高中数学北师大版选修22学案221导数概念22导数几何意义Word版含分析.doc

高中数学北师大版选修2-2学案：221导数概念+22导数几何意义Word版含分析
§2　导数的概念及其几何意义
2.1　导数的概念
2.2　导数的几何意义

1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重点、难点)
2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点)
3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点)

[基础·初探]
教材整理1　函数f(x)在x＝x0处的导数
阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题.
函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝Error! No bookmark name given. ＝Error! No bookmark name given._.

设函数y＝f(x)可导，则Error! No bookmark name given. 等于(　　)
A.f′(1) B.3f′(1)
C.f′(1) D.以上都不对
【解析】　由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.
【答案】　A
教材整理2　导数的几何意义
阅读教材P34～P36，完成下列问题.
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.

抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________________.
【解析】　因为y′＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. (2x＋Δx)＝2x，
所以k＝－4，
故所求切线方程为4x＋y＝0.
【答案】　4x＋y＝0
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并及“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[小组合作型]

求函数在某点处的导数
　(1)若Error! No bookmark name given. ＝k，
则Error! No bookmark name given. 等于(　　)
A.2k B.k
C.k D.以上都不是
(2)函数y＝在x＝1处的导数是________.
(3)求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.
【精彩点拨】　根据导数的概念求解.
【自主解答】　(1) Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. ·2
＝2·Error! No bookmark name given. ＝2k.
(2)∵Δy＝－1，
∴＝＝，
当Δx趋于0时，＝趋于，
∴函数y＝在x＝1处的导数为.
【答案】　(1)A　(2)
(3)∵f(x)＝2x2＋4x，
∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3)
＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.
∴＝＝2Δx＋16.
当Δx→0时，→16，∴f′(3)＝16.

1.本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出.切忌算到时，就下结论：当Δx趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定.
2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤：
(1)计算Δy；(2)计算；(3)计算Error! No bookmark name given. .

[再练一题]
1.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　)
【导学号：】
A.1 B.－1
C.±1 D.3
【解析】　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝Error! No bookmark name given.[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1.
【答案】　C

求曲线在某点处切线的方程
　已知曲线C：f(x)＝x3＋.
(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线及曲线C是否还有其他的公共点？
【精彩点拨】　(1)先求切点坐标，再求f′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程.
(2)将切线方程及曲线C的方程联立求解.
【自主解答】　(1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2，4).
f′(2)＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given.[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4.
∴k＝f′(2)＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)由可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0，
解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2，4)或M(－4，－20)，
即切线及曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20).

1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0).
特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.
2.曲线的切线及曲线的交点可能不止一个.

[再练一题]
2.(2016·临沂高二检测)求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1，2)处的切线方程.
【解】　在曲线f(x)＝x2＋1上的点A(1，2)的附近取一点B，设B点的横坐标为1＋Δx，则点B的纵坐标为(1＋Δx)2＋1，所以函数的增量Δy＝(1＋Δx)2＋1－2＝Δx2＋2·Δx，
所以切线AB的斜率kAB＝＝Δx＋2，
∴Error! No bookmark name given. ＝Error! No bookmark name given. (Δx＋2)＝2，
这表明曲线f(x)＝x2＋1在点A(1，2)处的切线斜率k＝2.
∴所求切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
[探究共研型]

求曲线过某点的切线方程
探究1　函数在某点处的导数及导函数有什么区别和联系？
【提示】　区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数.
联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值.
探究2　曲线在某点处的切线是否及曲线只有一个交点？
【提示】　不一定.切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点.
探究3　曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程及过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？
【提示】　曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线f(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.
　已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1，0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程.
【精彩点拨】　(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1，0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程.
(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程.
【自主解答】　(1) Error! No bookmark name given. ＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. ＝－.
设过点A(1，0)的切线的切点为P，
则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.
因为点A(1，0)，P在切线上，
所以＝－，
解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1，0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.

1.求曲线过已知点的切线方程的步骤

2.若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程.

[再练一题]
3.求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程.
【解】　设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2).
[构建·体系]

1.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　)
A.f′(x0)＞0 B.f′(x0)＜0
C.f′(x0)＝0 D.f′(x0)不存在
【解析】　由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数.
【答案】　A
2.曲线y＝x2－2在点x＝1处的切线的倾斜角为(　　)
【导学号：】
A.30° B.45°
C.135° D.165°
【解析】　f′(1)＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. ＝1，
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.
【答案】　B
3.曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________.
【解析】　f′(－2)＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. ＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
【答案】　x＋2y＋4＝0
4.已知二次函数y＝f(x)的图像如图2­2­1所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)及f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“＜”“＝”或“＞”).

图2­2­1
【解析】　f′(a)及f′(b)分别表示函数图像在点A，B处的切线斜率，由图像可得f′(a)＞f′(b).
【答案】　＞
5.已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值.
【解】　设直线l及曲线相切于点P(x0，y0)，则Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given.
＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2，3).
当切点为时，有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5.
因此切点坐标为或(2，3)，
a的值为或－5.

我还有这些不足：
(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
我的课下提升方案：
(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(　　)
A.4 B.－4　　　C.－2　　　D.2
【解析】　由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
【答案】　D
2.(2016·衡水高二检测)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)
A.f′(x0)>0 B.f′(x0)＝0
C.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在
【解析】　切线的斜率为k＝－2，
由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.
【答案】　C
3.已知曲线f(x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　)
A.(1，1) B.(－1，1)
C.(1，1)或(－1，－1) D.(2，8)或(－2，－8)
【解析】　因为f(x)＝x3，所以Error! No bookmark name given.＝Error! No bookmark name given.＝Error! No bookmark name given.[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).
【答案】　C
4.(2016·银川高二检测)若曲线f(x)＝x2的一条切线l及直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
【解析】　设切点为(x0，y0)，
∵Error! No bookmark name given. ＝Error! No bookmark name given. ＝Error! No bookmark name given. (2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
∴x0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
【答案】　A
5.曲线f(x)＝在点处的切线的斜率为(　　)
【导学号：】
A.2 B.－4 C.3　　　D.
【解析】　因为Error! No bookmark name given. ＝Error! No bookmark name given. ＝Error! No bookmark name given. ＝－，
所以曲线在点处的切线斜率为
k＝f′＝－4.
【答案】　B
二、填空题
6.(2016·太原高二检测)若f′(x0)＝1，则
Error! No bookmark name given. ＝__________.
【解析】　Error! No bookmark name given.
＝－Error! No bookmark name given. ＝－f′(x0)＝－.
【答案】　－
7.曲线f(x)＝x2－2x＋3在点A(－1，6)处的切线方程是__________.
【解析】　因为y＝x2－2x＋3，切点为A(－1，6)，所以斜率k＝f′(－1)
＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. (Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
【答案】　4x＋y－2＝0
8.若曲线f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________.
【解析】　设P(x0，y0)，则
f′(x0)＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0).
【答案】　(0，0)
三、解答题
9.(2016·安顺高二检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3及直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程.
【解】　由方程组得x2－2x＋1＝0，
解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2，
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.
10.试求过点P(3，5)且及曲线y＝f(x)＝x2相切的直线方程.
【解】　Error! No bookmark name given. ＝Error! No bookmark name given. ＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0).
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝x.
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝，∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25).
当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
[能力提升]
1.(2016·天津高二检测)设f(x)为可导函数，且满足Error! No bookmark name given. ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)
A.2 B.－1
C.1 D.－2
【解析】　∵Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. ＝－1，
∴Error! No bookmark name given. ＝－2，即f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.
【答案】　D
2.(2016·郑州高二检测)已知直线x－y－1＝0及抛物线y＝ax2相切，则a的值为________.
【解析】　设切点为P(x0，y0)，
则f′(x0)＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. (2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.
又y0＝ax，x0－y0－1＝0，
联立以上三式，得解得a＝.
【答案】　
3.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)及曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值.
【导学号：】
【解】　因为f′(x)＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. ＝2ax，
所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
因为g′(x)＝Error! No bookmark name given.
＝Error! No bookmark name given. ＝3x2＋b，
所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.
因为在交点(1，c)处有公切线，
所以2a＝3＋b.①
又因为c＝a＋1，c＝1＋b，
所以a＋1＝1＋b，即a＝b，
代入①式，得
4.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线及直线 12x＋y＝6平行，求a的值.
【解】　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时，
无限趋近于3x＋2ax0－9，
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9，
∴f′(x0)＝3－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线及12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12，
∴－9－＝－12，
解得a＝±3.又a<0，
∴a＝－3.

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