数值分析：2.1-2.2 插值问题的提出及 Lagrange 插值.ppt

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数值分析,2.1,插值问题的提出,第二章 函数近似计算的插值法,1,插值问题的提出,2,插值,：已知,a,b,上的函数,y=,f,(,x,),在,n+1,个互异点处的函数值,:,f,n,f,2,f,1,f,0,f,(,x,),x,n,x,2,x,1,x,0,x,求简单函数,P,(,x,),，,使得,计算,f,(,x,),可通过计算,P,(,x,),来,近似代替。如下图所示。,y,x,x,0,x,1,f,0,f,1,x,2,f,2,x,i,f,i,x,i+,1,f,i+1,x,n-,1,f,n-1,x,n,f,n,P,(,x,),f,(,x,),一、插值问题,的数学提法,3,这就是插值问题,(*),式为插值条件,其插值函数的图象如图,4,5,整体误差的大小反映了插值函数的好坏,.,为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函,数都使用代数多项式或有理函数,.,本章讨论的就是,代数插值多项式,.,6,满足插值条件的多项式,P(x),是否存在且唯一？,2.,若满足插值条件的,P(x),存在,又如何构造出,P(x);,即插值多项式的常用构造方法有哪些？,3.,用,P(x),代替,f(x),的误差估计，即截断误差的估计；,对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题,：,4.,当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于,f(x),。,7,二、代数插值多项式的存在唯一性,且满足,8,-(1),上述方程组的系数行列式为,n+1,阶,Vandermond,行列式,9,定理,1.,由,Cramer,法则,线性方程组,(1),有唯一解,-(3),-(2),则满足插值条件,的插值多项式,存在且唯一,.,虽然线性方程组,(1),推出的插值多项式存在且唯一,但通过解,线性方程组,(1),求插值多项式却不是好方法,.,10,数值分析,5.2,Lagrange,插值多项式,第五章 函数近似计算的插值法,11,若通过求解线性方程组,(1),来求解插值多项式,系数,不但计算工作量较大,且难于得到,的简单表达式,.,一、,代数多项式的构造,:,通过找插值基函数的方法,得到插值多项式,!,十八世纪法国数学家,Lagrange,对以往的插值算法进,行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式，,称为,Lagrange,插值公式,。,它的特例是,线性插值公式,和,抛物线插值公式,。,Lagrange,插值多项式,12,1.,线性插值,已知两个插值点及其函数值：,x,x,0,x,1,f,(,x,),f,0,f,1,插值节点,对应的函数值,求一次多项式,使得,由于方程组的系数行列式,13,所以，按,Gramer,法则，有唯一解,于是,或,(B-1）,14,容易验证，过点（,x,0,，,f,0,）,与（,x,1,，,f,1,）,直线方程就是,式（,B-1,）,，,如图,5-3,所示。,y,x,x,0,x,1,p,1,(,x,),f,(,x,),p,1,(,x,),f,(,x,),误差,图,5-3,15,2.,抛物线插值,已知三个插值节点及其函数值：,f,2,f,1,f,0,f,(,x,),x,2,x,1,x,0,x,求,一个二次多项式,使得,由于该方程组的系数行列式,16,所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确定的。,满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式,。,容易看出,容易验证，,p,2,(,x,),是过点,(,x,0,f,0,),、,(,x,1,f,1,),与,(,x,2,f,2,),三点的抛物线，如图,5-4,所示。,y,x,x,1,x,0,x,2,p,2,(,x,),f,(,x,),图,5-4,f,0,f,1,f,2,17,3.n,次,Lagrange,插值,已知,n,+1,个插值节点及其函数值：,f,n,f,2,f,1,f,0,f,(,x,),x,n,x,2,x,1,x,0,x,插值节点,相应的函数值,求次数不超过,n,的多项式,P,n,(,x,),。,使得,18,根据线性空间的理论,并且形式不是唯一的,且在不同的基下有不同的形式,19,且满足插值条件,:,20,n+1,次多项式,21,且,-(4),从而,22,令,即,由,(4),式,可得,23,其中,-(6),-(5),24,其中,这个改写了,Lagrange,插值公式,，在许多理论分析中是非常有用的。,Lagrange,插值公式的标准型公式,:,25,例,1:,解,:,26,且,在例,1,中,如果只给出两个节点,169,和,225,也可以作插值,多项式,即,1,次,Lagrange,插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为,Lagrange,线性,插值,也可以在,n+1,个,节点中取相邻的两个节点作线性插值,27,Lagrange,线性插值基函数,(,一次插值,),为,Lagrange,线性插值多项式为,28,例2.,解,:,Lagrange,插值基函数为,29,所以,Lagrange,线性插值多项式为,30,二、插值余项,满足,不会完全成立,因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估,计这个截断误差呢？,31,32,根据,Rolle,定理,再由,Rolle,定理,依此类推,由于,33,所以,因此,即,34,定理,1,.,Lagrange,型余项,35,设,则,36,插值基函数的性质,37,Lagrange,插值算法特点,&,局限性,优点：,公式简洁,理论分析方便,直观；,对称；,容易编程上机等。,缺点：,基函数计算复杂，计算量大,每增加一个节点，插值多项式的所有系,数都得重算；,计算量为 。,下一节提出的,Newton,插值法,就是克服了上缺点。,38,罗尔,(,Rolle,),定理,补充资料,-01,如果函数,f,(,x,),在封闭区间,a,b,上连续，在开区间,(,a,b,),内具有导数，且在区间端点的函数值相等，即,f,(,a,)=,f,(,b,),，,那么在,(,a,b,),内至少有一点,（,a,b,），,使得函数,f,(,x,),在该点的导数等于零：,Rolle,定理的,几何意义,是：如果连续曲线,y,=,f,(,x,),的弧 上除端点外处处具有不垂直于,x,轴的切线且两端点的纵坐标相等（,f,(,a,)=,f,(,b,),），,那么这弧 上至少有一点,C,处的切线平行于轴（见图,-A,）。,图,-A,A,B,C,a,b,y,x,（,1,）,39,Lagrange,中值定理,如果函数,f,(,x,),在封闭区间,a,b,上连续，在开区间,(,a,b,),内具有导数，那么在,(,a,b,),内至少有一点,（,a,b,），,使得等式,（,2,）,成立。,或,（,3,）,图,-B,A,B,C,a,b,y,x,f,(,b,)-,f,(,a,),O,几何意义,从图,-B,可看出：曲线弧 上的点,C,处的,切线，平行于弦,AB,。,补充资料,-02,40,See you later!,41,