高中数学函数的单调性习题课北师大版必修.doc

函数的单调性习题课
时间：45分钟　满分：80分
班级________　　姓名________　　分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)<f(2x－3)的x的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
答案：D
解析：依题意，得不等式f(x)<f(2x－3)等价于x<2x－3，由此解得x>3，即满足f(x)<f(2x－3)的x的取值范围是(3，＋∞)．故选D.
2．已知函数f(x)＝x2－6x＋8在[1，a)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．[0,3]
C．[3，＋∞) D．(1,3]
答案：D
解析：∵f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]．又f(x)＝x2－6x＋8在[1，a)上单调递减，∴a≤3.又a>1，∴1<a≤3.故选D.
3．函数f(x)＝，则f(x)的最大值和最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．10,7
答案：A
解析：作出分段函数f(x)＝的图象(图略)，由图象可知f(x)max＝f(2)＝22＋6＝10，f(x)min＝f(－1)＝－1＋7＝6.故选A.
4．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．f(a2＋a)<f(1) B．f(a2－1)>f(a)
C．f(a2＋a)<f(－1) D．f(a2＋1)>f(a)
答案：C
解析：∵a2＋a与1、a2－1与a的大小不能确定，∴A，B选项中的不等式不一定成立．∵a2＋a－(－1)＝2＋>0，∴a2＋a>－1.又f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(a2＋a)<f(－1)．D选项中，a2＋1－a＝2＋>0，应有f(a2＋1)<f(a)，故D选项中不等式不成立．故选C.
5．函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且f(x)在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，则函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上(　　)
A．是增函数，且最小值为－5
B．是增函数，且最大值为－5
C．是减函数，且最小值为－5
D．是减函数，且最大值为－5
答案：B
解析：作出满足题意的图象(图略)，可知函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为－5.故选B.
6．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，则a的范围是(　　)
A．(0，)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(，＋∞)
D．(－2，＋∞)
答案：C
解析：设－2<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝
＝
＝
∵－2<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，
∴<0，
∵f(x)在(－2，＋∞)上是递增的
∴f(x1)－f(x2)<0，即2a－1>0，∴a>.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．设函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈R(x1≠x2)都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______________．
答案：f(－3)>f(－π)
解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，
∴f(－3)>f(－π)．
8．设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的最小值为________．答案：－2
解析：由题意，可得－≤2，解得a≥－2，所以实数a的最小值为－2.
9．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原像；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．
其中真命题是_______．(写出所有真命题的编号)
答案：②③
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．讨论当x>0时， f(x)＝x－(a>0)的单调区间，并求当a＝3时， f(x)在[3,6]上的值域．
解：设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)(1＋)
∵x2>x1>0，a>0∴1＋>0，x1－x2<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴f(x)在[3,6]是递增的．
f(3)≤f(x)≤f(6)即f(x)∈
∴f(x)在[3,6]上值域[2，]
11．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求证：函数f(x)在定义域上是递增的；
(3)求函数f(x)的最小值．
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．
(2)证明：设－1<x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，>0，>0.
∴f(x1)<f(x2)，即Δy＝f(x2)－f(x1)>0，
∴函数f(x)在定义域上是递增的．
(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是递增的，
∴f(x)≥f(－1)＝0，即函数f(x)的最小值是0.
12．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
(1)求f(8)的值；
(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集．

解：(1)由题意，得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝3f(2)＝3.
(2)原不等式可化为f(x)>3＋f(x－2)，
∵f(8)＝3，∴3＋f(x－2)＝f(8)＋f(x－2)＝f(8(x－2))，
∴f(x)>f(8(x－2))的解集即为所求．
∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴，解得2<x<.
∴原不等式的解集为.