函数的最大值与导数拖就.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3.3函数的最大（小）值与导数,高二数学 选修1-1,第三章 导数及其应用,1,a,b,y=f(x),x,o,y,y=f(x),x,o,y,a,b,f,(,x,)0,f,(,x,)0,复习:一、函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x)在,某个区间,内可导，,f(x)为,增函数,f(x)为,减函数,2,二、函数的极值定义,设函数f(x)在点x,0,附近有定义，,如果对,X,0,附近的所有点，都有,f(x)f(x,0,),则f(x,0,)是函数f(x)的一个极小值，记作,y,极小值,=f(x,0,)；,函数的,极大值,与,极小值,统称,为,极值,.,使函数取得极值的点,x,0,称为,极值点,3,x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,观察下列图形,你能找出函数的极值吗？,观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的 极大值。,4,求解函数极值的一般步骤：,（1）确定函数的定义域,（2）求函数的导数f(x),（3）求方程f(x)=0的根,（4）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格,（5）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,左正右负极大值，,左负右正极小值,5,在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题,函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,新 课 引 入,极值是一个,局部,概念，极值只是某个点的函数值与它,附近点,的函数值比较是最大或最小,并,不意味,着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,6,知识回顾,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足：,1,最大值:,（1）对于任意的x,I,，都有f(x)M;,（2）存在x,0,I,，使得f(x,0,)=M,那么，称,M,是函数,y=f(x),的,最大值,2最小值:,一般地，设函数y=f(x)的定义域为,I,，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的x,I,，都有f(x)M;,（2）存在x0,I,，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的,最小值,7,观察下列图形,你能找出函数的最值吗？,x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.,在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,因此：该函数没有最值。,f(x),max,=f(a),f(x),min,=f(x,3,),8,x,o,y,a,x,1,b,y=f(x),x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,如何求出函数在a,b上的最值？,一般的如果在区间，a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。,9,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,f(x,1,)、f(x,3,),f(x,2,),f(b),f(x,3,),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x,3,)是最小值，而f(b)是最大值呢？,x,X,2,o,a,X,3,b,x,1,y,y=f(x),10,(2)将,y,=,f,(,x,)的各极值与,f,(,a,)、,f,(,b,)(端点处),比较,其中最大的一个为最大值，最小的,一个最小值.,求,f,(,x,)在,闭区间,a,b,上的最值的步骤：,(1)求,f,(,x,)在区间(,a,b,)内极值(极大值或极小值)；,新授课,注意:,1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一,2.最大值一定比最小值大.,11,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).,12,题型：求函数的最大值和最小值,1、求出所有导数为0的点；,2、计算；,3、比较确定最值。,13,例2:求函数y=x,4,-2x,2,+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x变化时,的变化情况如下表:,x,-2,(-2,-1),-1,(-1,0),0,(0,1),1,(1,2),2,y,-,0,+,0,-,0,+,y,13,4,5,4,13,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,题型：求函数的最大值和最小值,14,练习：,函数,y,=,x,+3,x,9,x,在 4,4,上的最大值为,最小值为,.,分析:,(1)由,f,(,x,)=3,x,+6,x,9=0,(2)区间4,4,端点处的函数值为,f,(4)=20,f,(4)=76,得,x,1,=3，,x,2,=1,函数值为,f,(3)=27,f,(1)=5,76,-5,当x变化时，y、y的变化情况如下表：,x,-4,(-4,-3),-3,(-3,1),1,(1,4),4,y,+,0,-,0,+,0,y,20,27,-,5,76,比较以上各函数值，可知函数在4,4,上的最大值为,f,(4)=76，最小值为,f,(1)=5,15,练习：,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：,54,-54,22,-10,2,-18,a,a-40,16,典型例题,反思：本题属于逆向探究题型：,其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。,17,拓展提高,1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把,闭区间【a，b】换成开区间（a,b）,是否一定有最值呢？如下图：,不一定,2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。,3、,如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。,18,有两个极值点时，函数有无最值情况不定。,19,动手试试,20,4、函数y=x,3,-3x,2,，在2，4上的最大值为（),(A)-4 (B)0 (C)16 (D)20,C,21,1.,求函数f(x)=x,2,-4x+6在区间1，5内的极值与最值,故函数f(x)在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2,解法二:,f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x-4=0，,得x=2,x,1,（1，2）,2,（2，5）,5,y,，,0,y,-,+,3,11,2,选做题,：,解法一:,将二次函数f(x)=x,2,-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,22,2、,解,令,解得,x,0,(0,),(,),+,-,+,0,0,(,),0,23,应用,(2009年天津（文）21T),处的切线的斜率；,设函数 其中,（1）当 时，求曲线 在点,（2）求函数 的单调区间与极值。,答,:（1）斜率为1;,(2),24,（04浙江文21）（本题满分12分）,已知a为实数，,（）求导数 ；,（）若 ，求 在-2，2上的最大值和最小值；,（）若 在（-，-2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围。,25,一.是利用函数性质,二.是利用不等式,三.是利用导数,求函数最值的一般方法,小结：,26,