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二次函数动点专项练习30题（有答案）

1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D，E．
（1）写出点A，点B的坐标；
（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

2．如图，已知抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．

4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．

5．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上，P为线段AB上一动点（除A，B两端点外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ的长为l，点P的横坐标为x．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求l与x之间的函数关系式，并求出l的取值范围；
（3）线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=﹣2x+7经过抛物线上一点B（5，m），且与直线x=2交于点E．
（1）求m的值及该抛物线的函数关系式；
（2）若点D是x轴上一动点，当△DCB∽△ECB时，求点D的坐标；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PC？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=5，AB=2，抛物线y=﹣x2+3x的图象与BC交于D、E两点．
（1）求DE的长　_________　；
（2）M是BC上的动点，若OM⊥AM，求点M的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2）点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设G是线段BC上的动点，作GH∥AC交AB于H，连接CH，当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时，求H点的坐标；
（3）若M为抛物线上A、C两点间的一个动点，过M作y轴的平行线，交AC于N，当M点运动到什么位置时，线段MN的值最大，并求此时M点的坐标．

9．如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）试求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；
（3）连接AC，点E为线段AC上的动点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F．当△OEF的面积取得最小值时，请求出点E的坐标．

10．抛物线y=a（x+6）2﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE2=3DE．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，3），B（6，1），C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；
（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；
（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？

12．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（﹣1，0）、（0，3）
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值；
（3）若过点A（﹣1，0）的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6，求此直线的解析式．

13．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①如图1．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．

14．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．

15．如图，抛物线y=ax2+bx+（a≠0）经过A（﹣3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．
①当t为何值时，线段MN最长；
②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．

16．如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2++c与x轴交于点（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上一点，且△ABP的面积是，求P点的坐标；
（3）若D是线段BC上的一个动点，过点D作DE⊥BC，交OC于E点．设CD的长为t，四边形DEOB的周长为l，求l与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

18．（2011•宝安区三模）如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，4），AB的垂直平分线交AB于C，交x轴于D，
（1）求点C、D的坐标；
（2）求过点B、C、D的抛物线的解析式；
（3）点P为CD间的抛物线上一点，求当点P在何处时，以P，C，D，B为顶点的四边形的面积最大？

19．（2010•菏泽）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；
（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（3，﹣3），与x轴的一个交点为B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P0的坐标．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为C．在抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积等于以点A、P0、B、C为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图，已知抛物线y=+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

23．如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．
①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．

24．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是（1）中抛物线AB段上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

25．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

26．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，抛物线y=ax2﹣2ax+4经过点A．
（1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是否在该抛物线上；
（2）如图2，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使|PC﹣PD|的值最大时点P的坐标；
（3）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

27．已知抛物线y=x2+bx+1的顶点在x轴上，且与y轴交于A点．直线y=kx+m经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）．
（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；
（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长h，点P的横坐标为x，当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值．

28．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标．

29．阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

30．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数动点30题参考答案：

1．解：（1）当y=0时，有，
解得：x1=4，x2=﹣1，
∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）．

（2）∵⊙Q与x轴相切，且与交于D、E两点，
∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，
∵抛物线的对称轴为，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0），
∴D、E两点的坐标分别为：（﹣m，m），（+m，m）
∵E点在二次函数的图象上，
∴，
解得或（不合题意，舍去）．

（3）存在．
①如图1，

当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G，
∴∠AOC=∠CGF=90°，
∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，
∴∠ACO=∠CFG，
∴△ACO≌△CFG，
∴CG=AO=4，
∵CO=2，
∴m=OG=2+4=6；
反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，
易得yC﹣yF′=CG=4，
∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2．
②如图2，

当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P，
∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，
∴∠ACO=∠FAP，
∴△ACO≌△∠FAP，
∴FP=AO=4，
∴m=FP=4；
反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，
易得yA﹣yF′=FP=4，
∴m=0﹣4=﹣4．
③如图3，

当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，
分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，
∴∠DFC=∠EFA，
∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，
∴△CDF≌△AEF，
∴CD=AE，DF=EF，
∴四边形OEFD为正方形，
∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD，
∴4=2+2•CD，
∴CD=1，
∴m=OC+CD=2+1=3．
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A，
∴∠HF′C=∠GF′A，
∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′，
∴△HF′C≌△GF′A，
∴HF′=GF′，CH=AG，
∴四边形OHF′G为正方形，
∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2，
∴OH=1，
∴m=﹣1．
∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，
∴y的最大值为．
∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜．
∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3．
综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3

2．（1）∵抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴根据题意，得，
解得 ，
所以抛物线的解析式为：；

（2）①证明：∵把C（m，m﹣1）代入得
∴，
解得：m=3或m=﹣2，
∵C（m，m﹣1）位于第一象限，
∴，
∴m＞1，
∴m=﹣2舍去，
∴m=3，
∴点C坐标为（3，2），
过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，
由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5
∵，∠AHC=∠BHC=90°
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH=∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH=90°
∴∠ACH+∠BCH=90°
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴▱DECF是矩形；

②存在；
连接CD
∵四边形DECF是矩形，
∴EF=CD，
当CD⊥AB时，CD的值最小，
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2；

3. 　（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．
令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，
解得：x1=3+，x2=3﹣，
∵点A在点B的左侧，
∴A（3﹣，0），B（3+，0）．

（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．

令x=0，得y=，
∴C（0，）．
∴CG=OC+OG=+1=，
∴tan∠DCG=．
设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．
由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．
∴tan∠EOM=tan∠DCG==，
解得EM=2，
∴DE=EM+DM=3．
在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；
在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．
∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，
∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．
设AE交CD于点F，
∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），
∴∠AEO=∠ADC．

（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：

由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，
要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．
设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．
∵y=（x﹣3）2﹣1，
∴（x﹣3）2=2y+2．
∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5
当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．
将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，
解得：x1=1，x2=5．
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，
∴x1=1舍去．
∴P（5，1）．
此时点Q坐标为（3，1）或（，）

4.　解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．
将A（﹣1，0），B（4，0）代入，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．

（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC==．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，
∴h=．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴=，
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，
得x1=0，x2=3．
当y=﹣2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
∴，
yBC=﹣x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得
0=﹣×（﹣1）+n
∴n=﹣，
yAD=﹣x﹣．
∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，
解得：x1=﹣1，x2=5
∴D（﹣1，0）与A重合，舍去；
∴D（5，﹣3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=，BC=2，
∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=，
在Rt△BFD中，由勾股定理，
得DF=，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°

5．解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2，
由于直线y=x+2与y轴交于（0，2），
∴x=0，y=2
满足y=a（x﹣2）2，于是求得a=，
二次函数的解析式为y=（x﹣2）2；

（2）∵PQ⊥x轴且横坐标为x，
∴l=（x+2）﹣（x﹣2）2=﹣x2+3x，
由得点B的坐标为B（6，8），
∵点p在线段AB上运动，
∴0＜x＜6．
∵，
∴当x=3时，．
∴0＜l＜；

（3）作MQ∥AP．过M作MD∥PQ，MD交AB于N，
则四边形PQMD为平行四边形．
∴MD=PQ，∵M（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．
∴．
∴x2﹣6x+8=0，∴x1=2，x2=4．
∵2＜x＜6，∴x=4．
∴P（4，6），Q（4，2）．
即P点的坐标为：（4，6）

6．：（1）∵点B（5，m）在直线y=﹣2x+7上，
∴m=﹣5×2+7=﹣3，
∴B（5，﹣3），
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴点A的坐标为（4，0）
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x﹣0）（x﹣4），
将点B（5，﹣3）代入上式，
得﹣3=a（5﹣0）（5﹣4），
∴a=﹣，
∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=﹣x（x﹣4），
即y=﹣x2+x．

（2）∵点A（4，0），B（5，﹣3），C（2，0），
∴AC=4﹣2=2，BC==3，
当点D在直线x=2的右侧时，
当△DCB∽△ECB，
∴=，
即=，
解得：CD=9，
∴点D的坐标为：（11，0），
当点D在直线x=2的左侧时，∵∠ACB=∠CDB+∠CBA，
且∠ACB＜∠DCB，
∴在△DCB中不可能存在与∠DCB相等的角，
即此时不存在点使三角形相似；
综上所述，存在点D的坐标是（11，0），使三角形相似；

（3）存在符合条件的点P使PB=PC，
∵C（2，0），B（5，﹣3），
∴∠ACB=45°，
BC垂直平分线的解析式为：y=x﹣5，
∴，
∴解得：，
，
∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．

7．解：（1）由图知：点D、E的纵坐标为2，依题意，有：
﹣x2+3x=2，解得：x1=1、x2=2
∴D（1，2）、E（2，2），DE=1．

（2）如右图；
矩形OABC中，∠OMA=90°，
∴∠CMO=∠MAB=90°﹣∠AMB，又∠OCM=∠MBA=90°，
∴△OCM∽△MBA，有：=
设点M（m，2），则：CM=m，BM=5﹣m
∴=，解得 m1=1，m2=4
∴点M的坐标为（1，2）或（4，2）．

（3）若以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，那么点D、M不共点，所以点M取（4，2）；
①当DM为平行四边形的对角线时，点O、Q关于DM的中点对称，即点Q的纵坐标为4，由图知，点Q必不在抛物线图象上，不合题意；
②当DM为平行四边形的边时，OM∥OQ，且OM=OQ；
∵D（1，2）、M（4，2）
∴OQ=DM=3，即 Q（﹣3，0）或（3，0）；
经验证，点（﹣3，0）不在抛物线图象上；
点（3，0）在抛物线图象上；
综上，存在符合条件的点Q，且坐标为（3，0）

8. 　解：（1）设抛物线的解析式：y=a（x+4）（x﹣1），代入C（0，﹣2），得：
﹣2=a（0+4）（0﹣1），
解得：a=
故抛物线的解析式：y=（x+4）（x﹣1）=x2+x﹣2．

（2）∵当△BGH的面积是△CGH面积的3倍，
∴BG：CG=3：1，即BG：BC=3：4；
∵GH∥AC，∴==；
易知：BA=OB+OA=5，则 BH=AB=，
∴OH=BH﹣OB=﹣1=，即 H（﹣，0）．

（3）设直线AC：y=kx+b，代入A（﹣4，0）、C（0，﹣2），得：
，
解得
故直线AC：y=﹣x﹣2；
设M（x，x2+x﹣2），则N（x，﹣x﹣2），则：
MN=（﹣x﹣2）﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+2）2+2
因此当M运动到OA的中垂线上，即M（﹣2，﹣3）时，线段MN的长最大．

9．（1）令x=0，可得y=3，
故点C的坐标为（0，3）；

（2）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：
，
解得：，
故函数解析式为y=x2﹣x+3；

（3）如图，∵点A（3，0），点B（4，1），
∴直线AB的解析式为：y=x﹣3，
∵A（3，0），C（0，3），
∴OA=3，OC=3，
∴tan∠OAC===1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∵∠OEF=∠OAF=45°，∠OFE=∠OAE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴S△OEF=×OE×OF=OE2，
当OE最小时，S△FEO最小，
根据等腰直角三角形的性质，当OE⊥AC时，OE最小，
此时点E为AC的中点，
故点E的坐标为（，）．

10.　解：（1）易知抛物线的顶点D（﹣6，﹣3），则DE=3，OE=6；
∵AE2=3DE=9，
∴AE=3，即A（﹣3，0）；
将A点坐标代入抛物线的解析式中，
得：a（﹣3+6）2﹣3=0，
即a=，
即抛物线的解析式为：y=（x+6）2﹣3=x2+4x+9．

（2）设点P（﹣6，t），易知C（0，9）；
则PC的中点Q（﹣3，）；
易知：PC=；
若以PC为斜边构造直角三角形，在x轴上的直角顶点只有一个时，以PC为直径的圆与x轴相切，即：
||=，
解得t=1，
故点P（﹣6，1），
当点P与点E重合时，由抛物线的解析式可知，A（﹣3，0），B（﹣9，0）．
所以P（﹣6，0），
故点P的坐标为（﹣6，1）或（﹣6，0），

（3）设点M（a，b）（a＜0，b＞0），分两种情况讨论：
①当NE=2DE时，NE=6，即N（﹣6，6），已知D（﹣6，﹣3），则有：
直线MN的斜率：k1=，直线MD的斜率：k2=；
由于MN⊥DM，则k1•k2==﹣1，
整理得：a2+b2+12a﹣3b+18=0…（△），
由抛物线的解析式得：a2+4a+9=b，
整理得：a2+12a﹣3b+27=0…（□）；
（△）﹣（□）得：b2=9，即b=3（负值舍去），
将b=3代入（□）得：a=﹣6+3，a=﹣6﹣3，
故点M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）；
②当2NE=DE时，NE=，即N（﹣6，），已知D（﹣6，﹣3），
则有：直线MN的斜率：k1=，直线DM的斜率：k2=；
由题意得：k1•k2==﹣1，
整理得：a2+b2+b+12a+=0，
而a2+12a﹣3b+27=0；两式相减，
得：2b2+9b+9=0，
解得b=﹣2，b=﹣，（均不符合题意，舍去）；
综上可知：存在符合条件的M点，且坐标为：M（﹣6+3，3）或（﹣6﹣3，3）．

11．（1）将A，B，C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，得
，
解得，
∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+；

（2）设点P（，m），分别过A、C两点作对称轴的垂线，垂足为A′，C′，
∵AP⊥CP，
∴△AA′P∽△PC′C，
可得=，即=，
解得m1=，m2=﹣，
∴P（，）或（，﹣）；

（3）①由B（6，1），C（0，﹣2），得直线BC的解析式为y=x﹣2，
∴D（4，0），
当E点为抛物线顶点时，满足条件的点E只有一个，
此时S=×4×2+×4×=，
∵S△BOC=×2×6=6，
∴当6≤S＜时，满足条件的点E有两个．
②当4＜S＜6时，﹣x2+x﹣2=0的△＞0，方程有两个不相等的实数根，此时0＜n＜1，
需满足的条件点E只能在点H与点B之间的抛物线上，
故此时满足条件的点E只有一个．

12. 解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，设抛物线的解析式是y=a（x﹣1）2+k，
∴
解得：，
∴y=﹣（x﹣1）2+4即y=﹣x2+2x+3

（2）∵y=﹣x2+2x+3，当y=0时，
∴x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴B（3，0），A（﹣1，0）
∴AB=4．
设P（a，﹣a2+2a+3）
∴S△ABP==﹣2（a﹣1）2+8，
∴△ABP面积的最大值为8

（3）设D的坐标为（1，b），
∴=6，
∴b=±6，
∴D（1，6）或（1，﹣6），设AD的解析式为y=kx+b，得
或
解得：或
∴直线AD的解析式为：y=3x+3或y=﹣3x﹣3

13. 　解：（1）由题意，得，解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3；

（2）①令﹣x2+4x﹣3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0），
当点P在x轴上方时，如图1，
过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，
易求直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴设直线AP的解析式为y=x+n，
∵直线AP过点A（1，0），代入求得n=﹣1．
∴直线AP的解析式为y=x﹣1
解方程组，得，
∴点P1（2，1）
当点P在x轴下方时，如图1：

设直线AP1交y轴于点E（0，﹣1），
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2，P3，
得直线P2P3的解析式为y=x﹣5，
解方程组，
得，
∴P2（，），P3（，），
综上所述，点P的坐标为：P1（2，1），P2（，），P3（，），

②∵B（3，0），C（0，﹣3）
∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°
设直线CP的解析式为y=kx﹣3
如图2，延长CP交x轴于点Q，
设∠OCA=α，则∠ACB=45°﹣α，
∵∠PCB=∠BCA，∴∠PCB=45°﹣α，
∴∠OQC=∠OBC﹣∠PCB=45°﹣（45°﹣α）=α，
∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90°
∴Rt△AOC∽Rt△COQ
∴，∴，
∴OQ=9，∴Q（9，0）
∵直线CP过点Q（9，0），∴9k﹣3=0
∴
∴直线CP的解析式为．
其它方法略．

1

14．解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（﹣2，2），B（6，6）代入，得，解得，
∴y=x+3，令x=0，
∴E（0，3）；

（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
将A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得，解得，
∴y=x2﹣x

（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，
联立，得x2﹣6x﹣4m=0，当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到BO的距离最大，所以△BON面积最大，
解得m=﹣，x=3，y=，即N（3，）；
此时△BON面积=×6×6﹣（+6）×3﹣××3=；

（4）过点A作AS⊥GQ于S，
∵A（﹣2，2），B（6，6），N（3，），
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，
OG=3，NG