数字图像处理及应用：第三章 离散余弦变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2,离散余弦变换,图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换。其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为,DCT,。,3.2.1,离散余弦变换的定义,一维离散余弦变换的定义由下式表示,(374),(375),式中,F,(,u,),是第,u,个余弦变换系数，,u,是广义频率变量，,u,=1,2,N,-1,；,f,(,x,),是时域,N,点序列，,x,=1,2,N,-1,一维离散余弦反变换由下式表示,(376),显然，式,(3,74),式,(3,75),和式,(3,76),构成了一维离散余弦变换对。,二维离散余弦变换的定义由下式表示,(377),式,(377),是正变换公式。其中,f,(,x,y,),是空间域二维向量之元素。,x,y,=0,1,2,N,-1,，,F,(,u,v,),是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为,N,N,二维离散余弦反变换由下式表示,(3,78),式中的符号意义同正变换式一样。式,(3,77),和式,(3,78),是离散余弦变换的解析式定义。更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。如果令,N,4,，那么由一维解析式定义可得如下展开式,(379),写成矩阵式,(380,),若定义,A,为变换矩阵，,F,(,u,),为变换系数矩阵，,f,(,x,),为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式,(381),同理，可得到反变换展开式,(382),写成矩阵式,即,(384),当然，二维离散余弦变换也可以写成矩阵式,(385),式中,f,(,x,y,),是空间数据阵列，,F,(,u,v,),是变换系数阵列，,A,是变换矩阵，是,A,的转置。,3.2.2,离散余弦变换的正交性,由一维,DCT,的定义可知,它的基向量是,(386),在高等数学中，切比雪夫多项式的定义,为,(387),式中 是 和 多项式。它的第,N,个多项式为,如果,那么,将此式代入,显然，这与一维,DCT,的基向量是一致的。因为切比雪夫多项式是正交的，所以,DCT,也是正交的。另外，离散余弦变换的正交性也可以通过实例看出。如前所示，当,N,时，,(388),显然,这是满足正交条件的。从上述讨论可见，离散余弦变换是一类正交变换。,3.2.3,离散余弦变换的计算,与傅里叶变换一样，离散余弦变换自然可以由定义式出发进行计算。但这样的计算量太大，在实际应用中很不方便。所以也要寻求一种快速算法。,首先，从定义出发，作如下推导,(389),式中 是取其实部的意思。如果把时域数据向量作下列延拓，即：,(390),则 的离散余弦变换可写成下式,(391),由式,(391),可见,是,2,N,点的离散傅里叶变换,。,所以，在作离散余弦变换时，可以把序列长度延拓为,2,N,，然后作离散傅里叶变换，产生的结果取其实部便可得到余弦变换。,同样道理，在作反变换时，首先在变换空间，把,F,(,u,),作如下下延拓,(392),那么，反变换也可用式,(393),表示,(393),由式,(393),可见，离散余弦反变换可以从,的,2N,点反傅里叶变换实现。,