《二次函数最值问题----几何图形面积》.doc

《二次函数最值问题----几何图形面积》

教学设计

鞍山市第二十五中学

王胜震

《二次函数最值问题－－几何图形面积》教学设计
鞍山市第二十五中学 王胜震
一、教材分析
本节课是在学习二次函数的概念、图象及性质后，对二次函数性质的应用课。主要内容为运用二次函数的最大值解决几何图形最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点（最低点）。因此，可利用图象最高点坐标求实际问题中的最大值（或最小值）.在几何图形面积这个问题中，应用顶点坐标或一部分图象的最高点坐标求几何图形面积的最大值，是较难的实际问题。
本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识快乐，使学生成为课堂的主人。
二次函数的最值问题在中考试卷中占有重要的地位和作用，因此学好本节课也为学生面向中考打下坚实的基础。
二、教学目标
1、知识与技能
通过对实际问题与二次函数关系的探究，学生能够掌握利用顶点或一部分图象的最高点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。
2、过程与方法
通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。学生进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化和数形结合的数学思想方法，体会数学问题的内在联系性和规律性。
3、情感态度价值观
（1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，学生在实践中感受数学的美感。
（2）在教学中体会数学知识的应用价值。
（3）在合作探究过程中增强学生的合作意识。
三、教学重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。
教学难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题。
教学关键：利用数形结合的数学思想，正确取得图象中的最高点，灵活解决实际问题。
教学方法：启发探究式。
四、学情分析
学生已经学习一次函数的最值问题，教学中可以通过类比的数学方法引导学生求二次函数最值的思想和方法。学生又学习了“二次函数的图象及性质”，因此，教学中教师通过正确有效的引领，学生对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师点拨，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会数学在实际问题中的应用价值。
五、 教学过程
(一)复习提问：（1）一次函数的图象和性质？当自变量有取值范围时如何求一次函数的最值？
（二）导入新课：类比一次函数的最值，求二次函数的最值。
（1） 完整图象；（2）部分图象有顶点；（3）部分图象无顶点。
（三）创设情境引入课题：
  例：用60米长的篱笆围成矩形的生物园饲养小兔,应该怎样围可使小兔的活动场地面积最大?
教师提出问题并引导学生考虑：（1）若矩形的长为10米，它的面积为多少？（2）若矩形的长分别为15米、20米、30米时，它的面积分别为多少？（3）从以上两个问题中同学们发现了什么？
关注学生是否发现两个变量， 是否发现矩形的长的取值范围。学生积极思考回答问题。通过矩形面积的探究，激发学生学习兴趣。
分析问题并解决问题：分析量（常量和变量）的含义；分析量和量的关系（用含x的代数式表示矩形的相邻两边长）；分析整体的等量关系（矩形的面积＝长*宽）。教师引导学生分析与矩形面积有关的量，参与学生讨论，学生积极回答。
解：设矩形长为x米，则宽为（60/2-x）米，设矩形面积为y平方米，依题意得：
y=x（60/2-x）
=-x2+30x
=-（x-15）2 +225 (0＜x＜30)
∵a=-1<0，
∴ 当x=15时，60/2-x=30-15=15, y最大=225.
答：当矩形相邻两边均为15米时，矩形面积最大为225平方米。
教师引导学生画出此函数的图象，通过运用函数模型让学生体会数学的应用价值。要注意自变量的取值范围，所画的函数图象只能是抛物线的一部分。在这一部分图象中，图象的最高点的纵坐标即为此函数的最大值。
(四)变式练习： 
1.如图，靠一面足够长的墙，用60米长的篱笆围成一个矩形场地．怎样围才能使矩形场地的面积最大？

2.如图，靠一面20米长的墙，用60米长的篱笆围成一个矩形场地．怎样围才能使矩形场地的面积最大？

3.在一条水渠边，用篱笆围成一块直角梯形菜地（如图）．已知篱笆总长28米．篱笆怎样围这块菜地的面积最大？最大的面积是多少平方米？

4.如图，用长为18米的篱笆两面靠墙围成一个矩形苗圃ABCD，其中EF是一个2米宽的门（门不需要篱笆）．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．
（1）求s与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
（2）若矩形ABCD的面积为64平方米，且AB＜BC，求AB长．

5. 如图,要建一个矩形养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙足够长),如果用50米长的篱笆围成中间有一道隔栏的养鸡场,设它的长为x(m)
(1)要使鸡场的面积最大,鸡场的长应为多少?
(2)若中间有n(n>1)道篱笆隔墙,使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少?
(3)比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?

6.中考链接：某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm．（不考虑墙的厚度）
（1）若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？
（2）求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？

这一部分习题设置了以下变式：是否靠墙；靠几面墙；墙长是否有条件限制；是否有隔栏，有几道隔栏；围成其它的几何图形等等,其中第5题体现了特殊到一般的数学思考过程。
教师在教学过程中注意学生是否将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，利用数形结合的思想，结合图象找出部分图象的最高点，在这个过程中要注意引导学生观察自变量的取值范围，比较图象的最高点是否为顶点，养成良好的学习习惯，最后得到函数的最大值。
在适当的时机学生分组讨论，增强学生合作意识。在练习的最后设置有难度的附加题，使学生见识了中考题型，增加学生的视野，又体现了分层次教学，让不同学生在同一个课堂上都有不同的收获。
（五） 课堂小结：教师引导学生谈本节课的收获，学生积极思考，发表自己的见解。师生共同归纳，可利用顶点坐标或部分图象的最高点求实际问题中的最大值（或最小值）。利用函数的极值解决实际问题。
本节课所用的数学方法是数形结合的方法。所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法。
（六） 课后作业：书第52页第4、5、6、7题，及选做附加题。
六、板书设计
二次函数最值问题－－几何图形面积
一次函数最值（结合图象） 例题： 变式习题：
二次函数最值（结合图象） 分析： 附加题：
课堂小结： 解答： 作业：

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