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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第九节函数模型及其应用,1/32,总纲目录,教材研读,1.,几个常见函数模型,考点突破,2.,三种增加型函数模型图象与性质,3.,解函数应用题步骤（四步八字）,考点二,函数,y,=,ax,+,模型,考点一一次函数与二次函数模型,考点三指数函数、对数函数模型,考点四分段函数,2/32,1.几个常见函数模型,教材研读,3/32,4/32,2.三种增加型函数模型图象与性质,5/32,3.解函数应用题步骤(四步八字),(1)审题:,搞清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;,(2)建模:,将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用,数学知识建立对应数学模型;,(3)求模:,求解数学模型,得出数学结论;,(4)还原:,将用数学方法得到结论还原为实际问题意义.,以上过程用框图表示以下:,6/32,1.下表是函数值,y,随自变量,x,改变一组数据,它最可能函数模型是,(),A.一次函数模型B.幂函数模型,C.指数函数模型D.对数函数模型,x,4,5,6,7,8,9,10,y,15,17,19,21,23,25,27,答案,A依据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,所以函数,值增量是均匀,故为一次函数模型.,A,7/32,2.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种,细菌由1个繁殖成4 096个需经过,(),A.12小时B.4小时C.3小时D.2小时,答案,C设需经过,t,小时,由题意知2,4,t,=4 096,即16,t,=4 096,解得,t,=3.,C,8/32,3.(北京西城二模)某工厂更新设备,已知在未来,x,年内,此设备所花,费各种费用总和,y,(万元)与,x,之间函数关系式为,y,=4,x,2,+64,若欲使此,设备年平均花费最低,则此设备使用年限,x,为,(),A.3B.4C.5D.6,答案,B设该设备年平均花费为,z,万元,则,z,=,=,=4,x,+,3,2,当且仅当4,x,=,即,x,=4时,z,取最小值,故选B.,B,9/32,4.用长度为24材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形,面积最大,则隔墙长度为,.,答案,3,解析,设隔墙长度为,x,矩形面积为,S,则,S,=(12-2,x,),x,=-2,x,2,+12,x,=-2(,x,-,3),2,+18,当,x,=3时,S,取最大值.,3,10/32,典例1,某跳水运动员在一次跳水训练时跳水曲线为如图所表示一,段抛物线.已知跳水板,AB,长为2 m,跳水板距水面,CD,高,BC,为3 m.为,安全和空中姿态优美,训练时跳水运动员应在离起跳点,A,水平距离为,h,m(,h,1)一处到达距水面最大高度4 m.要求:以,C,为原点,CD,所在直,线为横轴,BC,所在直线为纵轴建立直角坐标系.,(1)当,h,=1时,求跳水曲线所在抛物线方程;,(2)当跳水运动员在区域,EF,内入水时才能到达比很好训练效果,求此,时,h,取值范围.,考点一一次函数与二次函数模型,考点突破,11/32,解析,(1)由题意知最高点为(2+,h,4),h,1,设抛物线方程为,y,=,a,x,-(2+,h,),2,+4,当,h,=1时,最高点为(3,4),抛物线方程为,y,=,a,(,x,-3),2,+4,将,A,(2,3)代入,得3=,a,(2-3),2,+4,解得,a,=-1,所以当,h,=1时,跳水曲线所在,抛物线方程为,y,=-(,x,-3),2,+4.,(2)将点,A,(2,3)代入,y,=,a,x,-(2+,h,),2,+4,得,ah,2,=-1.,由题意知方程,a,x,-(2+,h,),2,+4=0在区间5,6内有一解.,令,f,(,x,)=,a,x,-(2+,h,),2,+4=-,x,-(2+,h,),2,+4,则,f,(5)=-,(3-,h,),2,+4,0,且,f,(6)=-,(4-,h,),2,+4,0.,解得1,h,.,故所求,h,取值范围是,.,12/32,方法技巧,对于实际生活中二次函数问题(如面积、利润、产量问题等),可依据,已知条件确定二次函数模型,结合二次函数图象、单调性、零点解,决,解题时一定要注意函数定义域.,13/32,1-1,(北京西城二模)某市家庭煤气使用量,x,(m,3,)和煤气费,f,(,x,)(元),满足关系,f,(,x,)=,已知某家庭今年前三个月煤气费如,下表:,月份,用气量,煤气费,一月份,4 m,3,4元,二月份,25 m,3,14元,三月份,35 m,3,19元,若四月份该家庭使用了20 m,3,煤气,则其煤气费为,(),A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元,A,14/32,解析,A由题表知一月份、二月份、三月份煤气费分别为4元,14元,19元,这三个月煤气费计算有以下2种情况:,(1)这三个月煤气费均由,f,(,x,)=,C,+,B,(,x,-,A,)(,x,A,)计算得到.,故,由得,B,=,.,由得,B,=,.,矛盾.故不可能为此种情况.,(2)一月份煤气费由,f,(,x,)=,C,(0,A,)计算得到.,f,(,x,)=,当,x,=20时,f,(20)=4+,(20-5)=11.5.故选A.,16/32,考点二函数,y,=,ax,+模型,典例2,某养殖场需定时购置饲料,已知该场天天需要饲料200千克,每,千克饲料价格为1.8元,饲料保管费与其它费用平均每千克天天0.03,元,购置饲料每次支付运费300元.求该场多少天购置一次饲料才能使平,均天天支付总费用最少.,解析,设该场,x,(,x,N,*,)天购置一次饲料可使平均天天支付总费用最,少,平均天天支付总费用为,y,元.,因为饲料保管费与其它费用天天比前一天少200,0.03=6(元),所以,x,天,饲料保管费与其它费用共是6(,x,-1)+6(,x,-2)+,+6=(3,x,2,-3,x,)(元).,17/32,从而有,y,=,(3,x,2,-3,x,+300)+200,1.8=,+3,x,+357,417,当且仅当,=3,x,即,x,=10时,y,有最小值.故该场10天购置一次饲料才能使平均天天支付,总费用最少.,18/32,方法指导,应用函数,f,(,x,)=,ax,+,模型关键点,(1)明确对勾函数是正百分比函数,f,(,x,)=,ax,与反百分比函数,f,(,x,)=,叠加而成.,(2)处理实际问题时普通能够直接建立,f,(,x,)=,ax,+,模型,有时能够将所,列函数关系式转化为,f,(,x,)=,ax,+,形式.,(3)利用模型,f,(,x,)=,ax,+,求解最值时,要注意自变量取值范围,及取得最,值时等号成立条件.,19/32,2-1,利民工厂某产品年产量在150吨至250吨之间,年生产总成本,y,(万元)与年产量,x,(吨)之间关系可近似地表示为,y,=,-30,x,+4 000,则每,吨成本最低时年产量为,(),A.240吨B.200吨C.180吨D.160吨,答案,B依题意,得每吨成本为,=,+,-30,则,2,-,30=10,当且仅当,=,即,x,=200时取等号,所以,当每吨成本最低时,年产量为200吨.,B,20/32,考点三指数函数、对数函数模型,典例3,(1)(北京西城期末)某食品保鲜时间,t,(单位:小时)与储备,温度,x,(恒温,单位:)满足函数关系,t,=,且该食品在4 保鲜,时间是16小时.,该食品在8 保鲜时间是,小时;,已知甲在某日早晨10时购置了该食品,并将其遗放在室外,且此日,室外温度随时间改变如图所表示,那么到了此日13时,甲所购置食品是,否过了保鲜时间,.(填“是”或“否”),21/32,(2)(四川,8,5分)某食品保鲜时间,y,(单位:小时)与储备温度,x,(单位:,)满足函数关系,y,=e,kx,+,b,(e=2.718,为自然对数底数,k,b,为常数).若该,食品在0 保鲜时间是192小时,在22 保鲜时间是48小时,则该食,品在33 保鲜时间是,(),A.16小时B.20小时C.二十四小时D.28小时,22/32,答案,(1)4是(2)C,解析,(1)食品在4 保鲜时间是16小时,2,4,k,+6,=16,解得,k,=-,.,t,(8)=2,-4+6,=4.,由题图可知在12时时,温度为12,此时该食品保鲜时间为2,-6+6,=2,0,=,1小时.,到13时,该食品已过保鲜时间.,(2)由已知得192=e,b,48=e,22,k,+,b,=e,22,k,e,b,将代入得e,22,k,=,则e,11,k,=,当,x,=33时,y,=e,33,k,+,b,=e,33,k,e,b,=,192=24,所以该食品在33 保鲜时间是,二十四小时.故选C.,23/32,方法技巧,普通地,包括增加率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都能够考,虑用指数函数模型求解.求解时注意指数式与对数式互化,指数函,数值域影响以及实际问题中条件限制.,24/32,3-1,(四川,7,5分)某企业为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.,若该企业整年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入研,发资金比上一年增加12%,则该企业整年投入研发资金开始超出200,万元年份是,(),(参考数据:lg 1.12,0.05,lg 1.3,0.11,lg 2,0.30),A.B.C.D.,B,25/32,答案,B设第,n,(,n,N,*,)年该企业整年投入研发资金开始超出200万,元.,依据题意得130(1+12%),n,-1,200,则lg130(1+12%),n,-1,lg 200,lg 130+(,n,-1)lg 1.12lg 2+2,2+lg 1.3+(,n,-1)lg 1.12lg 2+2,0.11+(,n,-1),0.050.30,解得,n,又,n,N,*,n,5,该企业整年投入研发资金开始超出200万元年份是.故选,B.,26/32,典例4,国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以,下,飞机票每张收费900元;若每团人数大于30,则给予优惠:每多1人,机,票每张降低10元,直到抵达要求人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给,航空企业包机费15 000元.,(1)写出飞机票价格关于人数函数;,(2)每团人数为多少时,旅行社可取得最大利润?,考点四分段函数,27/32,解析,(1)设旅行团人数为,x,由题意得0,x,75(,x,N,*,),飞机票价格为,y,元,则,y,=,(,x,N,*,),即,y,=,(,x,N,*,).,(2)设旅行社赢利,S,元,则,S,=,(,x,N,*,),即,S,=,(,x,N,*,).,因为,S,=900,x,-15 000在区间(0,30上为单调增函数,故当,x,=30时,S,取最大,值12 000元,又,S,=-10(,x,-60),2,+21 000定义域为(30,75,所以当,x,=60时,S,取得最大值21 000.故当,x,=60时,旅行社可取得最大利润.,28/32,方法技巧,(1)在很多实际问题中,变量间关系不能用一个关系式表示,这时就需,要构建分段函数模型,如出租车收费与旅程关系.(2)求函数最值,常利用基本不等式、导数、函数单调性等.在求分段函数最值时,应先求每一段上最值,然后比较得最大值、最小值.,29/32,4-1,某旅游景点预计1月份起前,x,个月旅游人数和,p,(,x,)(单,位:万人)与,x,关系近似为,p,(,x,)=,x,(,x,+1)(39-2,x,)(,x,N,*,且,x,12).已知第,x,个月人均消费额,q,(,x,)(单位:元)与,x,关系近似是,q,(,x,)=,(1)写出第,x,个月旅游人数,f,(,x,)(单位:人)与,x,函数关系式;,(2)试问第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为,多少元?,30/32,解析,(1)当,x,=1时,f,(1)=,p,(1)=37,当2,x,12,且,x,N,*,时,f,(,x,)=,p,(,x,)-,p,(,x,-1),=,x,(,x,+1)(39-2,x,)-,(,x,-1),x,(41-2,x,),=-3,x,2,+40,x,经验证,x,=1时也满足此式,所以,f,(,x,)=-3,x,2,+40,x,(,x,N,*,且1,x,12).,(2)由题意知第,x,个月旅游消费总额为,g,(,x,)=,即,g,(,x,)=,当1,x,6,且,x,N,*,时,31/32,g,(,x,)=18,x,2,-370,x,+1 400,令,g,(,x,)=0,解得,x,=5或,x,=,(舍去).,当1,x,5时,g,(,x,),0,当5,x,6时,g,(,x,)0,g,(,x,),max,=,g,(5)=3 125(万元).,当7,x,12,且,x,N,*,时,g,(,x,)=-480,x,+6 400是减函数,g,(,x,),max,=,g,(7)=3 040(万元).,综上,5月份旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为3 125万元.,32/32,
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