二次函数知识点与题型总结.doc

二次函数
知识点一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
注意：轴和轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，和是两个不同点的坐标。
知识点二、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一确定的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点三、概念总结及基本性质
1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。二次函数的定义域是全体实数．
2.、二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
3、 二次函数的基本形式（平移规律：左加右减，上加下减）
（1）的性质：的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

（2）的性质：上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

（3） 的性质：左加右减。

（4） 的性质：

4、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
5、二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
6、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
知识点四、二次函数、二次方程、二次不等式
相同：
(1)表达它们的都是式子：函数式、方程式、不等式 ；
(2)它们都含有类似的代数式：；
(3)它们的代数式都只含有一个未知数(一元)；
(4)它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次 。
区别：
(1)二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式 ；
(2)二次函数中，代数式等于因变量 ；
一元二次方程中，代数式 等于零；
一元二次不等式中，代数式大于或小于零；
(3)图像：
二次函数的图像是一条曲线：抛物线 ；
一元二次方程的解是点：二个点或一个点或无点 ；
一元二次不等式的解集是线段或射线 。
联系：
(1)一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识 。
(2)令二次函数的，则原式变为一元二次方程=0 ，
令一元二次不等式＞0的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程=0 。
(3)二次函数抛物线与轴的两交点的横坐标、（＜），即为一元二次方程=0的两根。
（抛物线与轴有一个交点，即方程有二个相同的根；没有交点，即方程无解。）
一元二次不等式＞0 解集是：＜ 或＞；
对于＜0，解集是：＜＜ 。
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
8、两点间距离公式
点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）。则AB间的距离，即线段AB的长度为

【题型总结】
题型一：考查二次函数的定义、性质
1、 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是
2、 当_________时，函数是关于的二次函数.
3、下列函数：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ，其中是二次函数的是
题型二：综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像
3、如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ）
y y y y

1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x

A B C D
4、在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
O
x
y

题型三：考察图像平移
5、把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
6、抛物线 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A. y=(x+8)2-9 B. y=(x-8)2+9 C. y=(x-8)2-9 D. y=(x+8)2+9
题型四：由抛物线的位置确定系数的符号
7、二次函数的图像如图1，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8、已知二次函数（≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①、同号；②当=1和=3时，函数值相等；③4+=0；④当y=-2时，的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1) (2)
题型五：考查用待定系数法求二次函数的解析式
9、已知：关于的一元二次方程的一个根为，且二次函数的对称轴是直线，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)
10、已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

题型六：考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值
11、已知抛物线（≠0）与轴的两个交点的横坐标是－1、3，与轴交点的纵坐标是－。
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【过手训练】
1、 当_______时，函数+3x是关于的二次函数。
2、抛物线不具有的性质是（　　）
A、开口向下 B、对称轴是轴 C、与 轴不相交 D、最高点是原点
3、苹果熟了，从树上落下所经过的路程S与下落时间t满足 S＝gt2（g＝9.8），则S与 t 的函数图像大致是（　）
　s
t
O
　　　　s
t
O
　　　s
t
O
　　　s
t
O

　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　D
4、函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5、二次函数，当时，求与的大小关系.

6、函数的图象可由函数的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.
7、抛物线与轴交点的坐标为_________
8、二次函数的图象在轴上截得的线段长为（ ）
A、 B、 C、 D、
9、二次函数的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是
10、已知二次函数与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则=
11、二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是
A． B． C． D．
12、已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；
③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
13、二次函数的图象如图，下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
14、二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）
A． B． C．＞0 D．＞0

（11题） （12题） （13题） （14题）
15、已知二次函数与轴有交点，则的取值范围是 .
16、关于的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在第_____象限；
17、抛物线与轴交点的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、以上都不对
18、二次函数对于的任何值都恒为负值的条件是（ ）
A、 B、 C、 D、
19、与的图象相交，若有一个交点在轴上，则为（ ）
A、0 B、-1 C、2 D、
20、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
21、已知抛物线，若点（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是 ．
22、抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为（ ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
23、 二次函数的图象过(-3,0),(1,0),(0,3),点在函数图象上，点是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点
求（1）一次函数和二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围.
24、已知二次函数的图象经过点（-3,0），（0,3），（2, －5），且另与轴交于点。
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点（－2,3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△的面积；如果不在，试说明理由

25、已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为（－1，0），与轴的交点坐标为（0，3）。

O
3
－1
x
y
（1）求此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值为正数时，自变量的取值范围。

26、已知二次函数的图象经过（2，0）、（0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点，连结，求△的面积。

27、已知二次函数的图象过点(2，1)．
(1)求证：；
(2)若二次函数的图象与轴交于点、(，0)，△的面积是，求的值．

28、根据条件求二次函数的解析式
（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点；
（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与轴交点的纵坐标为-3；
（3）抛物线在轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；

29、已知函数是关于的二次函数，求：
（1） 满足条件的的值；
（2）为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时为何值时，随的增大而增大；
（3）为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当为何值时，随的增大而减小？