高中导数经典知识点及例题讲解.doc

§ 1.1　变化率与导数
1.1.1　变化率问题

自学引导

1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．
2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率.
课前热身
1. 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝________.
2．平均变化率另一种表示形式：设Δx＝x－x0，则＝________，表示函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率.

名师讲解
1.如何理解Δx，Δy的含义
Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f(x2)－f(x1)．
2．求平均变化率的步骤
求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率．
(1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.

对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，]上的平均变化率为＝.
在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.

题型一　求函数的平均变化率
例1　一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求t＝0到t＝1的平均速度．
分析　t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商就可以得到平均速度．
解　(1)由于v＝＝＝3－t.
∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．
(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2
Δt＝1－0＝1
∴＝＝＝2.
∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.

误区警示　本题(1)不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.

变式训练1　已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　)
A．3　　　　　　　 B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2 D．3－Δx

解析　Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)
＝－(Δx)2＋3Δx.
∴＝＝－Δx＋3
答案　D

题型二　平均变化率的快慢比较
例2　求正弦函数y＝sinx在0到之间及到之间的平均变化率．并比较大小．
分析　用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
解　设y＝sinx在0到之间的变化率为k1，则
k1＝＝.
y＝sinx在到之间的平均变化率为k2，
则k2＝＝＝.
∵k1－k2＝－＝>0，
∴k1>k2.
答：函数y＝sinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且>.
变式训练2　试比较余弦函数y＝cosx在0到之间和到之间的平均变化率的大小．
解　设函数y＝cosx在0到之间的平均变化率是k1，则k1＝＝－.
函数y＝cosx在到之间的平均变化率是k2，

则k2＝＝－.
∵k1－k2＝－－(－)＝>0，
∴k1>k2.
∴函数y＝cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率．

题型三　平均变化率的应用
例3　已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．
分析　由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→
解　物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量
Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)
＝(Δt)2＋4Δt.
物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为
＝＝4＋Δt.

变式训练3　一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．

解　质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为
＝
＝
＝＝4＋Δt.
又≤5，∴4＋Δt≤5.
∴Δt≤1，又Δt>0，
∴Δt的取值范围为(0,1].

§ 1.1　函数的单调性与极值
1.1.2　导数的概念

1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．
2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．
3．掌握函数f(x)在某一点x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数.

1.瞬时速度．
设物体的运动方程为S＝S(t)，如果一个物体在时刻t0时位于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比，就是这段时间内物体的________，即＝.
当这段时间很短，即Δt很小时，这个平均速度就接近时刻t0的速度．Δt越小，就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0时，这个平均速度的极限v＝ ＝ 就是物体在时刻t0的速度即为________．
2．导数的概念．
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近0时，比值＝无限趋近于一个常数A，这个常数A就是函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0.用符号语言表达为f′(x0)＝ ＝________

名师讲解

1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移增量ΔS＝S(t＋Δt)－S(t)；
(2)求平均速度＝；
(3)求极限 ＝ ；
(4)若极限存在，则瞬时速度v＝ .
2．导数还可以如下定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ .我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
3．对导数概念的理解
(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．
(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：
① 存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；② 不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．
(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.
(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是
f′(x0)＝ 与定义中的f′(x0)＝ 意义相同．
4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率：＝；
(3)取极限，得导数：f′(x0)＝ .

题型一　物体运动的瞬时速度
例1　以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．
分析　先求出Δs，再用定义求，当Δt→0时的极限值．
解　∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－(v0t0－gt)＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－g·Δt.
∴当Δt→0时，→v0－gt0.
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.

规律技巧　瞬时速度v是平均速度在Δt→0时的极限.因此，v＝＝.
变式训练1　一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝5t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度。

解　∵Δs＝5(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(5×2－22)
＝Δt－(Δt)2，
∴＝1－Δt.
∴v＝ ＝ (1－Δt)＝1.
∴物体在t＝2时的瞬时速度为1.
题型二　求函数在某点处的导数
例2　求函数y＝在x＝1处的导数．
分析　根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法．

解法1　∵Δy＝－1，
∴＝＝
＝.
∴ ＝ ＝.
∴y′|x＝1＝.

解法2　(先求导数，再求导数值)
∵Δy＝－，
∴＝
＝.
∴y′＝ ＝.
∴y′|x＝1＝.
规律技巧　求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数有两种方法：一是应用导数定义；二是先求导数再求导数值.
变式训练2　利用定义求函数y＝x＋的导数，并据此求函数在x＝1处的导数．解　∵Δy＝(x＋Δx)＋－(x＋)
＝1－，
∴y′＝
＝[1－]
＝1－.
∴y′|x＝1＝1－＝0.

＝Δx－，

题型三　导数的应用
例3　某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，求自运动开始到4s时，物体运动的平均速度和4s时的瞬时速度．
分析　解答本题，可先求自运动开始到ts时的平均速度v(t)及函数值的增量Δs，自变量的增量Δt，再利用公式求解即可．
解　自运动开始到ts时，物体运动的平均速度(t)＝＝3t＋2＋，故前4秒物体的平均速度为(t)＝3×4＋2＋＝15.
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2，
∴＝2＋6t＋3Δt.
∴ ＝2＋6t.
∴4s时物体的瞬时速度为2＋6×4＝26.

规律技巧　导数的物理意义：
(1)若已知位移s与时间t的函数关系s＝s(t)，则在t0时刻的瞬时速度v＝s′(t0)；
(2)若已知速度v与时间t的函数关系v＝v(t)，则在t0时刻的瞬时加速度a＝v′(t0).

变式训练3　竖直上抛一小球，其位移与时间的关系为h(t)＝100t－gt2，试求小球何时瞬时速度为0(g≈9.8)．

解　小球的运动方程为h(t)＝100t－gt2，
∴Δh＝[100(t＋Δt)－g(t＋Δt)2]－(100t－gt2)
＝∴ ＝100－gt，
令100－gt＝0，得t＝＝≈10.2(s)．
因此，小球被上抛10.2s时速度变为0.

100Δt－gtΔt－g(Δt)2.

例4　已知质点M按规律s＝at2＋3(单位：cm)做直线运动，且质点M在t＝2s时的瞬时速度为8cm/s，求a的值．
分析　这是一道逆向思维的题目，知导数s′|t＝2＝8，求系数a，先对s求导，可得含a的方程．解出a即可．
解　Δs＝a(2＋Δt)2＋3－(a·22＋3)
＝4a·Δt＋a(Δt)2
∴ ＝ (4a＋a·Δt)＝4a.
依题意有4a＝8，∴a＝2.
变式训练4　已知f(x)＝ax＋b，且f′(1)＝2，求实数a的值．

解　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)＋b－(a＋b)
＝aΔx.
∴f′(1)＝ ＝a＝a.
又f′(1)＝2，∴a＝2.

§ 1.1　函数的单调性与极值
1.1.3　导数的几何意义

1.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义．
2．会求函数在点(x0，y0)处的切线方程.

1.几何意义：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)即为f(x)所表示的曲线在x＝x0处的切线的斜率，即k＝f′(x0)＝
.过点(x0，f(x0))的切线方程为________．

2．物理意义：如果把函数y＝f(x)看作是物体的运动方程(或叫位移公式)，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻t0的速度，即在x0的________．即vx0＝f′(x0)＝ .
3．如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x的导数都存在，那么称f(x)在区间(a，b)内可导．这样对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的________，记为________，简称为________．今后，如不特别指明某一点的导数，求导数就是指求导函数.

答
案
1.y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
2.瞬时速度
3.导函数　f′(x)(或y′x、y′)　导数

1.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系：
“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值；“导函数”简称“导数”，是一个函数．所以求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．

2．可以利用导数求曲线的切线方程．由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，表示曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．因此，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程可如下求得：
(1)求出f′(x0)，则f′(x0)就是点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．

(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴时(此时导数不存在)，切线方程为x＝x0.

题型一　求曲线上某点处的切线方程
例1　已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点．
分析　先求出函数y＝x3在x＝1处的导数，即切线的斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数．
解　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
∴切点P(1,1)．
∵y′＝
＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
∴y′|x＝1＝3.
∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由可得
(x－1)(x2＋x－2)＝0，

解得x1＝1，x2＝－2，
从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)．
说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点．

规律技巧　先求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程.
变式训练1　求双曲线y＝在点(，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．
解　∵y＝，
∴k＝ ＝
＝ ＝－.
∴当x＝时，k＝－4，∴切线斜率为k＝－4.
切线方程为y－2＝－4(x－)，
即4x＋y－4＝0.

题型二　求过某点的切线方程
例2　求抛物线y＝x2过点(，6)的切线方程．
分析　点(，6)不在抛物线上，先设出切点坐标，求出切线的斜率，利用等量关系，求出切点坐标，最后写出切线方程．

解　设此切线在抛物线上的切点为(x0，x)，则
y′|x＝x0＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
∴＝2x0，即x－5x0＋6＝0，解得
x0＝2，或x0＝3.

即切线经过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)．
故切线方程分别为
y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)，
即4x－y－4＝0，或6x－y－9＝0为所求的切线方程．

规律技巧　求切线方程时，注意两种说法：一是在某点处的切线方程，此时点在曲线上，且以此点为切点；二是过某点的切线方程，如本例，此时求解时，首先要设出切点坐标，然后求解.
变式训练2　求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．
解　设切线在抛物线上的切点为(x0，x)，
∴y′|x＝x0＝
＝ (x0＋Δx)＝x0.
∴＝x0.
即x－8x0＋7＝0，
解得x0＝7，或x0＝1，
即切线过抛物线y＝x2上的点(7，)，(1，)，
故切线方程分别为
y－＝(x－7)，或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0，或2x－4y－1＝0，
此即所求的切线方程．

题型三　导数几何意义的综合应用
例3　求曲线y＝x2在点(3,9)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
分析　由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式计算．

解　Δy＝(3＋Δx)2－32
＝6Δx＋(Δx)2，
∴f′(3)＝ ＝ (6＋Δx)＝6.
∴点(3,9)处的切线方程为y－9＝6(x－3)，
即y＝6x－9.
切线与两坐标轴的交点分别为(，0)，(0，－9)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为
S＝××9＝.
变式训练3　在曲线y＝x2上求一点P，使过点P的切线与直线y＝4x－5平行．

解　设P(x0，x)，
则f′(x0)＝
＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0.
由题意可得
2x0＝4，∴x0＝2.
故点P的坐标为(2,4).

§ 1.2　导数的计算
1.2.1　几种常用函数的导数及导数的运算法则

自学引导
1.能根据导数的定义，会求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数.

课前热身

1.基本初等函数的导数公式.
原函数
导函数
(1)f(x)＝c
f′(x)＝________
(2)f(x)＝xn(n∈Q)
f′(x)＝________
(3)f(x)＝sinx
f′(x)＝________
(4)f(x)＝cosx
f′(x)＝________
(5)f(x)＝ax
f′(x)＝________

原函数
导函数
(6)f(x)＝ex
f′(x)＝________
(7)f(x)＝logax
f′(x)＝________
(8)f(x)＝lnx
f′(x)＝________
2.导数的运算法则．
(1)[f(x)±g(x)]′＝________；
(2)[f(x)·g(x)]′＝________；
(3)[]′＝________.

答
案
2.(1)f′(x)±g′(x)
(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)(g(x)≠0)

(3)公式中n∈Q，但对于n∈R公式也成立．
(4)特别注意n为负数或分数时，求导不要搞错．如

2．两函数和差的求导法则的推广
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
此法则可以推广到有限个可导函数的情形．[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
(2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数)．

3．两函数商的求导法则
′＝(g(x)≠0)，
当f(x)＝1时，则有′＝－(g(x)≠0)．
这是一个函数倒数的求导法则．

4．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数表示形式很复杂，直接求导比较困难，但经过化简整理，有可能很简单，这时再求导可能很简便，也就是说，先把复杂式子化简后再求导，减少运算量.

题型一　求导函数
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝x12；
(2)y＝；
(3)y＝.
分析　这三个小题都可归为xn类，用公式(xn)′＝nxn－1完成．

解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝()′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4.

变式训练1　求下列函数的导数．
(1)f(x)＝10x；
(2)f(x)＝log2x；
(3)g(t)＝et.

解　(1)f′(x)＝(10x)′＝10xln10.
(2)f′(x)＝(log2x)′＝.
(3)g′(t)＝(et)′＝et.
题型二　求函数在某点处的导数
例2　(1)求函数y＝ax，在点P(3，f(3))处的导数；
(2)求函数y＝lnx在点Q(5，ln5)处的导数．
分析　先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值．

解　(1)∵y＝ax，
∴y′＝(ax)′＝axlna.
则y′|x＝3＝a3lna.
(2)∵y＝lnx，∴y′＝(lnx)′＝.
则y′|x＝5＝.
规律技巧　求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数，一般过程是：①先求导函数；②把定点的横坐标代入导函数求出导数值.

变式训练2　求下列函数在某点处的导数．
(1)y＝logax，x＝2；
(2)y＝cosx，x＝；
(3)y＝2x3＋，x＝1；
(4)y＝sinx，x＝.
解　(1)∵y＝logax，∴y′＝.
则y′|x＝2＝.
(2)∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.
则y′|x＝＝－sin＝－.

则y′|x＝1＝6＋＝.
(4)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
则y′|x＝＝cos＝.
题型三　利用运算法则求导数
例3　求下列函数的导数．
(1)y＝x2·sinx＋cosx；
(2)y＝；
(3)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
(4)f(x)＝＋ .
分析　对于(1)、(2)可以利用公式直接求导，(3)、(4)先化简再求导．

解　(1)y′＝(x2sinx＋cosx)′
＝(x2sinx)′＋(cosx)′
＝2xsinx＋x2cosx－sinx
＝(2x－1)sinx＋x2cosx.
(2)y′＝()′
＝＝＝.

(3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)
＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5
f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′
＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(4)∵f(x)＝＋
＝＋＝＝－2，
∴f′(x)＝(－2)′＝＝.

规律技巧　运用求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y＝f(x)的结构特征，对于直接求导很繁琐的，一定要先化简，再求导．

变式训练3　求下列函数的导数．
(1)y＝tanx；
(2)y＝＋；
(3)y＝1＋sincos；
(4)y＝－2x.
解　(1)y＝tanx＝，
∴y′＝()′＝
＝＝.
(2)∵y＝＋＝，
∴y′＝()′＝＝.
(3)∵y＝1＋sincos＝1＋sinx，
∴y′＝(1＋sinx)′＝cosx.
(4)y′＝()′－(2x)′
＝－2xln2
＝－2xln2.

题型四　求切线方程
例4　求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．
分析　点(1，－1)虽然在曲线上，但它不一定是切点，故应先求切点．
解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2，故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，
又知切线过点(1，－1)代入上述方程，

得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
解得x0＝1，或x0＝－，
∴切点为(1，－1)或(－，)．
故所求的切线方程为y＋1＝x－1，
或y－＝－(x＋)，
即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.

规律技巧　(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程.在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线， 不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为(x0，y0)，然后写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，代入点P的坐标，求出(x0，y0)，再写出切线方程.

变式训练4　已知曲线y＝x3－3x，过点(0,16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．

解　设切点为(x1，y1)，则切线的斜率
k＝y′x＝x1＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16.
又切点在切线上，
∴y1＝(3x－3)x1＋16.
∴x－3x1＝(3x－3)x1＋16，
解得x1＝－2.
∴切线方程为y＝9x＋16，
即9x－y＋16＝0

§ 1.2　导数的计算
1.2.2　复合函数的导数

能利用出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数.

课前热身

1.复合函数的概念．
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数________和________的复合函数，记作________．

2．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

答
案
1.y＝f(u)　u＝g(x)　y＝f(g(x))
2.y′x＝y′u·u′x

名师讲解
1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节
(1)中间变量的选择应是基本函数结构；
(2)关键是正确分析出复合过程；
(3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数．

2．求复合函数导数的方法步骤
(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；
(2)求每一层基本初等函数的导数；
(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.

题型一　复合函数的求导方法
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝cosx2；
(3)y＝sin(2x－)；
(4)y＝.
分析　注意中间变量的选取，分层求导．

(3)令u＝2x－，则y＝sinu，
∴y′x＝y′u·u′x＝cosu·2
＝2cos(2x－)．
(4)令u＝1＋x2，则y＝u，
∴y′x＝y′u·u′x＝u·2x

＝x·u＝.
规律技巧　求复合函数的导数，要分清函数的复合关系，对于分式型的可化为幂的形式求导，关键选好中间变量．最后将中间变量代回到原自变量的函数．
变式训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝sin(x2－)；
(3)y＝ln(lnx)；
(4)y＝e2x2＋1.
解　(1)令u＝1＋3x，则y＝＝u－5，
∴y′x＝y′u·u′x＝－5u－6·3
＝－15u－6＝－.
(2)令u＝x2－，则y＝sinu，
∴y′x＝y′u·u′x
＝cosu·(x2－)′＝2xcosu＝2xcos(x2－)．
(3)令u＝lnx，则y＝lnu，
∴y′x＝y′u·u′x
＝·＝.
(4)令u＝2x2＋1，则y＝eu，
∴y′x＝y′u·u′x＝eu·4x
＝4x·e2x2＋1.
例2　求下列函数的导数．
(1)y＝(x2－4)2；
(2)y＝log2(2x2＋3x＋1)；
(3)y＝esin(ax＋b)
分析　先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合函数求导公式y′＝y′u·u′x进行求导．

解　(1)方法1：y＝(x2－4)2＝x4－8x2＋16
∴y′＝(x4－8x2＋16)′
＝4x3－16x.
方法2：y′＝2(x2－4)(x2－4)′
＝2(x2－4)·2x
＝4x3－16x.

(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′
＝·(2x2＋3x＋1)′
＝.
(3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′
＝esin(ax＋b)·cos(ax＋b)·(ax＋b)′
＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．

规律技巧　求复合函数的导数，当复合步骤熟练后，可以直接求导．

变式训练2　求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝sin3x＋sinx3.

解　(1)y＝＝(3x2＋1)，
∴y′＝(3x2＋1) (3x2＋1)′
＝(3x2＋1)·6x＝.

(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′
＝3sin2x·(sinx)′＋cosx3·(x3)′
＝3sin2x·cosx＋3x2cosx3.

题型二　求导法则的综合应用
例3　已知函数f(x)是关于x的二次函数，其导函数为f′(x)，且∀x∈R，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1恒成立，求函数f(x)的解析式．
分析　可设f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，利用待定系数法求出a，b，c的值．
解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
又x2f′(x)－(2x－1)f(x)
＝x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)
＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1恒成立，
∴∴
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.

变式训练3　已知函数f(x)是关于x的三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0，求f(x)的解析式．

解　设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f(0)＝3，得d＝3，
由f′(0)＝0，得c＝0，
由f′(1)＝－3，f′(2)＝0，得
解得
∴f(x)＝x3－3x2＋3.

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