福建省三明一中实验班2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科)-Word版含解析.doc

福建省三明一中实验班2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年福建省三明一中实验班高二（上）第一次月考数学试卷（理科）

一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）
1．若将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确的一组是( )
A． B． C． D．

2．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若下列程序执行的结果是3，则输入的x的值是( )

A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0

5．已知两点M（﹣2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为( )
A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=﹣4x

6．如果在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，3）、B（2，3.8）、C（3，5.2）、D（4，6），则y与x的回归直线方程是( )
A．y=x+1.9 B．y=1.04x+1.9 C．y=0.95x+1.04 D．y=1.05x﹣0.9

7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为( )

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

8．过椭圆+=1内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=0

9．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣3，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为( )
A．2， B．4，3 C．4， D．2，1

10．分别在区间和内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为( )
A． B． C． D．

11．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． B． C． D．

12．下列命题中真命题的个数是( )
①∀x∈R，x4＞x2；
②若p∧q是假命题，则p、q都是假命题；
③命题“∀x∈R，x3+2x2+4≤0”的否定为“∃x0∈R，x03+2x02+4＞0”
A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）
13．已知三个数12（16），25（7），33（4），将它们按由小到大的顺序排列为__________．

14．已知椭圆的方程是（a＞5），它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=8，弦AB（椭圆上任意两点的线段）过点F1，则△ABF2的周长为__________．

15．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

16．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根；
②“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是__________．

三、解答题（共6题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．用秦九韶算法求多项式f（x）=8x7+5x6+3x4+2x+1，当x=2时的值．

18．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

19．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据．
广告支出x（单位：万元）
1
2
3
4
销售收入y（单位：万元）
12
28
42
56
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求出y对x的线性回归方程；
（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？

20．汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

21．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．
试利用频率分布直方图求：
（1）这50名学生成绩的众数与中位数．
（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0.1）

22．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点，点M在椭圆上，．求椭圆的方程．

2015-2016学年福建省三明一中实验班高二（上）第一次月考数学试卷（理科）

一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）
1．若将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确的一组是( )
A． B． C． D．
【考点】赋值语句．
【专题】图表型．
【分析】要实现两个变量a，b值的交换，需要借助中间量c，先把b的值赋给中间变量c，再把a的值赋给变量b，把c的值赋给变量a．
【解答】解：先把b的值赋给中间变量c，这样c=17，再把a的值赋给变量b，这样b=8，
把c的值赋给变量a，这样a=17．
故选B
【点评】本题考查的是赋值语句，考查逻辑思维能力，属于基础题．

2．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计．
【分析】结合互斥事件和对立事件的定义，即可得出结论
【解答】解：根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件．
但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件．
故选：A
【点评】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件，属简单题．

3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的性质．
【专题】简易逻辑；立体几何．
【分析】通过两个条件之间的推导，利用平面与平面垂直的性质以与结合图形，判断充要条件即可．
【解答】解：由题意可知α⊥β，b⊥m⇒a⊥b，另一方面，如果a∥m，a⊥b，如图，
显然平面α与平面β不垂直．所以设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选A．

【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力与作图能力．

4．若下列程序执行的结果是3，则输入的x的值是( )

A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
【考点】选择结构．
【专题】阅读型．
【分析】先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x的正负，根据函数值求出自变量即可
【解答】解：根据条件语句可知是计算y=
当x＜0，时﹣x=3，解得：x=﹣3
当x≥0，时x=3，解得：x=3
故选C．
【点评】本题主要考查了分段函数，以与条件语句，算法语句是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视．

5．已知两点M（﹣2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为( )
A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=﹣4x
【考点】抛物线的标准方程；抛物线的定义．
【专题】计算题．
【分析】先根据MN的坐标求出|MN|然后设点P的坐标表示出关系=0即可得到答案．
【解答】解：设P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0），
则
由，
则，
化简整理得y2=﹣8x．
故选B
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义．向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点．也是高考常常考查的重要内容之一．在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直，既要注意它们联系，也要注意它们的区别．

6．如果在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，3）、B（2，3.8）、C（3，5.2）、D（4，6），则y与x的回归直线方程是( )
A．y=x+1.9 B．y=1.04x+1.9 C．y=0.95x+1.04 D．y=1.05x﹣0.9
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；应用题．
【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．
【解答】解：∵==2.5，==4.5，
∴这组数据的样本中心点是（2.5，4.5）
把样本中心点代入四个选项中，只有y=1.04x+1.9成立，
故选B．
【点评】本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．

7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为( )

A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【考点】条件语句；循环语句．
【专题】算法和程序框图．
【分析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．
【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；
第二次运行程序时，i=2，s=2；
第三次运行程序时，i=3，s=1；
第四次运行程序时，i=4，s=0，
此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，
故选B
【点评】涉与循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．

8．过椭圆+=1内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=0
【考点】椭圆的简单性质；中点坐标公式．
【专题】计算题．
【分析】设过点P的弦与椭圆交于A1，A2两点，并设出他们的坐标，代入椭圆方程联立，两式相减，根据中点P的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线A1A2的斜率，根据点斜式求得直线的方程．
【解答】解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，
∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，
∴kA1A2==．
∴弦所在直线方程为y+1=（x﹣2），
即5x﹣3y﹣13=0．
故选A．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系．涉与弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、
弦的中点坐标联系起来，相互转化．

9．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣3，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为( )
A．2， B．4，3 C．4， D．2，1
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【专题】计算题．
【分析】本题可将平均数和方差公式中的x换成3x﹣2，再化简进行计算．
【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5=2×5=10．
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是：′===4，
S′2=×，
=×=9×=3．
故选B．
【点评】本题考查的是方差和平均数的性质．设平均数为E（x），方差为D（x）．则E（cx+d）=cE（x）+d；D（cx+d）=c2D（x）．

10．分别在区间和内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为( )
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】计算题．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件m＞n的图形面积，与在区间和内的点对应的面积，再代入几何概型计算公式求解．
【解答】解：如图，则在区间和内任取一个实数，
依次记为m和n，则（m，n）表示的图形面积为3×5=15
其中满足m＞n，即在直线m=n右侧的点表示的图形面积为：，
故m＞n的概率P=，
故选A．

【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/N求解．

11．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．

12．下列命题中真命题的个数是( )
①∀x∈R，x4＞x2；
②若p∧q是假命题，则p、q都是假命题；
③命题“∀x∈R，x3+2x2+4≤0”的否定为“∃x0∈R，x03+2x02+4＞0”
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；反证法；简易逻辑．
【分析】①不正确，例如取x=，则；
②由p∧q是假命题，则p、q至少有一个是假命题，即可判断出真假；
③利用命题的否定定义即可判断出正误．
【解答】解：①∀x∈R，x4＞x2，不正确，例如取x=，则；
②若p∧q是假命题，则p、q至少有一个是假命题，因此不正确；
③命题“∀x∈R，x3+2x2+4≤0”的否定为“∃x0∈R，x03+2x02+4＞0”，正确．
因此真命题的个数是1．
故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）
13．已知三个数12（16），25（7），33（4），将它们按由小到大的顺序排列为33（4）＜12（16）＜25（7）．
【考点】进位制．
【专题】计算题；规律型；转化思想；算法和程序框图．
【分析】将各数转化为十进制数，从而即可比较大小．
【解答】解：∵将各数转化为十进制数：
12（16）=1×161+2×160=18，
25（7）=2×71+5×70=5+14=19，
33（4）=3×41+3×40=13，
∴33（4）＜12（16）＜25（7）．
故答案为：33（4）＜12（16）＜25（7）．
【点评】本题主要考察了其他进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重，属于基本知识的考查．

14．已知椭圆的方程是（a＞5），它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=8，弦AB（椭圆上任意两点的线段）过点F1，则△ABF2的周长为．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据椭圆方程得椭圆的焦点在x轴上，由焦距|F1F2|=8得c=4，结合b2=25算出．最后根据椭圆的定义，即可算出△ABF2的周长．
【解答】解：∵椭圆的方程是（a＞5），
∴椭圆的焦点在x轴上，
∵焦距|F1F2|=8=2c，得c=4
∴a2=b2+c2=25+42，可得．
∵|AB|=|AF1|+|BF1|，由椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=2
∴△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=．
故答案为：
【点评】本题给出椭圆的方程，求椭圆经过焦点的弦与右焦点构成的三角形的周长．着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

15．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．
【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0
∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个不等实根
∴△=（a﹣1）2﹣4＞0
∴a＜﹣1或a＞3
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化与相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．

16．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根；
②“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是①②④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】利用判别式的符号判断①的正误；命题的否命题的真假判断②的正误；逆命题的真假判断③的正误；通过命题的否命题的真假判断④的正误；
【解答】解：对于①，若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根，∵△4+4k＞0，∴方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根；①正确；
对于②，“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题：若a≤b，则a+c≤b+c，满足不等式的基本性质，∴②正确；
对于③，“矩形的对角线相等”的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，显然不正确，例如等腰梯形，∴③不正确；
对于④，“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题：若xy≠0，则x、y中都不为0．正确；
正确命题：①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查命题的真假的判断，命题的否定以与四种命题的关系，考查基本知识的应用．

三、解答题（共6题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．用秦九韶算法求多项式f（x）=8x7+5x6+3x4+2x+1，当x=2时的值．
【考点】算法的概念．
【专题】计算题．
【分析】利用秦九韶算法一步一步地代入运算，注意本题中有几项不存在，此时在计算时，我们应该将这些项加上，比如含有x3这一项可看作0•x3．
【解答】解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式
f（x）=8x7+5x6+0•x5+3•x4+0•x3+0•x2+2x+1
=（（（（（（8x+5）x+0）x+3）x+0）x+0）x+2）x+1
v0=8，v1=8×2+5=21
v2=21×2+0=42，v3=42×2+3=87
v4=87×2+0=174，v5=174×2+0=348
v6=348×2+2=698，v7=698×2+1=1397．
∴当x=2时，多项式的值为1397．
【点评】一般地，一元n次多项式的求值需要经过次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法．

18．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；充要条件．
【专题】计算题．
【分析】分别解出命题p和命题q中不等式的解集得到集合A和集合B，根据¬p是¬q的必要不充分条件，得到q是p的必要不充分条件，即q推不出p，而p能推出q．说明P的解集被q的解集包含，即集合A为集合B的真子集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．
【解答】解：设A={x|（4x﹣3）2≤1}，B={x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0}，
易知A={x|≤x≤1}，B={x|a≤x≤a+1}．
由¬p是¬q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即A⊂B，
且两等号不能同时取．
故所求实数a的取值范围是．
【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，掌握两命题之间的关系，是一道综合题．

19．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据．
广告支出x（单位：万元）
1
2
3
4
销售收入y（单位：万元）
12
28
42
56
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求出y对x的线性回归方程；
（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
【考点】线性回归方程．
【专题】应用题．
【分析】（1）根据所给的数据构造有序数对，在平面直角坐标系中画出散点图．
（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．
（3）把x=9代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．
【解答】解：（1）散点图如图：

i
xi
yi
xi2
xiyi
1
1
12
1
12
2
2
28
4
56
3
3
42
9
126
4
4
56
16
224
（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出上列表格，以备计算于是，，代入公式得，
==，
===﹣2，
故y与x的线性回归方程为=x﹣2，其中回归系数为，
它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加万元．
（3）当x=9万元时，y=×9﹣2=129.4（万元）．
【点评】本题考查线性回归方程的写法和应用，本题解题的关键是正确求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题．

20．汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
【考点】古典概型与其概率计算公式；分层抽样方法．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，得每个个体被抽到的概率，列出关系式，得到n的值
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举数出结果，根据古典概型的概率公式得到结果．
（Ⅲ）首先做出样本的平均数，做出试验发生包含的事件数，和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得=，
∴n=2000，
∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．

（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意，得a=2．
因此抽取的容量为5的样本中，
有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，
用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，
用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
（A1，A2），（A1B1），（A1B2），
（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），
（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，
事件E包含的基本事件有：
（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，
故P（E）=，
即所求概率为．
（Ⅲ）样本平均数=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．
设D表示事件“从样本中任取一数，
该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，
则基本事件空间中有8个基本事件，
事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，
∴P（D）=，即所求概率为．
【点评】本题考查古典概型，考查用列举法来得到事件数，考查分层抽样，是一个概率与统计的综合题目，这种题目看起来比较麻烦，但是解题的原理并不复杂．

21．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．
试利用频率分布直方图求：
（1）这50名学生成绩的众数与中位数．
（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0.1）

【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求；由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．
【解答】
解：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．
在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，
所以由频率分布直方图得众数应为75．
由于中位数是所有数据中的中间值，
故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．
因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，
∴前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，
∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位数约为70+6.7=76.7．
（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，
即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．
∴平均成绩为45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7．
【点评】本题考查众数、中位数、平均成绩的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．

22．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点，点M在椭圆上，．求椭圆的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】综合题．
【分析】由，则a2=4b2，将代入上式，消去y整理可得x2+2x+2﹣2b2=0（*），则△=4﹣4（2﹣b2）＞0
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），则由得，M在椭圆上代入结合（*）可求椭圆的方程
【解答】解：由，则a2=4b2，椭圆可以转化为：x2+4y2=4b2
将代入上式，消去y，得：x2+2x+2﹣2b2=0
直线与椭圆相交有两个不同的点A，B
则△=4﹣4（2﹣2b2）＞0
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）
则得
又因为M在椭圆上，所以
代入整理可得，x1x2+4y1y2=0
所以，=0
x1x2+x1+x2+2=0
因为，x1+x2=﹣2，x1x2=2﹣2b2，所以b2=1
所以
【点评】本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线域椭圆上的相交的位置关系的应用，方程思想的应用，属于基础知识的应用．

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