二次函数知识点及经典例题详解最终.doc

二次函数知识点总结及经典习题

一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 y = ax2 + bx + c （ a ，b ，c 是常数， a ¹ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ¹ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2．
⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．

二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： y = ax2 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

a > 0

向上
(0，0)

y 轴
x > 0 时， y 随 x 的增大而增大； x < 0 时， y 随
x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值0 ．

a < 0

向下
(0，0)

y 轴
x > 0 时， y 随 x 的增大而减小； x < 0 时， y 随
x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值0 ．
2. y = ax2 + c 的性质：上加下减。
a 的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

a > 0

向上
(0，c)

y 轴
x > 0 时， y 随 x 的增大而增大； x < 0 时， y 随
x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值c ．

a < 0

向下
(0，c)

y 轴
x > 0 时， y 随 x 的增大而减小； x < 0 时， y 随
x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值c ．
3. y = a (x - h )2 的性质：左加右减。
a 的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

a > 0

向上
(h ，0)

X=h
x > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随
x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．

a < 0

向下
(h ，0)

X=h
x > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随
x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．
4. y = a (x - h )2 + k 的性质：
a 的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

a > 0

向上
(h ，k )

X=h
x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随
x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．

a < 0

向下
(h ，k )

X=h
x > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随
x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．

三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其顶点坐标(h ，k )；
⑵ 保持抛物线 y = ax2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．

四、二次函数 y = a (x - h )2 + k 与 y = ax2 + bx + c 的比较
从解析式上看， y = a (x - h )2 + k 与 y = ax2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得

到前者，即 y = ax+b2a2 + 4ac- b24a ，其中h= - b 2a，k=4ac- b24a
五、二次函数 y = ax2 + bx + c 的性质
当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - b2a ,顶点坐标为-b2a,4ac- b24a.
当x< - b2a 时，y随x的增大而减小；
当x > - b2a 时，y随x的增大而增大；
当x=- b2a时，y有最小值4ac- b24a .
2. 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=- b2a , 顶点坐标为-b2a,4ac- b24a.当
x< - b2a时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - b2a 时,y随 x 的增大而减小;当x=- b2a时 , y有最大值4ac- b24a.

六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y = ax2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ¹ 0 ）；
2. 顶点式： y = a(x - h)2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ¹ 0 ）；
3. 两根式（交点式）： y = a(x - x1 )(x - x2 ) （ a ¹ 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b2 - 4ac ³ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a
⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；
⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．
2. 一次项系数b
在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴）
3. 常数项c
⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；
⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．

八、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：
① 当 D = b2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A(x1 ，0)，B (x2 ，0 ) (x1 ¹ x2 ) ，其中的 x1 ，x 2是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0)的两根．
② 当D = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点；
③ 当D < 0 时，图象与 x 轴没有交点.
1' 当 a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；
2 ' 当 a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．
2. 抛物线 y = ax2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；

中考题型例析
1. 二次函数解析式的确定
例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式
(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);
(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;
(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.
分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.
(1)解:设解析式为 y=ax2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得
3=a-b+c3=a+b+c 6=4a+2b+c 解得 a=1b=0c=2

∴解析式为 y=x2+2.
(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8).
设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,
∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x2-4x-6.
解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,
∴解析式为 y=2x2-4x-6.
解法 3:
∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.
∵函数有最小值-8.
∴4a-3a-(2a)24a =-8.
又∵a≠0,∴a=2.
∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.
(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.
由抛物线的对称性可得 A、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x1)·(x-x2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x2-2x+8.

点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2).

2. 二次函数的图象
例 2 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限

分析:由图可知:
抛物线开口向上Þ a>0.
抛物线与y轴负半轴相交 Þ c < 0bý
Þ bc>0.
对称轴x = - 2a 在y轴右侧 Þ b < 0ï
∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.
点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a、b、c 的符号.
例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).

分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)来讲:
ì开口上下决定a的正负
ï左同右异(即对称轴在y轴左侧,b的符号
ï
í与a的符号相同;)来判别b的符号
ï抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定
ï
ïîc的正负
解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.
答案:D.

3. 二次函数的性质
例 4 对于反比例函数 y=- 2x 与二次函数 y=-x2+3, 请说出他们的两个相同点:① , ② ; 再说出它们的两个不同点:① ,② .
分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.
解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);
不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命
题的热点.

4. 二次函数的应用
例 5 已知抛物线 y=x2+(2k+1)x-k2+k,
(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.
2
(2)设 x1、x2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x12+x 2=-2k2+2k+1.
①求抛物线的解析式.
②设点 P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.
分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.
(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;
②由 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n1=n2, 由 n1=m12+m1,n2=m22+m2 得 m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0 可求得 m1+m2= - 1.
解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k2+k)=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.
∵8k2+1>0,
即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.
(2) ①由题意得 x1+x2=-(2k+1), x1· x2=-k2+k.
∵x1 2+x2 2=-2k2+2k+1,
∴(x1+x2)2-2x1x2=- 2k2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2-2k= - 2k2+2k+1.
∴8k2=0, ∴k=0,
∴抛物线的解析式是 y=x2+x.
②∵点 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称,
∴n1=n2.
2
又 n1=m12+m1,n2=m 2+m2.
2
∴m12+m1=m 2+m2,
即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.
∵P、Q 是抛物上不同的点,
∴m1≠m2,即 m1-m2≠0.
∴m1+m2+1=0
即 m1+m2=-1.
点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.

二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数 y = x2 - 4x - 7 的顶点坐标是( )
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）
2. 把抛物线 y = -2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）

A. y = -2(x +1)2
B. y = -2(x -1)2
C. y = -2x2 +1
D. y = -2x2 -1

3.函数 y = kx2 - k 和 y = k (k ¹ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
x
4.已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;
② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取 0.
其中正确的个数是( )
A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个

5.已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),
由图象可知关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的两个根分别是 x1 = 1.3和
x2 =（ ）
Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

6. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

7.方程 2x - x2= 2x 的正根的个数为（ ）
A.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个

8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. y = x2 - x - 2 B. y = -x2 + x + 2
C. y = x2 - x - 2 或 y = -x2 + x + 2 D. y = -x2 - x - 2 或 y = x2 + x + 2

二、填空题
9．二次函数 y = x2 + bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。
10．已知抛物线 y=-2（x+3）²+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当 x＜0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增
大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。
12．抛物线 y = 2(x - 2)2 - 6 的顶点为 C，已知直线 y = -kx + 3过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13. 二次函数 y = 2x2 - 4x -1的图象是由 y = 2x2 + bx + c 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到的,则 b= ,c= 。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方，桥的高度是 (π取 3.14).

三、解答题：
15.已知二次函数图象的对称轴是 x + 3 = 0 ,图象经过(1,-6),且与 y 轴的交点为(0, 52 ).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?
(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 h=v0t- 12gt2（0<t≤2），其
0
中重力加速度 g 以 10 米/秒 2 计算．这种爆竹点燃后以 v =20 米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？
（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线 y = x2 + bx - c 经过直线 y = x - 3 与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使 SDAPC ：SDACD = 5：4 的点 P的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7. 5 吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元．设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）．
（1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；
（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

二次函数应用题训练

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（分）之间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0≤x≤30).
（1）当 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当 x 在什么范围内时， 学生的接受能力逐步减弱？

（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？

A
2、如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC
上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上. 问矩形 DEFG 的最大面积是多少?
G
D

D
G

C
B

F
E

3、如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 开始,沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少? C

Q

A P B
4、如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行
的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;
y
xx
4m
3.05M
(0,3.5)0
(2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时， 他跳离地面的高度是多少.

4 m
x
3.05 m
y
5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x m.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？

X

(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

6、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价 x(元)满足关系：m=140－2x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

二次函数对应练习试题参考答案
一，选择题、
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 二、填空题、

9． b = -4
10． x＜-3 11．如 y = -2x2 + 4, y = 2x + 4 等（答案不唯一）

12．1 13．-8 7 14．15
三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c ,由题意可得
-
-b2a=-3 a+b+c=--6c=--52 解得 a = -12 , b = -3, c = -52 所以 y = -12 x2 - 3x -52

(2) x = -1或-5 (2) x < -3
16．（1）由已知得，15 = 20t - 12 ´10 ´ t 2 ，解得t1 = 3, t2= 1当t = 3 时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米．（2）由题意得， h = -5t 2 + 20t ＝ -5(t - 2)2 + 20 ，可知顶点的横坐标 t = 2，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升．
17．（1）直线 y = x - 3 与坐标轴的交点 A（3，0），B（0，-3）．则9+3b-c=0-c=-3 解得b=-2 c=3
所以此抛物线解析式为 y = x2 - 2x - 3 ．（2）抛物线的顶点 D（1，－4），与 x 轴的另一个交点 C
（－1，0）.设 P (a, a2 - 2a - 3) ，则( 12×4×a2-2a-3)：(12×4×4) = 5 : 4 ,化简得a2-2a--3 = 5 .
当 a2 - 2a - 3＞0 时， a2 - 2a - 3 = 5得 a = 4, a = -2 ∴P（4，5）或 P（－2，5）

当 a2 - 2a - 3＜0 时， -a2 + 2a + 3 = 5 即 a2 + 2a + 2 = 0 ，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．

18．（1） 45 [phone] ´ 7.5=60（吨）．
（2） y = (x - 100)(45 +260-x10 ´ 7.5) ，化简得：y = -34 x2 + 315x - 24000 ．
（3） y = - 34 x 2 + 315x - 24000 = -34 (x - 210)2 + 9075 ．

红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额
W = x(45 +260-x10 ´ 7.5) = -34 (x -160)2 +19200 来说，

当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大．∴当 x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大．∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为 17325 元； 而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元．
∵ 17325＜18000，∴ 当月利润最大时，月销售额 W 不是最大．∴小静说的不对．

二次函数应用题训练参考答案

1、（1）0≤x≤13，13＜x≤30；（2）59；（3）13.
2、解：过 A 作 AM⊥BC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=202-122=16cm.
设 DE=xcm, S 矩形=ycm2, 则由△ADG∽△ABC,
故 ANAM = DGBC ,即 = 16-x16 ,故 DG24= 32 (16-x).
∴y=DG·DE= 32 (16-x)x=- 32 (x2-16x)=- 32 (x-8)2+96,
从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形 DEFG 的最大面积是 96cm2.

3、设第 t 秒时,△PBQ 的面积为 ycm2.则∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm;
又 BQ=2t.∴y= 12 PB·BQ= 12 (6-t)·2 t=(6- t) t= - t2+6t= - (t-3)2+9,
当 t=3 时,y 有最大值 9.
故第 3 秒钟时△PBQ 的面积最大,最大值是 9cm2.

4、解：(1)设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c.
由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).
-b2a=0 c=3.5 3.05=1.52a+1.5b+c 得 a=-0.2b=0 c=3.5

∴抛物线的表达式为 y=－0.2x2+3.5.
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为 h m，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05) m,
∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5,
∴h=0.2(m).

5、解：(1)依题意得
鸡场面积 y=－ - 13 x 2 + 503 x.

∵y=－13x2+ 503x= - 13(x2－50x)=－13 (x－25)2+6253,

∴当 x=25 时，y最大 =6253 ，

即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为6253m2.
(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为50-xn m.

∴y= 50-xn·x=－1n x2+ 50n x=－1n (x2－50x) =－1n (x－25)2+ 625n ,

当 x=25 时，y最大= 625n
即鸡场的长度为 25 m 时，鸡场面积为 625n m2.
结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是 25 m.

6、解：(1)y=－2x2+180x－2800. (2)y=－2x2+180x－2800=－2(x2－90x)－2800
=－2(x－45)2+1250.
当 x=45 时， y最大 =1250.
∴每件商品售价定为 45 元最合适，此销售利润最大，为 1250 元.