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二次函数系数a、b、c与图像的关系
一、首先就y=ax+bx+c（a≠0）中的a，b，c对图像的作用归纳如下：
1 a的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；
决定张口的大小：∣a∣越大，抛物线的张口越小．
2 b的作用：b和a与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．
b与a同号，说明，则对称轴在y轴的左边；
b与a异号，说明-b2a>0，则对称轴在y轴的右边；
特别的，b = 0，对称轴为y轴．
3 c的作用：c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标．抛物线与y轴的交点（0，c）
c > 0 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；
c < 0 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴；
特别的，c = 0，抛物线过原点．
4 a,b,c共同决定判别式∆=b2-4ac的符号进而决定图象与x轴的交点
b2-4ac>0 与x轴两个交点
b2-4ac=0 与x轴一个交点
b2-4ac<0 与x轴没有交点
5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；
x= -1时，y=a - b + c ．
当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0
当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．
扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴-b2a ; 判别式b2-4ac ; y=a+b+c……等等）的符号
二、经典例题讲解
例1 已知二次函数的图像如图，则a、b、c满足（　　）
y
x
O
A．a < 0，b < 0，c > 0 ；B．a < 0，b < 0，c < 0 ；
C． a < 0，b > 0，c > 0 ；D．a > 0，b < 0，c > 0 ；

例2（2015呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：
①②③④，则a， b， c， d的大小关系是　　　　　　．
x
y
O
①
②
④
③
A．a > b > c > d B．a > b > d > c
C．b > a > c > d D．b > a > d > c

例3已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论是（　　）
A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤

练习
1. （2015•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的
y
x
O
位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）
A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0

2.（2015•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（　　）

A、a＜0，b＜0，c＞0，b2- 4ac＞0
B、a＜0，b＜0，c＜0，b2- 4ac＞0
C、a＜0，b＞0，c＞0，b2- 4ac＞0
D、a＞0，b＜0，c＞0，b2- 4ac＞0

3.（2015•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0，②b2- 4ac＞0，③a-b+c=0，④a+b+c＞0，其中正确结论的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

4.（2015•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c＜0； ②a﹣b+c＜0； ③b+2a＜0； ④abc＞0．
\其中所有正确结论的序号是（　　）
A．
③④
B．
②③
C．
①④
D．
①②③

5.（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（　　）

A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤

6.（2015•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（　　）
A、ac＜0 B、x＞1时，y随x的增大而增大
C、a+b+c＞0 D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3

能力提升
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：
① abc＜0； ②a-b+c＞0； ③2a+b=0； ④b2- 4ac＞0；
⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），
其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2. （2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：
①b2＞4ac； ②2a+b=0； ③3a+c=0； ④a+b+c=0．
其中正确结论的个数是（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
3. （2015•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
① b2- 4ac＞0； ②abc＞0； ③8a+c＞0； ④9a+3b+c＜0
其中，正确结论的个数是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

4. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③2a-b＞0；④b2+8a＞4ac，正确的结论是

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