利用导数求函数单调性题型全归纳.doc

利用导数求函数单调性题型全归纳
一.求单调区间
二.函数单调性的判定与逆用
三.利用单调性求字母取值范围
四.比较大小
五.证明不等式
六.求极值
七.求最值
八.解不等式
九.函数零点个数（方程根的个数）
十.探究函数图像

一.求单调区间
例1. 已知函数，求函数的单调区间
解：.
则令，因为当，所以
所以在上是增函数,又,所以不等式的解集为,
故函数的单调增区间为 减区间为：
变式：已知，求的单调区间
解：，当时，，单调递增
当时，由得：，在单调递增
由得：，在单调递增
综上所述：当时，的单调递增区间为：，无单调递减区间
当时，的单调递增区间为：，递减区间为：

二.函数单调性的判定与逆用
例2.已知函数在上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数的取值集合
解：
因为函数在上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数
所以在上有解
所以，又，解得：，所以正整数的取值集合
三.利用单调性求字母取值范围
例3. 已知函数，若函数在上是减函数，求实数的最小值.
解：因为在上是减函数
所以在上恒成立，即在上恒成立
令，则，，则
因为，所以，所以
变式：若函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围.
解：
因为函数在区间上为减函数，在区间上为增函数
所以恒成立，即
所以，所以，所以
四.比较大小
例4. 设为实数，当时，比较与的大小关系.
解：令，则
令
则，令得：
当时，；当时，
所以，因为，所以，所以在上单调递增
所以，即，所以
变式：对于上的可导函数，若满足，比较与的大小关系.
解：因为
所以当时，，单调递增，故
当时，，单调递减，故
所以
五.证明不等式
例5.已知函数， .
证明：当时，存在，使得对任意的，恒有.
证明：令
则有
当时，，故 在上单调递增，.故任意实数 均满足题意.
当 时，令，得.
当时，，故 在上单调递增
当时，，故 在上单调递减
取，对任意，有，故在上单调递增
所以
即，综上所述：当时，存在，使得对任意的，恒有.
变式：已知关于的方程有两个不同的实数根.求证：
证明：因为，所以，令
则
当时，单调递减，当时，单调递增
因为关于的方程有两个不同的实数根
所以不妨设，要证：，只需证：
因为，且函数在上单调递减
所以只需证：，又因为，所以只需证：
即证：
即证：对恒成立
令，，则
因为，所以
所以恒成立
所以在上单调递减，所以
综上所述：
六.求极值
例6.已知函数，是否存在实数，使得函数的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
解：
令得：
当时，恒成立，无极值，舍去
当时，

递增
极大值
递减
极小值
递增
由表可知：
解得： 当时，

递增
极大值
递减
极小值
递增
由表可知：
，即，所以：
令，则
所以在上单调递增，又
所以函数在上无零点，即方程无解
综上所述：存在实数，使得函数的极大值为3，此时
七.求最值
例7. 已知函数，若存在,使得（其中是自然对数的底数),求实数的取值范围.
解：因为存在,使得成立,
而当时,,
所以只要即可
又因为,,的变化情况如下表所示:

减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值,的最大值为和中的最大值.
因为,
令,因为,
所以在上是增函数.
而,故当时,,即;
当时,,即
所以,当时,,即,函数在上是增函数,解得;
当时,,即,函数在上是减函数,解得.
综上可知,所求的取值范围为
变式：已知函数在区间上的最小值为1，求实数的值.
解：，令，则
所以在区间单调递增，所以存在唯一的，使得，即
所以当时，，单调递减
当时，，单调递增
所以，由得：
所以

当且仅当即，
由得，此时，满足条件，所以
八.解不等式
例8. 函数，对任意，解不等式：
解：令，则
因为对任意，所以，
所以为上的单调递增函数，又
所以当即，所以，所以
即不等式：的解集为
变式：已知定义在上的可导函数满足，若，求的取值范围.
解：令，则，因为
所以，所以为上递减函数
由，得：
即，所以，即
九.函数零点个数（方程根的个数）
例9. 已知在处取得极值.若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
解： ，因为在处取得极值
所以，即，检验知符合题意.
令

递增
极大值
递减

所以
因为方程在区间上恰有两个不同的实数根
所以，即解得：
所以实数的取值范围是：
变式：已知函数是上的可导函数，当时，有，判断函数的零点个数
解：当时，有，即
令，则
所以当时，，函数在单调递增
且，
所以当时，恒成立，函数无零点
当时，，函数在单调递减
且恒成立
所以在上为单调递减函数
且当时，，所以
当时，，所以
所以在上有唯一零点
综上所述：在上有唯一零点
十.探究函数图像

例10.设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为下列图像的 .

（4）

（3）

（2）

（1）

解：由的图像可判断出：在递减，在上先增后减再增
所以在上，在上先有，后有，再有.
所以图（4）符合.
变式：已知函数，若关于的不等式只有两个整数解，求实数的取值范围.
解：，令得

所以当时，单调递增
当时，单调递减
由当时，，当时，
作出的大致函数图像如图所示：
因为
（1）若，即，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；
（2）若，则，由图像可知，，有无穷多整数解（舍）
（3）若则，由图像可知，无整数解，
所以有两个整数解，因为，且在上单调递减
所以的两个整数解为：
又，所以，所以