特殊的平行四边形与圆专题+答案.doc

1．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不对

2．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE，连接BE，则∠CBE等于 45°.

3．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝135°

4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°<α<90°)．若∠1＝110°，则∠α＝ 20°.

5.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( C )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

6.如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( C )
A.100° B.80° C.50° D.40°
7.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°,
∠CBD 的度数是( C )
A.40° B.50° C.70° D.110°
8.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值.

连接BD,则∴AB是直径,∴∠ADB=90°.
∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.
在Rt△PBD中,cos∠BPD==,
设PD=3x,PB=4x,
则BD=,
∴tan∠BPD=.

一、特殊的平行四边形动点问题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一动点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D运动到AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D运动到AB的中点，则∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由．

解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD
(2)四边形BECD是菱形，理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∵四边形BECD是菱形，∴∠DBE＝2∠ABC＝90°，∴菱形BECD是正方形．故当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形

2．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
(第3题)
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.
∵EF垂直平分AC，垂足为点O，∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COF.
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴▱AFCE为菱形．
设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，
在Rt△ABF中，AB＝4 cm，
由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，
∴AF＝5 cm　

(2)显然，当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理：P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，
∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.
∴5t＝12－4t，解得t＝.
∴以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝

3.△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点，连接AD，PD，PQ，DQ.
(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形？请说明理由．

4.. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．
(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？

解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.
∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，
∴AE＝CF.
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．
∵运动时间为t，
∴AE＝CF＝2t，
∴EF＝20－4t＝12，
∴t＝2；
当点E在OC上，点F在OA上时，
EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，
∴t＝8.
因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．
二、圆相关的证明与求值问题

1.如图,AB是⊙O的直径,且AB=6,C是⊙O上一点,D是BCˆ的中点，过点D作⊙O的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E. F，连接AD.

(1)求证：AF⊥EF；
(2)填空：
①当BE=___时，点C是AF的中点；
①当BE=___时，四边形OBDC是菱形.

2.如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC.

(1)求证：GC是⊙F的切线；
(2)填空：
①若∠BAD=45∘,AB=，则△CDG的面积为___.
②当∠GCD的度数为___时，四边形EFCD是菱形.
3.已知：如图,AB为O的直径,点P是O上不与A,B重合的一个动点,延长PA到C,使AC=AP,点D为O上一点,且满足AD∥PB，射线CD交PB延长线于点E.

(1)求证：△PAB≌△ACD；
(2)填空：
①若AB=6，则四边形ABED的最大面积为___；
②若射线CD与O的另一个交点为F，则当∠PAB的度数为___时，以O，A，D，F为顶点的四边形为菱形.

4.如图，在中，，点D是AC的中点，且,过点作，使圆心在上，与交于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若,求的直径．

5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．

（1）求证：⊙O与BC相切；
（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径.

6. 如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．

7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，AE=6，求BF的长.

8.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．

解：（1）证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A，
∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，
∵DE与⊙O相切，∴∠BDE=∠BCD，
∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF，
∵∠AFC=∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，
∴FH=BH=BF=1，则FH=1，∴HD==3，
在Rt△ODH中，+=，即+=，
∴OD=5，∴⊙O的半径是5．

9.已知，如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PA，且∠EDB=∠EPA．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PA=6，DA=8，求⊙O的半径．

（1）证明：∵∠EDB=∠EPA，DE⊥PO，∴∠EDO=∠APO，∠DEO=90°．
又∵∠POA=∠DOE，∴△APO～△EDO，∴∠PAO=∠DEO=90°．
又∵OA是半径，∴PA是⊙O的切线；
（2）在Rt△PAD中，若PA=6，DA=8，根据勾股定理得：PD==10，
∵PD与PA都为圆的切线，∴PC=PA=6，∴DC=PD-PC=10-6=4，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8-r，
根据勾股定理得：（8-r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．

10.如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．

（1）连接AC，
∵点CD是半圆O的三等分点，∴==，
∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行），∴∠OCE=∠E，
∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；
（2）四边形AOCD为菱形．
理由是：
∵=，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形．
11.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求弦AB的长。

（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；
（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得+=．
即+=25，
化简得-11x+18=0，解得=2，=9．
∵CD=6-x大于0，故x=9舍去，∴x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6．
12.AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD•OC=8，求⊙O半径r．

试题解析：①证明：连接OD．
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，∴∠BOC=∠COD．
∵在△OBC与△ODC中，
，
∴△OBC≌△ODC（SAS），∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴DC是⊙O的切线；

②连接BD．
∵在△ADB与△ODC中，，
∴△ADB∽△ODC，∴AD：OD=AB：OC，∴AD•OC=OD•AB=r•2r=2r2，即2r2=8，
故r=2．

13、如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，E为AB延长线上的点，作OD∥BC交EC的延长线于点D，连接AD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若DE是⊙O的切线，CD=3，CE=2，求tanE和cos∠ABC的值．

（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∵OD∥BC，∴OD⊥AC，∴OD平分AC，即OD垂直平分AC，∴AD=CD；
（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，

∵BC∥OD，∴=，即=，解得BE=r，
∵DE为切线，∴OC⊥DE，∴∠OCD=∠OCE=90°，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD，∴∠OAD=90°，
在Rt△ADE中，∵AD=AC=3，DE=DC+CE=5，∴AE==4，∴tanE==，
∵OD∥BC，∴∠ABC=∠AOD，
在Rt△AOD中，OD===，∴cos∠AOD===，
∴cos∠ABC=
答：tanE=，cos∠ABC=．

14.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长．

15.如图,AB、CD为O的直径,弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C.

(1)求证：PE是O的切线；
(2)求证：ED平分∠BEP；
(3)若O的半径为5，CF=2EF，求PD的长。