二次函数与几何综合典题(含答案详解).doc

二次函数与几何综合典题题
例1．已知抛物线的顶点坐标为（3，-2），且与轴两交点间的距离为4，求其解析式。

例2.已知二次函数的图像与轴交于不同的两点A、B，点A在点B 的左边，与轴交于点C，若△AOC与△BOC的面积之和为6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（2，-a），求这个二次函数的解析式。

例3.已知二次函数的图像过点E（2，3），对称轴为＝1，它的图像与轴交于两点A。
（1）求二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

例4.如图，抛物线与轴、轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C(0，3)三点，其顶点为D。
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）试判断△BCD与△COA是否相似？
若相似写出证明过程；若不相似请说明理由。

例5：如图，已知抛物线的图像与X轴交于A、C两点。
（1）若抛物线与关于轴对称，求的解析式；
（2）若点B是抛物线上一动点（B不与A,C重合），以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求证：点D在上；
（3）探索：当点B分别位于在轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它们是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

例6.如图，已知：，是方程的两个实数根，且＜，抛物线的图像经过点A（，0）、B（0，）。
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D。试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点坐标。

答案：
1．根据题意得：，，
。联立以上三式得：，，。∴抛物线解析式为：。
另解：由顶点坐标（3，-2）可知，对称轴为：，又与x轴两交点间的距离为4，∴两交点坐标分别为（1,0）、（5,0）。设表达式为，代入顶点坐标得：，解得：，∴。
※2.顶点坐标（2，-a）代入顶点坐标公式得：
，（太好了，一箭三雕！）
∴，点A、点B的坐标分别为：（1,0）、（3,0），∴AB=2.
∵，∴，
∴这个二次函数的解析式为。
3．（1）由题意知：①，②，
又③。
联立①②③式可得：，∴解析式为：
（2）存在这样的点P。由（1）可知，∴点A的坐标为（），点B的坐标为（3，0），顶点坐标（1，4）。
设点P的坐标为（t，），则△POA的高为，底边OA=1。
△EOB的底边为3，高为3，∴△EOB的面积=。
令，
∴，∵9＞4，∴=，解得：。
∴点P的坐标为（，）或（，）.
4．（1）设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，3）得：，解得：。∴解析式为。
（2）由（1）可知，∴点D的坐标为（1,4）.
作DE⊥AB，垂足为E，则点E的坐标为（1,0）。
∴四边形ABDC的面积=。
（3）△BCD与△COA相似。理由如下：
由A、B、C、D四点的坐标可得：OA=1，CO=3，CA=；
BC=，CD=，
BD=。∵，∴△BCD∽△COA。
5．（1）∵与关于x轴对称，∴。
（2）设点B的坐标为（），∵四边形ABCD为平行四边形，点A、C关于原点O对称，∴点B和点D关于原点O对称，∴点D的坐标为（）。代入的表达式可知左边等于右边，∴点D在上。
（3）∵点A、C是抛物线与x轴的交点，∴点A、C的坐标分别为（）和（2,0），∴AC=4. 平行四边形ABCD的面积=2△ABC的面积=。
①当点B在x轴上方时，，随的增大而增大，
∴此时既没有最大值也没有最小值；
②当点B在x轴下方时，，且，随的增大而减小，有最大值没有最小值。∴当取最小值时，有最大值，最大值为16；此时点B、D在轴上，AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形。
综上所述，当点B在x轴下方时，平行四边形ABCD有最大面积16，此时的四边形为菱形。
6．（1）解方程得：，∵m＜n，
∴，∴点A、B的坐标分别为（1，0），（0，5）。把A、B
的坐标代入得：解这个方程组，得，
抛物线的解析式为。
（2）由（1）知，∴点D的坐标为（），抛物线对称轴为直线，∴点C的坐标为（）。
由点B、C的坐标可知直线BC的表达式为，过点D直线DE，交直线BC于点E（如图1），则点E的坐标为（），∴线段DE=6，
△BCD的面积=.
（3）如图2，设点P的坐标为（t，0），则点H的坐标为
（t，），若HP与直线BC交于点F，点F的坐标
为（t，t+5）。若，则，
即，∴，
解得：；若，则，
，解得：。
综上所述，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，则点P的坐标为（）或（）