平行四边形讲义新打印版.doc

平边四边形知识点
一．知识框架

二．知识概念
平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
平行四边形的判别方法：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线） 或底×高

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）
正方形常用的判定：
有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形；
梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形
等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形常用辅助线：

平行四边形的判定及性质巩固练习题
1、如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD是平行四边形．

2、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.

3、有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.求证：此四边形是平行四边形．

4、□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，求证：BE=DF

5、(变式练习2)□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，BM=DN求证：四边形MFNE是平行四边形

6、 (变式练习3)如图，平行四边形ABCD中，E、F是AC上两点，且AE=CF，又点M、N分别在AB、CD上，且MF∥EN，MN交AC 于O。求证：EF与MN互相平分。

7、(变式练习4)如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.

8、(变式练习)□ABCD中，DE平分∠ADC交BC的延长线于E，BF平分∠ABC交AB的延长线于F，求证：四边形 DEBF是平行四边形

9、(变式练习1)如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？

B
A
C
D
E
F
G
H
O
A
B
C
F
D
G
H
E
O
10、(变式练习2)如图，E、F分别为口ABCD的边AD、BC的中点。求证：（1）BE=DF；
（2）O为GH的中点。

11、□ABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF,M为DE中点，N为FB中点,求证：FM=NE ME=NF

12、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，
则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.

13、.如图所示，已知点D是△ABC的边AB上的中点，点E是AC上的一点，DF∥BE,EF∥AB,证明：AE、DF互相平分

14、如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，△BME是△AMD绕点M按顺时针方向旋转180°得到的，连结AE，求证：DE=AC．

15、如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．
求证：四边形AFCE是平行四边形．

16、如图所示，某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，EF=FC，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路，路线是B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由.

17、在平行四边形ABCD中，BN＝DM，BE＝DF，求证：四边形MENF是平行四边形.

18、如图，在ABCD中，AB=2AD，延长AD到F,使DF=AD,再延长DA到E,使AE=AD,求证:BF⊥CE.
A
D
F
C
B

E

19、如图19－1－30，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求证：四边形ADEF是平行四边形。

图3
20、如图3，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，，连结，试判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由。

21、如图2，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH，试说明：EF与GH相互平分．

矩形拓展题
1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
A
B
O
C
D
第1题

2、如图①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：（1）将△BAD对折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如图②（2）将△AFB沿BF折叠，AF与DC交点G，如图③则所得梯形BDGF的周长等于（ ）
A.12+2 B.24+2 C.24+4 D.12+4

① ② ③
3、如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )
A．2m+3　　　　B．2m+6 C．m+3 D．m+6
(第3题)
m+3
m
3

（第4题）

4、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于
点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )
A．a B． C． D．
5、如图，已知矩形纸片，点是的中点，点是上的一点，，现沿直线将纸片折叠，使点落在纸片上的点处，连接，则与相等的角的个数为( )
A.4 B. 3 C.2 D.1

6、矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．

7．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ．
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
①
②
A
B
C
D
E
G
M
N
③

8、如右上图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D’重合，若BC=8，CD=6，则CF=________。
9、如图2，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF = .

A
B
C
F
E
′
第11题图
（）
D
10、如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是________cm.
11、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，
折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．

12、如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．

13、如图自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD,E为垂足,延长CE至F,使CF=BD,连接AF,求∠BAF的大小

菱形的性质及判定巩固练习题
1、下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2 下列命题中错误的是 （ ）
Ａ．平行四边形的对边相等　 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形　　　
A
B
C
D

Ｃ．矩形的对角线相等　　　 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形
3 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
4 菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）
A．8cm和4cm B．4cm和8cm C．8cm和8cm D．4cm和4cm

5 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A． B． C． D．

D
C
B
O
A
E

6 如右图，四边形是菱形，过点作的平行线交的延长线于点，则下列式子不成立的是（ ）
A. B. C. ° D.
7 如右图，在菱形中，对角线相交于点为的中点，且，则菱形的周长为（ ）
A
D
C
E
B

A． B． C． D．
8、如图，菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形 的面积是 ，对角线的长是 ．

9、已知菱形的面积是，对角线cm，则菱形的边长是 cm
10、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.
11、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．
12、如图，菱形中，是对角线的交点，，，则 cm．
13、如图所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）

13题图 14题图
12题图
14、 如图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
15、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=__ ___，菱形的面积是____ __．
16、在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．
17、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

18、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．

19、如图，四边形中，，平分，交于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．

20、如图8，在平行四边形ABCD中，分别为边的中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．

A
B
C
D
E
F

21、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?

22、如图，三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是AC上一点，AE=AB,EF∥BC交AD于F，BE与AD交与G，求证：四边形BDEF是菱形。

A

E
F

C

D
B

23、如图、在三角形ABC中，∠A=90 º，∠B的平分线交AC于D，交高AH于E,，DF⊥BC,F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。

E
D
H
A

24、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8
（1）求菱形的周长；
（2）求OE的长度．

25、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

正方形练习题
1、正方形ABCD的边长为1，它的两条对角线相交于点O，则△ABO的周长为_____ ，面积为_______
2、如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，EC=AC，AE交CD于F，则∠AFC=____

2题图 3题图 6题图
3、如图，在正方形ABCD中，AB=8，AE=2, EF= . 点E在AB上，点F在AD上，则CF=_____
4、在正方形ABCD中，E是BC上一点，AE把正方形分成两部分，且，AB=6, 则AE=________
5、若正方形面积缩小为原来的，则它的边长是原来边长的______
6、如图，ABCD是正方形，M是BC中点，将正方形折起，使点A与点M重合，设折痕为EF, 若正方形面积为64，那么△AEM的面积是_________
7、如图，以正方形ABCD的对角线BD为边作正三角形BDE,过E作EF⊥AD,交DA的延长线于F,则∠AEF=_____；若正三角形BDE的周长是，正方形面积为_______

7题图 8题图 10题图
8 、如图，在正方形ABCD中，P是AD上任一点，PE⊥AC,PF⊥BD,点E、F分别是垂足，BD+AC=14，则PE+PF=______
9、正方形ABCD边长为8，M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为_________
10、如图，已知边长为1的正方形ABCD，E为AD中点，P为CE的中点，则=_____
11、在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,只添加一个条件____________________,使四边形AEDF为正方形（写出一个条件即可）
12、如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60°，至正方形,则旋转后两个正方形重叠部分的面积是_______

13、如图，在正方形ABCD中，M为BC上任一点，N是CD的中点，且AM=DC+CM
求证：AN平分∠DAM

14、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N. 求证：MD=MN. 若M是AB上任意一点，MD=MN还成立吗？若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。

15、如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，过点E作AE的垂线分别交CD、AB的延长线于点F、G. 求证：BE=BG+CF

16、如图，在正方形ABCD中，△PAQ是正三角形，设AB=10,求PB的长

17、如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上任一点，BF⊥EF,求证：BF=EF

18、如图，正方形ABCD边长为1，E是CD的中点，点F在BC边上移动.试判断当点F移到什么位置时，AE是∠DAF的平分线？

19、如图，在正方形ABCD中，E是DB延长线上的一点，且∠ECB=15°.求证：EC=BD

四边形综合培优题
1、以△ABC的边AB、AC、BC为边作等边△ABD、等边△ ACE和等边△BCF。
（1）求证四边形ADFE是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；
（4）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形．

2、如图：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD于点F．
①求证OE=OF
②如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

3、如图，在梯形ABCD中，∠A+∠B=90°，AB//CD,M,N分别是AB,CD的中点，求证：MN=.

4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
A
B
C
D
M
N
E

（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

图1
A
B
C
F
D
E
5、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求∠BDG的度数
图2
A
B
C
F
D
E
G
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

图3
A
D
B
C
E
F
G

6、已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE＝PD．
（1）如图1，当点P在对角线AC上时，观察、猜想PE与PB有怎样的关？并证明你的结论。
A
B
P
D
C
E
图1
（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，
并判断此时PE与PB有怎样的关系？并证明你的结论。

A
B
P
D
C
E
图2

A
B
P
D
C
图3

A
B
C
D
G
E
F
7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF．
（1）求EG的长； （2）求证：CF＝AB＋AF．（用两种方法证明）

A
B
C
D
G
E
F

8、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状并说明理由；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），
① 试用含的代数式表示∠HAE；② 求证：HE=HG；③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

9、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°
（1）求点E到BC边的距离；
(2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的形状是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积和周长；若变化，请说明理由．

10、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．
D
A
C
B
(第10题)

D
A
C
B
(备用图)

11、如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
C
O
E
D
B
A
R
P
Q
C
O
E
D
B
A
（第11题图2）
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；

（第11题图1）
1

12已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
（1）、当绕点旋转到BM=DN时如（图1），BM、DN与MN之间的数量关系是______________________;(不需说明)
（2）、当绕点旋转到时如（图2），线段和之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以说明．
（3）、当绕点旋转到如（图3）的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

13、如图：Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，AB=4，将一个300角的顶点P放在AB边上滑动，保持300角的一边平行于BC，且交边AC于点E，300角的另一边交射线BC于点D，连ED
A
B
C
P
E
D
300
（图1）
（1）如图1，当四边形PBDE为等腰梯形时，求AP的长；
（2）四边形PBDE有可能为平行四边形吗？若可能，求出PBDE为平行四边形时AP的长；
若不可能，说明理由；
（3）若D在BC边上（不与B、C重合），试写出线段AP取值范围。

（备用图）
A
B
C

14、正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

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