第14讲-端点恒成立与端点不成立问题(解析版).docx

第14讲 端点恒成立与端点不成立问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2021•天津二模）已知函数．
（Ⅰ）当时，求在点，处的切线方程；
（Ⅱ）若，求函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的，在，上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
（1分）
，，
函数在点，处的切线方程为．（2分）
（Ⅱ）由题意，．（3分）
（ⅰ）当时，，令，得；，得，
所以在单调递增，单调递减；（4分）
（ⅱ）当时，，
令，得；，得或，（5分）
所以在单调递增，在，单调递减，（6分）
（Ⅲ）令（a），，，当，时，，（a）单调递增，则，（7分）
则（a）对，恒成立等价于（a），即，对，恒成立．（8分）
（ⅰ）当时，，，，此时，
不合题意，舍去．（9分）
（ⅱ）当时，令，，，
则，（10分）
其中，，，
令，，，则在区间，上单调递增，（11分）
①当时，，所以对，，，则在，上单调递增，
故对任意，，，即不等式在，上恒成立，满足题意．（12分）
②当时，由，（1）及在区间，上单调递增，
所以存在唯一的使得，且时，．
即，所以在区间上单调递减，则时，，
即，不符合题意．（13分）
综上所述，．（14分）
2．（2021春•沈阳期末）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若当时，有恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，则，
①当时，，则在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，当时，，则在，单调递增，
所以，
因为，，则在，上恒成立，
所以当时，在，上恒成立，
令，
则，
故，
所以在，上单调递增，
又，
①当时，，
则在，上单调递增，
故，
所以；
②当时，，
因为在，上单调递增，且，
故存在，，使得，
且，
即，所以，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为，．
3．（2021•怀化一模）已知函数．
（1）若，函数的极大值为，求实数的值；
（2）若对任意的，，在，上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的导数为

．
①当时，，
令，得；，得，
所以在单调递增单调递减．
所以的极大值为，不合题意．
②当时，，
令，得；令，得或；
所以在单调递增，，单调递减．
所以的极大值为，得．
综上所述．
（2）令（a），，
当时，，
故（a）于，上递增，
（a），
原问题于，上恒成立．
①当时，，，，
此时，不合题意．
②当时，令，，
则，其中，，
令，，则在区间，上单调递增，
（ⅰ）时，，
所以对，，从而在，上单调递增，
所以对任意，，
即不等式，于，上恒成立．
（ⅱ）时，由，（1）及在区间，上单调递增，
所以存在唯一的，使得，且时，．
从而时，，所以在区间上单调递减，
则时，，即，不符合题意．
综上所述，．
4．（2021秋•河南月考）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，且当时恒成立，求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）因为当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
令，，，
令，，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
因为，当时，，，当，，，
所以在上，，单调递减，在时，，单调递增，
所以，在上，（1），所以，
所以的最大值为．
5．（2021秋•许昌月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，
令，
当，，由，解得，
由，解得，
当，，
令，得，，
当时，，解得；，解得，
当，即时，由，解得，由，．
由时，即时，恒成立；
当时，即时，由，解得；由，解得．
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
（2）因为，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
设，，
令，．
因为，所以，所以在上单调递减，
所以（1），所以，所以在上单调递减，
所以（1），所以，
所以的取值范围为，．
6．（2021秋•玉溪月考）已知函数f（x）＝x2﹣a（x﹣1）﹣lnx﹣1．
（1）若a＝1，求函数f（x）的最小值；
（2）若x＞0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣x﹣lnx，
f′（x）＝2x﹣1﹣＝＝，
令f′（x）＝0⇒x＝1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，1）单调递减
当x＞1时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝0................（4分）
（2）f（x）＝x2﹣a（x﹣1）﹣lnx﹣1（x＞0），
f′（x）＝2x﹣a﹣＝，
设r（x）＝2x2﹣ax﹣1，因为△＝a2+8＞0，
故存在x0＞0，有r（x0）＝2﹣ax0﹣1＝0................（8分）
且f′（x）在（0，x0）时f′（x）＜0，在（x0，+∞）时f′（x）＞0，
则f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，
所以函数f（x）在x＝x0处取到最小值，................（10分）
又因为f（1）＝0，要使得f（x）≥0恒成立，
只有x0＝1才能满足．故代入2﹣ax0﹣1＝0得a＝1，
故所求a＝1.................（12分）
7．（2021秋•巴中月考）已知，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
则，
①当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
②当时，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当且时，恒成立，
即对于恒成立，
等价于对于恒成立，
令，
则问题转化为对于恒成立，
因为对于恒成立，
所以在上单调递增，
则对于恒成立，等价于对于恒成立，
故对于恒成立，
令，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（1），
则，
所以的取值范围为．
8．（2021秋•河南月考）已知函数．
（1）设是的导函数，求在，上的最小值；
（2）今，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，令，
所以对，恒成立，所以在，上为增函数，
所以，
所以在，上的最小值为1，
（2）当，时，由得，取对，恒成立，
所以对，恒成立，即函数的图象在的上方，
当，时，由得，取对，恒成立，
所以对，恒成立，即函数的图象在的下方，
在的切线斜率为，
当时，对，恒成立，
令，，由（1）知的最小值是1，所以的最小值是0，
所以是增函数，最小值在时取得，且，
所以时对，恒成立，
同理可证时，对，恒成立，
根据函数图象知．
故实数的取值范围为，．

9．（2021秋•南宁月考）已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）设，若恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1），
当时，，单调递增，
当时，在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减，
（2），
若恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
令，
，
令，
，
，
令，
，
所以在上单调递增，
又（1），且时，，
所以在上，，，单调递减，
在，，，单调递增，
所以（1），
所以在上单调递增，
又（1），
所以在上，，，单调递减，
在，，，单调递增，
所以（1），
所以，
所以的取值范围为，．
10．（2021秋•广东月考）已知函数且．
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）由于二次函数的开口向上，且在单调递减，的定义域为，，且在定义域上单调递增，
于是由复合函数的单调性可知，实数应满足，解得，
实数的取值范围为；
（2），当且仅当时等号成立，
，解得，
实数的取值范围为，．
11．（2021秋•吴中区校级月考）设函数．
（1）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，恒成立；
当时，为开口向上的抛物线，原不等式不恒成立；
当时，只需△，即，解得．
综上可得，的取值范围是，；
（2）对于，，
即为即，
令，，
即有，因为，当且仅当时取得等号，
所以，即，
所以的取值范围是，．
12．（2021秋•重庆月考）已知函数，为函数的导函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域是，
，
当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，的单调递减区间为，递增区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为
当时，的递增区间为；
当时，的递增区间为，，递减区间为．
（2）令，
恒成立，
恒成立，
即，恒成立，
①当时，有，令，
，
在单调递减，当时，，
；
②当时，恒成立，；
③当时，，有，
，由得，
时，，单调递减，
，时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，
；
综上所述，．
即的取值范围为，．
13．（2021秋•江西月考）已知函数，．
（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；
（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值．
【解答】解：（1）的定义域为，且，
方程，△，
①当△，即时，在上单调递增，故极值点个数为0；
②当△，即时，
当时，在，上单调递增，
在上单调递减，故极值点个数为2，
综上可知，当时，极值点个数为0，当时，极值点个数为2；
（2）当，，，
令，则，
所以在上单调递增，
而（3），（4），所以存在，使得，即，
故，且时，，，，，
即在上单调递减，在，上单调递增，
所以的最小值为，
所以，
因为，，即的最大值为3．
所以，的最大值为3．
14．（2021秋•浙江月考）已知函数．
（Ⅰ）若的图象在处的切线的斜率为，求直线的方程；
（Ⅱ）若对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
（1），，
，解得，
（1），切点为，斜率为，
切线的方程为；
（Ⅱ）法对于任意的，，恒成立，
，解得．
又当时，，
对于任意的，，恒成立，等价于在，上恒成立，
令，，，
则只需即可．
，且，
在上单调递减，在上单调递增，
，（2），
由，（2），解得，．
法对于任意的，，恒成立，
，解得．
由，
，
，，
在上单调递减，在，上单调递增，
，（2），
要使恒成立，只需即可，即，，即，．
法，，恒成立，且（2），解得．
恒成立，
由，知，，
所以两边平方得：，
即对任意的，恒成立，
，
当时，，则，即，．
15．（2021秋•龙岩月考）已知函数且为常数）．
（Ⅰ）讨论函数的极值点个数；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知：的定义域为，，
令，在上恒成立，
函数在上单调递增，且值域为，
①当时，在上恒成立，即，故在上单调递增，无极值点；
②当时，方程有唯一解为，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
是函数的极小值点，没有极大值点．
综上，当时，无极值点，
当时，函数只有1个极值点；
（Ⅱ）不等式对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
对任意的恒成立
记，则，
记，则，易知在上恒成立，
在上单调递增，且，（1），
存在，使得，且当时，即，
函数在上单调递减；
当，时，即，故在，上单调递增，
，即，
又，故，即，即，
由（Ⅰ）知函数在上单调递增，
，，
．综上，实数的取值范围是，．
16．（2021秋•湘潭月考）已知为自然对数的底数，函数，，．
（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值．
【解答】（1）因为的图象与的图象相切，设切点为，，
又，所以，解得，．
所以；
（2）因为等价于，令，
当时，在上为增函数，且当时，，所以不满足题意；
当时，对任意的恒成立，
所以，故，此时的最大值为0；
当时，因为，由，得，
又当时，，当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，有最小值，
所以，即，
所以，
令，则，
所以当时，为增函数，当时，为减函数，
所以（e），故，所以的最大值为；
综上所述，的最大值为．
17．（2021秋•丹徒区校级月考）已知．
（1）不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）当，对任意，，，都有恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）依题意，对任意，恒成立，则△，解得，
实数的取值范围为；
（2）当时，，即为，
由于为开口向上，对称轴为的二次函数，而对任意，，，都有恒成立，
于是只需即可，即，
，
令，则，
令，则，
由双勾函数的性质可知，在，上单调递增，故（2），
，即实数的取值范围为，．
18．（2021秋•湖北月考）已知函数，，函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）记，对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）且，
令，则，，
所以，
所以，
所以的单调递增区间为，
当，，
所以的单调递减区间为．
（2），且，
，令，，
令，，所以在上单调递增，
①若，，所以在，上单调递增，
所以，所以恒成立．
②若，，，
所以存在，，使，且，，
，，所以，不合题意．
综上，的取值范围为，．
19．（2021秋•河北月考）已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若对任意，不等式恒成立，求正整数的最小值．
【解答】解：（1）当时，，导数为，
所以切线的斜率为（1），又（1），
所以切线的方程为，即为；
（2）当时，，整理可得，
令，则，
令，则，由，可得，
当时，，递减，
因为（1），，
所以在存在一个零点，
此时，即，
所以当时，，即，递增；
当时，，即，递减，
所以有最大值，所以，
因为，所以正整数的最小值为1．
20．（2021秋•资中县校级月考）已知函数，．
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由函数在上单调递减，所以在上恒成立；
等价于在上恒成立，设，即在的最小值，
则，，得，单调递减；
，得，单调递增；
的最小值为（1），所以，
所以的取值范围，；
（2）令，由，得，
当时，，令，
则，
令，，
所以在上单调递增，
因为（1），所以时，，单调递减；
时，，单调递增，
故（1），满足条件；
综上可知，的取值范围，．
21．（2021•上城区校级开学）已知，．
（Ⅰ）求的最小值．
（Ⅱ）设，若当时，有三个不同的零点，求的最小值．
（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）令得，，
易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
的最小值为；
（Ⅱ）依题意，，
令，则，
令，则，
当或时，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，从而作出函数的草图如下，

由图象可知，要使有三个不同的实数根，则，
的最小值为；
（Ⅲ）等价于，即，
，
构造函数，则，
在上单调递增，
又考虑到，则，从而，
实数的取值范围为，．

22．（2021秋•渝中区校级月考）已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）当时，不等式对于恒成立，求实数的值．
【解答】解：（1）因为，所以，
函数在处取得极值，
，，
，
检验：当时，，

，
1

0

0

单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
在处取极值，符合题意．
（2）当时，，由题意知时，，
当时，，
令，因为为上的增函数，且的值域为，，
故问题转化为“，恒成立”，
不妨设，所以，
①当时，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，这与题意不符，
②当时，令，解得，
当时，，单调递减，
所以，
所以，所以，
记，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以（1），
又因为，即，所以．
23．（2021秋•青铜峡市校级月考）已知函数为常数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数定义域是，，
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，递减，时，，递增．
综上，时，在上是增函数；
时，在上是减函数，在上是增函数；
（2）即在，上恒成立，则，，
设，，则，
时，，递增，时，，递减，
（1），
所以，即实数的取值范围为，．
24．（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知函数，，．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
则，
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减．
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，．
（2）对任意都有恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，
则，
①当时，在上恒成立，则单调递减，
则只要即可，解得，
又，故无解；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以只要即可，解得，
又，
所以；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则，解得，
又，
所以．
综上所述，实数的取值范围为．
25．（2021春•玉林期中）已知函数．
（1）讨论在定义域内的极值点的个数；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得，
设，令，即方程，△，
当时，△，则，此时没有极值点；
当时，△，设方程两根为，，不妨设，
则，，则，
当或时，；当时，，
此时，是函数的两个极值点，
当时，△，设方程两根为，，
则，，所以，
所以当时，，故没有极值点，
综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点．
（2）解：由题，在上恒成立，
则在上恒成立，在上恒成立，
设，则，
因为，当时，，则单调递减；当，，则单调递增；所以（1），所以．
26．（2021春•湖南期中）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）函数，证明：当时，恒成立．
【解答】解：（1），（1分）
当时，，的单调递增区间为，（2分）
当时，令，令，（3分）
的单调递增区间为，单调递减区间为．（4分）
（2）．
方法一：直接求导，令，（5分）
，令，令，
，（6分）
，，（7分）
令，（8分）
下面证明，
即证，令，（9分）
则，在递减，
，，（11分）
当时，恒成立．（12分）
方法二：，要证，只需证，（5分）
令，（6分）
令，（7分）
，，（8分）
证明方式，，，，（9分）
，（10分），
，（11分）
当时，恒成立．（12分）
证明方式下面只需证明，令，
（a）在递减，（10分）
（a）（1），，（11分）
当时，恒成立．（12分）
27．（2021春•蕲春县期中）已知函数的图象在点，（1）处的切线方程为．
（1）求，的值．
（2）当时，证明：对恒成立．
【解答】（1）解：因为，
所以，
解得，
则（1），解得，
，；
（2）证明：因为，所以要证对恒成立，
只需证对恒成立．
设函数，
则．
因为，所以，
所以在上单调递减，
从而（1），
则对恒成立，
故当时，对恒成立．
28．（2021春•宁德期中）已知函数，，其中，为的导数．
（1）若为定义域内的单调递减函数，求的取值范围；
（2）当时，记，求证：当时，恒成立．
【解答】解：（1）因为，所以，
要使为定义域内的单调减函数，需满足在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
由（1）且函数在上单调递减，又，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
所以，
即当时，在定义域内单调减函数，
综上，的取值范围是．
（2）证明：当时，，，要证恒成立，
即证恒成立，
当时，，而，所以成立，
当时，令，则，
记，则，
所以当时，单调递增，，即，
所以在上单调递增，所以，
即有成立，
综上，对任意，恒有成立．
29．（2021•金华模拟）已知函数．其中．
（Ⅰ）若，证明：；
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围．
【解答】证：函数的定义域，，
令，则，
当时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，故（1），
又，所以；
解：若在上恒成立，则在上恒成立，
即，
令，，，
由可得，
，
当时，，在上单调递减，故（1），此时不成立，
当时，由可得，（舍，
当即时，在上单调递减，在，上单调递增，
（1），则在，不成立，
当即时，在上单调递减，在，上单调递增，
令，
则，
令，即，
，
故在上单调递增，（1），则，
综上，的范围．
30．（2021春•淮安期中）已知函数，为常数）．
（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；
（2）若，且，证明：；
（3）若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），则（1）且（1）．
所以函数在处的切线方程为：，
从而（1），即．
（2）证明：由题意知：设函数，则．
设，从而对任意，恒成立，
所以（1），即，
因此函数在，上单调递减，
即（1），
所以当时，成立．
（3）设函数，
从而对任意，，不等式（1）恒成立．
又，
当，即恒成立时，
函数单调递减．
设，则，
所以（1），即，符合题意；
当时，恒成立，此时函数单调递增．
于是，不等式（1）对任意，恒成立，不符合题意；
当时，设，
则
当时，，此时单调递增，
所以（1），
故当时，函数单调递增．
于是当时，成立，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为：．