导数与微分习题及答案.doc

第二章 导数与微分
(A)
1．设函数，当自变量由改变到时，相应函数的改变量( )
A． B． C． D．
2．设在处可，则( )
A． B． C． D．
3．函数在点连续，是在点可导的 ( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设函数是可导的，且，则( )
A． B． C． D．
5．若函数在点连续，则在点( )
A．左导数存在； B．右导数存在； C．左右导数都存在 D．有定义
6．在点处的导数是( )
A．1 B．0 C．-1 D．不存在
7．曲线在点处切线斜率等于( )
A．8 B．12 C．-6 D．6
8．设且二阶可导，则 ( )
A． B． C． D．
9．若 在处可导，则，的值应为( )
A．， B． ，
C．， D．，
10．若函数在点处有导数，而函数在点处没有导数，则，在处( )
A．一定都没有导数 B．一定都有导数
C．恰有一个有导数 D．至少一个有导数
11．函数与在处都没有导数，则，在处( )
A．一定都没有导数 B．一定都有导数
C．至少一个有导数 D．至多一个有导数
12．已知，在处可导，则( )
A．，都必须可导 B．必须可导
C．必须可导 D．和都不一定可导
13．，则( )
A． B． C． D．
14．设在点处为二阶可导，则( )
A． B． C． D．
15．设在内连续，且，则在点处( )
A．的极限存在，且可导 B．的极限存在，但不一定可导
C．的极限不存在 D．的极限不一定存在
16．设在点处可导，则 。
17．函数导数不存在的点 。
18．设函数，则 。
19．设函数由方程所确定，则 。
20．曲线在点处的切线方程 。
21．若，则 。
22．若函数，则 。
23．若可导，，则 。
24．曲线在点处的切线方程是 。
25．讨论下列函数在处的连续性与可导性：
(1)；(2)
26．已知，求。
27．设，求及。
28．设且存在，求。
29．已知，求。
30．已知，求。
31．设，求。
32．设，求。
33．设若存在，求。

(B)
1．设函数在点0可导，且，则 ( )
A． B． C．不存在 D．
2．若，则 ( )
A．-3 B．6 C．-9 D．-12
3．若函数在点可导，则( )
A． B． C． D．
4．设则在处( )
A．不连续 B．连续，但不可导
C．连续，且有一阶导数 D．有任意阶导数
5．函数在处( )
A．不连续 B．连续不可导
C．连续且仅有一阶导数 D．连续且有二阶导数
6．要使函数在处的导函数连续，则应取何值？ ( )
A． B． C． D．
7．设函数有连续的二阶导数，且，，，则极限等于( )
A．1 B．0 C．2 D．-1
8．设在的某领域内有定义，，且当时，与为等价无穷小量，则( )
A． B．
C．不存在 D．不能断定的存在性
9．设为奇函数，且，则( )
A．-2 B． C．2 D．
10．设函数，则( )
A．0 B．24 C．36 D．48
11．已知时，是的等价无穷小量，则 ( )
A．-2 B．-1 C．2 D．不存在
12．若在可导，则在处( )
A．必可导 B．连续但不一定可导
C．一定不可导 D．不连续
13．若可导，且，则 。
14．设是由方程(，常数)所定义的函数，则 。
15．若在处可导，则 。
16．若为二阶可微函数，则的 。
17．已知则 ， 。
18．已知，则 。 。
19．若，则 。
20．若，则 ， ， 。
21．已知，求。
22．设，其中在处连续，求。
23．如果为偶函数，且存在，证明。
24．设对任意的实数、有，且，试证。
25．已知，求。
26．已知，求。
27．设，求。
28．设，求。
29．设，求，。
30．函数由方程确定，求。
(C)
1．可微的周期函数其导数( )
A．一定仍是周期函数，且周期相同
B．一定仍是周期函数，但周期不一定相同
C．一定不是周期函数 D．不一定是周期函数
2．若为内的可导奇函数，则( )
A．必有内的奇函数 B．必为内的偶函数
C．必为内的非奇非偶函数 D．可能为奇函数，也可能为偶函数
3．设()且，则在处 ( )
A．令当时才可微
B．在任何条件下都可微 C．当且仅当时才可微
D．因为在处无定义，所以不可微
4．设，而在处连续但不可导，则在处 ( )
A．连续但不可导 B．可能可导，也可能不可导
C．仅有一阶导数 D．可能有二阶导数
5．若为可微分函数，当时，则在点处的是关于的( )
A．高阶无穷小 B．等价无穷小 C．低价无穷小 D．不可比较
6．函数在某点处有增量，对应的函数增量的主部等于0.8，则( )
A．4 B．0.16 C．4 D．1.6
7．，其中，则必有( )
A． B． C． D．
8．设，则( )
A．， B．，
C．， D．，
9．设则在点处的( )
A．左、右导数都存在 B．左导数存在，但右导数不存在
C．左导数不存在，但右导数存在 D．左、右导数都不存在
10．设在内可导，且对任意，，当时，都有，则( )
A．对任意， B．对任意，
C．函数单调增加 D．函数单调增加
11．设可导，，若使在处可导，则必有( )
A． B． C． D．
12．设当时，是比高阶的无穷小，则( )
A．， B．，
C．， D．，
13．设函数在区间内有定义，若当时，恒有，则是的( )
A．间断点 B．连续而不可导点
C．可导的点，且 D．可导的点，且
14．设时，与是同阶无穷小，则为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
15．函数不可导点的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
16．已知函数在任意点处的增量且当时，是的高阶无穷小，，则( )
A． B． C． D．
17．设其中是有界函数，则在处( )
A．极限不存在 B．极限存在，但不连续
C．连续，但不可导 D．可导
18．在区间内，方程( )
A．无实根 B．有且仅有一个实根
C．有且仅有两个实根 D．有无穷多个实根
19．，则 。
20．若是可导函数，且，，则的反函数为自变量取4时的导数值为 。
21．若在点处且有连续的一阶导数，且，则 。
22．设，其中在点处连续，且，则 。
23．设则当的值为 时，在处连续，当的值为 时，在可导。
24．已知则 ， 。
25．若，则 。
26．，在上连续，则 。
27． 。
28．设，则 。
29．曲线在处的切线方程为 。
30．设，则 。
31．设，则 。
32．设，则 。
33． 。
34． 。
35．曲线在点(0,1)处的法线方程为 。
36．设函数由方程确定，则 。
37． 。
38．设且存在，求。
39．是由方程组所确定的隐函数，求。
40．设，其中具有二阶导数，且，求。
41．设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求。
42．设，且，计算和。
43．设，求。
44．若，求。
45．验证函数满足关系式。
46．设曲线的参数方程是，求曲线上对应于的点的切线方程。
47．设，为了使函数于点处连续而且可微，应当如何选取系数和？
48．设，其中函数在为左方可微分的，应当如何选取系数和，使函数在点处连续且可微分。
49．设，求。
50．设，求，。
51．求极限。
52．设满足，其中、、都是常数，且
(1) 证明
(2) 求，
53．设函数，
(1) 写出的反函数的表达式；
(2) 是否有间点、不可导点，若有指出这些点。
第二章 导数与微分
(A)
1．设函数，当自变量由改变到时，相应函数的改变量( C )
A． B． C． D．
2．设在处可，则( A )
A． B． C． D．
3．函数在点连续，是在点可导的 ( A )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设函数是可导的，且，则( C )
A． B． C． D．
5．若函数在点连续，则在点( D )
A．左导数存在； B．右导数存在； C．左右导数都存在 D．有定义
6．在点处的导数是( D )
A．1 B．0 C．-1 D．不存在
7．曲线在点处切线斜率等于( A )
A．8 B．12 C．-6 D．6
8．设且二阶可导，则 ( D )
A． B． C． D．
9．若 在处可导，则，的值应为( A )
A．， B． ，
C．， D．，
10．若函数在点处有导数，而函数在点处没有导数，则，在处( A )
A．一定都没有导数 B．一定都有导数
C．恰有一个有导数 D．至少一个有导数
11．函数与在处都没有导数，则，在处( D )
A．一定都没有导数 B．一定都有导数
C．至少一个有导数 D．至多一个有导数
12．已知，在处可导，则( A )
A．，都必须可导 B．必须可导
C．必须可导 D．和都不一定可导
13．，则( A )
A． B． C． D．
14．设在点处为二阶可导，则( A )
A． B． C． D．
15．设在内连续，且，则在点处( B )
A．的极限存在，且可导 B．的极限存在，但不一定可导
C．的极限不存在 D．的极限不一定存在
16．设在点处可导，则。
17．函数导数不存在的点。
18．设函数，则 2 。
19．设函数由方程所确定，则 1 。
20．曲线在点处的切线方程。
21．若，则 2 。
22．若函数，则。
23．若可导，，则。
24．曲线在点处的切线方程是。
25．讨论下列函数在处的连续性与可导性：
(1)
解：∵
∴在处连续
又

，故在处不可导。
(2)
解：∵，∴函数在处连续
又不存在。
故在处不可导。
26．已知，求。
解：时，可以求得
∴。
27．设，求及。
解：

28．设且存在，求。
解：

29．已知，求。
解：

30．已知，求。
解：
31．设，求。
解：
32．设，求。
解：两边取自然对数可得：

两边对求导得：

∴
33．设若存在，求。
解：，。

(B)
1．设函数在点0可导，且，则 ( B )
A． B． C．不存在 D．
2．若，则 ( B )
A．-3 B．6 C．-9 D．-12
3．若函数在点可导，则( A )
A． B． C． D．
4．设则在处( A )
A．不连续 B．连续，但不可导
C．连续，且有一阶导数 D．有任意阶导数
5．函数在处( B )
A．不连续 B．连续不可导
C．连续且仅有一阶导数 D．连续且有二阶导数
6．要使函数在处的导函数连续，则应取何值？ ( D )
A． B． C． D．
7．设函数有连续的二阶导数，且，，，则极限等于( D )
A．1 B．0 C．2 D．-1
8．设在的某领域内有定义，，且当时，与为等价无穷小量，则( B )
A． B．
C．不存在 D．不能断定的存在性
9．设为奇函数，且，则( C )
A．-2 B． C．2 D．
10．设函数，则( B )
A．0 B．24 C．36 D．48
11．已知时，是的等价无穷小量，则 ( A )
A．-2 B．-1 C．2 D．不存在
12．若在可导，则在处( B )
A．必可导 B．连续但不一定可导
C．一定不可导 D．不连续
13．若可导，且，则。
14．设是由方程(，常数)所定义的函数，则。
15．若在处可导，则。
16．若为二阶可微函数，则的 。
17．已知则 1 ，。
18．已知，则 -1 。。
19．若，则
。
20．若，则 -1 ，
， 0 。
21．已知，求。
解：时，

∴
22．设，其中在处连续，求。
解：。
23．如果为偶函数，且存在，证明。
证：∵存在，∴，而

∴，∴。
24．设对任意的实数、有，且，试证。
证：，，可得。从而

。
25．已知，求。
解：
26．已知，求。
解：

27．设，求。
解：

28．设，求。
解：
∴
∴
29．设，求，。
解：

。
30．函数由方程确定，求。
解；两边对求导得：
，解得：。
(C)
1．可微的周期函数其导数( A )
A．一定仍是周期函数，且周期相同
B．一定仍是周期函数，但周期不一定相同
C．一定不是周期函数 D．不一定是周期函数
2．若为内的可导奇函数，则( B )
A．必有内的奇函数 B．必为内的偶函数
C．必为内的非奇非偶函数 D．可能为奇函数，也可能为偶函数
3．设()且，则在处 ( C )
A．令当时才可微
B．在任何条件下都可微 C．当且仅当时才可微
D．因为在处无定义，所以不可微
4．设，而在处连续但不可导，则在处 ( C )
A．连续但不可导 B．可能可导，也可能不可导
C．仅有一阶导数 D．可能有二阶导数
5．若为可微分函数，当时，则在点处的是关于的( A )
A．高阶无穷小 B．等价无穷小 C．低价无穷小 D．不可比较
6．函数在某点处有增量，对应的函数增量的主部等于0.8，则( C )
A．4 B．0.16 C．4 D．1.6
7．，其中，则必有( D )
A． B． C． D．
8．设，则( A )
A．， B．，
C．， D．，
9．设则在点处的( B )
A．左、右导数都存在 B．左导数存在，但右导数不存在
C．左导数不存在，但右导数存在 D．左、右导数都不存在
10．设在内可导，且对任意，，当时，都有，则( D )
A．对任意， B．对任意，
C．函数单调增加 D．函数单调增加
11．设可导，，若使在处可导，则必有( A )
A． B． C． D．
12．设当时，是比高阶的无穷小，则( A )
A．， B．，
C．， D．，
13．设函数在区间内有定义，若当时，恒有，则是的( C )
A．间断点 B．连续而不可导点
C．可导的点，且 D．可导的点，且
14．设时，与是同阶无穷小，则为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
15．函数不可导点的个数是( B )
A．3 B．2 C．1 D．0
16．已知函数在任意点处的增量且当时，是的高阶无穷小，，则( D )
A． B． C． D．
17．设其中是有界函数，则在处( D )
A．极限不存在 B．极限存在，但不连续
C．连续，但不可导 D．可导
18．在区间内，方程( C )
A．无实根 B．有且仅有一个实根
C．有且仅有两个实根 D．有无穷多个实根
19．，则，时，。
20．若是可导函数，且，，则的反函数为自变量取4时的导数值为。
21．若在点处且有连续的一阶导数，且，则 1 。
22．设，其中在点处连续，且，则 1996 。
23．设则当的值为 >0 时，在处连续，当的值为 >2 时，在可导。
24．已知则 24 ， 0 。
25．若，则 22940 。
26．，在上连续，则 -2 。
27．。
28．设，则。
29．曲线在处的切线方程为。
30．设，则。
31．设，则。
32．设，则。
33．。
34．。
35．曲线在点(0,1)处的法线方程为。
36．设函数由方程确定，则 1 。
37． 3 。
38．设且存在，求。
解：，。
39．是由方程组所确定的隐函数，求。
解：，即两边对求导
，得：
，，（时）。
∴，
。
40．设，其中具有二阶导数，且，求。
解：
。
41．设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求。
解：对方程两边求导得：
∴，再求导

。
42．设，且，计算和。
解：，
，

43．设，求。
解：
。
44．若，求。
解：两边对求导得：，解得：，再求导得，解得：(其中)
45．验证函数满足关系式。
证：∵

∴

46．设曲线的参数方程是，求曲线上对应于的点的切线方程。
解：时，，，

故切线的斜率，于是所求的切线方程为：。
47．设，为了使函数于点处连续而且可微，应当如何选取系数和？
解：由在点处连续可知，得，时，，由在点处可导得：，得，代入可得：，故，。
48．设，其中函数在为左方可微分的，应当如何选取系数和，使函数在点处连续且可微分。
解：由在点处连续可知，得，，由在为左方可微知存在。时，，从而使在点处可微，需，代入可得。
49．设，求。
解：

50．设，求，。
解：

51．求极限。
解：原式

52．设满足，其中、、都是常数，且
(3) 证明
证：∵ ①
∴ ②
①×-②×得：
∴
显然有或
(4) 求，
解：

53．设函数，
(3) 写出的反函数的表达式；

(4) 是否有间点、不可导点，若有指出这些点。
解：无间断点，但在点和处不可导。

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