】（1）设每瓶竹叶青酒售价为元，每天的销售利润为元，根据“当售价为元时，每天可以售出瓶，售价每降低元，可多售出瓶”即可列出二次函数，再整理成顶点式即可得出；
（2）由题意得，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】解：（1）设每瓶竹叶青酒售价为元，每天的销售利润为元.则：
，
整理得：.
，
当时，取得最大值.
每瓶竹叶青酒售价为元时，利润最大，最大利润为元.
（2）每天的利润为元时，
.
解得：，.
，由二次函数图象的性质可知，
时，.
要使每天利润不低于元，每瓶竹叶青酒售价应控制在元到元之间.
本题考查了二次函数的应用，根据题意找到关系式是解题的关键.
26、（1）见解析；（2）；（3）①r1＝1，；②△BFF'与△DEF'的面积比为或
【分析】（1）连结，证明，得出，则结论得证；
（2）求出，，连结，则，由弧长公式可得出答案；
（3）①如图3，过作于，则，四边形是矩形，设圆的半径为，则．，证明，由比例线段可得出的方程，解方程即可得出答案；
②证明，当或时，根据相似三角形的性质可得出答案．
【详解】解：（1）连结DO，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵DO＝BO，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠CBD＝∠ODB．
∴DO∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ADO＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵E是AO中点，
∴AE＝EO＝DO＝BO＝，
∴sin∠A＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
连结FO，则∠BOF＝60°，
∴＝．
（3）①如图3，连结OD，过O作OM⊥BC于M，
则BM＝FM，四边形CDOM是矩形
设圆的半径为r，则OA＝5﹣r．BM＝FM＝r﹣，
∵DO∥BC，
∴∠AOD＝∠OBM，
而∠ADO＝90°＝∠OMB，
∴△ADO∽△OMB，
∴，
即，
解之得r1＝1，．
②∵在（1）中∠CBD＝∠ABD，
∴DE＝DF，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
而F、F'关于BD轴对称，
∴BD⊥FF'，BF＝BF'，
∴DE∥FF'，
∴∠DEF'＝∠BF'F，
∴△DEF'∽∠BFF'，
当r＝1时，AO＝4，DO＝1，BO＝1，
由①知，
，
，
，
，
，
，
与的面积之比，
同理可得，当时．时，与的面积比．
与的面积比为或．
本题是圆的综合题，考查了直角三角形30度角的性质，切线的判定和性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线，熟练运用圆的相关性质定理是解题的关键．
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