新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总.doc

二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
知识点二：取值范围
1、   二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、  二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
例4(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求a2004+b2004的值
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
例1 计算
1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2
例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，
即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简
（1） （2） （3） （4）
例2 填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？（2）若=-a，则a是什么数？ （3）>a，则a是什么数？
例3当x>2，化简-．
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：二次根式的乘除
1、 乘法·＝（a≥0，b≥0） 反过来：=·（a≥0，b≥0）
2、除法=（a≥0，b>0） 反过来，=（a≥0，b>0）
（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0）
例1．计算
（1）4× （2）× （3）× （4）×
例2 化简
（1） （2） （3） （4）
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
例4．计算：（1） （2） （3） （4）
例5．化简：
（1） （2） （3） （4）
例6．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

3、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）
例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1) ; (2) ; (3)
4、化简最简二次根式的方法：
(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；
(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；
(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）
5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；              ②与；
③与；       ④与．
    说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如与
知识点八：二次根式的加减
1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
例1．计算（1）+ （2）+
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
解：（1）+=2+3=（2+3）=5
（2）+=4+8=（4+8）=12
例2．计算
（1）3-9+3（2）（+）+（-）
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减
3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．
   （3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小
例4．比较3与4的大小
4