导数在研究函数中的应用(含标准答案).doc

导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
【自主归纳，自我查验】
一、自主归纳
1．利用导函数判断函数单调性问题
函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系
(1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的．
(2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的．
(3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x)．
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调区间．
3．函数的极大值
在包含的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____点的函数值，称点为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f()为函数的极大值．
4．函数的极小值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f()为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点．
5．函数的最值与导数
1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f()．
2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f()．
二、自我查验
1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R
2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．
3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f　′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
5.函数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【典型例题】
考点一　利用导数研究函数的单调性
【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

【变式训练1】已知．
（1）若时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求函数的单调区间．

考点二　利用导函数研究函数极值问题
【例2】已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间.

【变式训练2】(2011·安徽)设f(x)＝，其中a为正实数.当a＝时，求f(x)的极值点；

考点三　利用导函数求函数最值问题
【例3】已知为实数，.
（1）求导数；
（2）若，求在上的最大值和最小值.

【应用体验】
1.函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
2.函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3.函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
4.设函数，则（ ）
A．为的极大值点
B．为的极小值点
C．为的极大值点
D．为的极小值点
5．函数的极大值为，那么的值是（ ）
A． B．
C． D．
【复习与巩固】
A组 夯实基础
一、选择题
1．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）

A． B．
C． D．
2.函数在处取得极值，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3.函数（为自然对数的底数）在区间上的最大值是（ ）
A.1＋ B.1
C.e＋1 D.e－1

二、填空题
4.若函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是________________．
5.若函数在处取得极值，则的值为_________.
6.函数在上的最小值是_____________.
三、解答题
7.已知函数求函数的单调区间

8.已知函数．
（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，求函数的极小值.

B组 能力提升
一、选择题
1．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.若函数在上有最大值3，则该函数在上的最小值是（ ）
A． B．0
C． D．1

二、 填空题
4．已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是________．
6．若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x－2ln x－＋1，g(x)＝ex(2ln x－x)．
(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；(2)求g(x)的最大值．

8．设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)当k∈[0，＋∞)时，证明函数f(x)在R上有且只有一个零点．

《导数在研究函数中的应用》标准答案
一． 自主归纳
1.（1）f′(x)>0 （2）f′(x)<0 （3）f′(x)＝0 3. 小于
4. 大于 极值
5.不超过 不小于
二． 自我查验
1.解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．
答案：A
2.解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，
∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.
又∵f(x)在R上是单调增函数，∴f′(x)≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.
答案：
3.解析：导函数f　′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.
答案：A
4.解析：f　′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f　′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a＋3＝0，解得a＝5.
答案：D
5..A【解析】，令，当时函数单调递增，当时函数单调递减，，故选A.
三． 典型例题
【例题1】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在单调递增，
在单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0.
于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
【变式训练1】（1）当时，，∴，
∴切线斜率为，又，∴切点坐标为，∴所求切线方程为，即．
（2），由，得或.由，得或，由，得
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和．
【例题2】（1）当时，，，
令，解得，所以函数在上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减；
所以当时取极大值，极大值为，无极小值.
（2）函数的定义域为，.
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，令，解得，所以函数在上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.
【变式训练2】解　对f(x)求导得
f′(x)＝ex·. 当a＝时，若f′(x)＝0， 则4x2－8x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝.结合①，可知
x
(－∞，)

(，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点.
【例题3】1）.
（2）由得，
故，
则，
由，，
故，.
【变式训练3】1）当时，函数，在上单调递增，当时，，令，得，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
（2）由（1）可知，当时，函数，不符合题意.
当时，在上单调递减，在上单调递增.
①当，即时，最小值为.
解，得，符合题意.
②当，即时，最小值为，
解，得，不符合题意.
综上，.
应用体验：
1.D
【解析】函数的定义域为，令，解得，又，所以，故选D.
考点：求函数的单调区间.
2.A
【解析】导数为，令，得，所以减区间为.
考点：利用导数求函数的单调区间．
3.C
【解析】，令，解得，所以函数的单调增区间为．故选C．
4.【解析】，由得，又函数定义域为，当时，，递减，当时，，递增，因此是函数的极小值点．故选D．
考点：函数的极值点．

5.D
【解析】，令
可得，容易判断极大值为.
考点：函数的导数与极值.
复习与巩固
A组
1.C
【解析】由图象可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，且，故．
考点：利用导数求函数单调性并比较大小．

2.B
【解析】，由题意可得，.故选B.
考点：极值点问题.

3.D
【解析】，令得.
又且＝，所以故选D.
考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.

4.
【解析】由题意得在上恒成立，则，即恒成立.令，则，因为为上的二次函数，所以，则的取值范围是.
5.0
【解析】，
由题意得．
考点：导数与极值．
6.
【解析】因为，，所以在单调递减，在单调递增，从而函数在上的最小值是.
考点：函数的最值与导数.
7.【解析】的定义域为，
，令，则或（舍去）.
∴当时，，递减，当时，，递增，
∴的递减区间是，递增区间是．
考点：利用导数求函数的单调区间．
8.（1）（2）
【解析】（1）函数，则，由题意可得在上恒成立，∴，
∵，时，函数取最小值，，
（2）当时，，，
令，得，解得或（舍去），即.
当时，，当时，，
∴的极小值为.
B组
1.D
【解析】因为函数在区间上不单调，所以
在区间上有零点，
由，得，则得，故选D．
考点：函数的单调性与导数的关系．
2.C
【解析】，①当时，，所以在上单调递增，在内无极值，所以符合题意；②当时，令，即，解得，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，当时原函数取得极大值，当时，原函数取得极小值，要满足原函数在内无极值，需满足，解得.综合①②得，的取值范围为，故选C.
考点：导函数，分类讨论思想.
3.C
【解析】，当时，或，当时，，所以在区间上函数递增，在区间上函数递减，所以当时，函数取得最大值，则，所以，，所以最小值是．
考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.
4.解析：由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，∵max＝，∴2a≥，即a≥.
答案：
5.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0得x1＝，x2＝a.又∵x1<2<x2，∴∴2<a<6.
答案：(2,6)
6.解析：∵f(x)＝x2－ex－ax，∴f′(x)＝2x－ex－a，
∵函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，
∴f′(x)＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln 2，则当x<ln 2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x>ln 2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴当x＝ln 2时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2，∴a≤2ln 2－2.
答案：(－∞，2ln 2－2)
7.解：(1)由题意得x>0，f′(x)＝1－＋.
由函数f(x)在定义域上是增函数，得f′(x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1(x>0)．
因为－(x－1)2＋1≤1(当x＝1时，取等号)，所以a的取值范围是[1，＋∞)．
(2)g′(x)＝ex，由(1)得a＝2时，f(x)＝x－2ln x－＋1，
且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)＝0，
所以，当x∈(0,1)时，f(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.
所以，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.
故当x＝1时，g(x)取得最大值－e.
8.解：(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

由表可知，函数f(x)的单调递减区间为[0，ln 2]，单调递增区间为(－∞，0]，[ln 2，＋∞)．
f(x)的极大值为f(0)＝－1，极小值为f(ln 2)＝
－(ln 2)2＋2ln 2－2.
(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)，
当x<1时，f(x)<0，所以f(x)在(－∞，1)上无零点．
故只需证明函数f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．
①若k∈，则当x≥1时，f′(x)≥0，f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
∵f(1)＝－k≤0，f(2)＝e2－4k≥e2－2e>0，
∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．
②若k∈，则f(x)在[1，ln 2k]上单调递减，在[ln 2k，＋∞)上单调递增．
f(1)＝－k<0，f(k＋1)＝kek＋1－k(k＋1)2＝k[ek＋1－(k＋1)2]，
令g(t)＝et－t2，t＝k＋1>2，则g′(t)＝et－2t，
g″(t)＝et－2，
∵t>2，∴g″(t)>0，g′(t)在(2，＋∞)上单调递增．
∴g′(t)>g′(2)＝e2－4>0，∴g(t)在(2，＋∞)上单调递增．
∴g(t)>g(2)＝e2－4>0.
∴f(k＋1)>0.
∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，当k∈[0，＋∞)时，f(x)在R上有且只有一个零点．
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