九年级二次函数培优竞赛试题与答案.doc

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九年级二次函数培优竞赛试题及答案

1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

(1)求点C的坐标；
(2)若抛物线y＝－x2＋ax＋4经过点C．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

1.【解析】
试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；
（2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；
②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A为直角顶点，过A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，过P1作P1M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP1，利用AAS可证明三角形AP1M与三角形ACD全等，得出AP1与P1M的长，再由P1为第二象限的点，得出此时P1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作BP2垂直于BA，且BP2=BA，过P2作P2N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BP2N与三角形AOB全等，得出P2N与BN的长，由P2为第三象限的点，写出P2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如图所示，过P3作P3H垂直于y轴，同理可证明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H与BH的长，由P3为第四象限的点，写出P3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．
试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D，

∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，
∴C的坐标为（3，﹣1）；
（2）①∵抛物线y=﹣x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1），
∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣+3a+2，解得：a=，
则抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；
②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图所示，

∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°，
∴△AMP1≌△ADC，
∴AM=AD=2，P1M=CD=1，
∴P1（﹣1，1），经检验点P1在抛物线y=﹣x2+x+2上；
（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，
得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图，

同理可证△BP2N≌△ABO，
∴NP2=OB=2，BN=OA=1，
∴P2（﹣2，﹣1），经检验P2（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣x2+x+2上；
（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，
得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图，

同理可证△BP3H≌△BAO，
∴HP3=OB=2，BH=OA=1，
∴P3（2，﹣3），经检验P3（2，﹣3）不在抛物线y=﹣x2+x+2上；
则符合条件的点有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）两点．
考点：1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形．

2.【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）（，） （3）当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形
【解析】
试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；
（3）设P点坐标为（-1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t值．
试题解析：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=-3，即A点坐标为（-3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（-3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得
， 解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）如图1，

设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），则m＜0，-m2-2m+3＜0．
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．
∵直线AB的解析式为y=x+3，
∴当x=-1时，y=-1+3=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
∵S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=×2×2+×2×（m2+2m-3）-×2×（-1-m）=m2+3m，
∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，
解得：，（舍去），
当时，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=，∴点F的坐标为（，）；
（3）设P点坐标为（-1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC2=12+32=10．
分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，

即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，
化简整理得6n=16，解得n=，
∴P点坐标为（-1，），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-=，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t1=；
②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，

即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，
化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，
∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t2=2，t3=3；
③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，

即10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，
化简整理得6n=-4，解得n=-，
∴P点坐标为（-1，-），
∵顶点D的坐标为（-1，4），
∴PD=4+=，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t4=；
综上可知，当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．

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