二次函数与几何图形结合练习.doc

3.2 与几何图形结合
3.2.1 与等腰三角形结合
1、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由

2、如图，已知直线y=x与交于A、B两点．
（1）求交点A、B的坐标；
（2）记一次函数y=x的函数值为y1，二次函数的函数值为y2．若y1＞y2，求x的取值范围；
（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．

3、如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O。P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

3.2.2 与直角三角形结合
1、二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．
(1)试求，所满足的关系式；
(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；
(3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

2、已知一次函数的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D的坐标为（1，0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

3、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

3.2.3 与等腰直角三角形结合
1、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图，抛物线-（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，-m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

3、已知抛物线 y = ax2 + bx + c(a > 0)与 x 轴的两个交点分别为 A(-1,0)、B(3,0),与 y 轴的交点为点 D,顶点为 C,
(1)求出该抛物线的对称轴;

(2)当点 C 变化,使 60°≤∠ACB≤90°时,求出 a 的取值范围;

(3)作直线 CD 交 x 轴于点 E,问:在 y 轴上是否存在点 F,使得△CEF 是一个等 腰直角三角形?若存在,请求出 a 的值,若不存在,请说明理由。

3.2.4 与特殊四边形结合
1、（2014•大港区一模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）

A．ab=﹣2 B．ab=﹣3 C．ab=﹣4 D．ab=﹣5

2、（2014秋•广水市校级月考）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）．
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3、（2016•贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

4．（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

6．（2015•毕节市）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

8．（2015•鄂尔多斯）如图，抛物线 y=x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MO M′C，那么是否存在点M，使四边形MO M′C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积．

3.2.5 线段和差最值
1、在直角坐标系XOY中，定点A（-2，5）、B（3，-2），动点P在x轴上，则PA+PB的最小值是 ；|PA-PB|最大值是

2、（2013•贵港）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（　　）

A．y=x B．y=x+1 C．y=x+2 D．y=x+3

3、如图，抛物线y=- -x+2的顶点为A，与y轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；
（3）当PA-PB最大时，求点P的坐标．

5、（2014学年•文澜月考）如图，已知抛物线与x轴交于点B、C，
y轴交于点E，且点B在点C的左侧．抛物线过点M（-2，-2），
（1）求实数a的值；
（2）求出四边形CEMB的面积；
（3）在抛物线的对称轴上找一点H，使的值最大，直接写出点H的坐标．若不存在，请说明理由。

6、如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

7、（2010•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．

8、（2015•贵阳模拟）如图，二次函数的图象交x轴于A，B 两点，交y轴于点 C，顶点为D．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC，求出四边形AEBC的面积；
（3）试探索：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由？

9、已知二次函数．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由

10、（2015•绵阳模拟）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）；
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）点 M是抛物线上的动点，在x轴上存在一点N，使得A、D、M、N 四个点
为顶点的四边形是平行四边形，求出点 M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

11、（2014春•西湖区校级月考）如图，已知△OAB的顶点A（3，0），B（0，1），O是坐标原点．将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC．
（1）写出C，D两点的坐标；
（2）求过C，D，A三点的抛物线的解析式，并求此抛物线的顶点M的坐标；
（3）在对称轴上找一点P，使得PB+PD最小，求出最小值和P点坐标．

3.2.6 与面积结合问题
1、如图，抛物线与x轴交于O、B两点，C为顶点，点P为抛物线上一点，使得
求P点坐标．

2、已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，在抛物线上有一点C，其横坐 标为2，则△ABC面积为____________．

3、如图，一小球从斜坡OA的O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜 坡可以用一次函数刻画，小球的落点是A，连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的
面积．

4、如图，在直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴相交于O、A两点，在这条抛物线的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A．B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，顶点为D．求△CBD的面积．

6、如图，抛物线过点O（0，0），A（3，3）和B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，求四边形OMAB的面积．

7、如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B （3，0）两点，与y轴交于点C，此抛物线的对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．抛物线上是否存在点Q，使△QMB与△PMB
的面积相等？

11、如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（1，0）、C（-4，0）两点（点C在点A的左侧），与y轴交于点B．已知点P是抛物线上的一个动点，且在B、C两点之间，
（1）试求直线BC的解析式；
（2） 问当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．