常系数非齐次线微分方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,YANGZHOU UNIVERSITY,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九节,一、,二、,第十二章,1/25,二阶常系数线性非齐次微分方程:,依据解结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解方法,依据,f,(,x,)特殊形式,待定形式,代入原方程比较两端表示式以确定待定系数.,待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2/25,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1)若,不是特征方程根,则取,从而得到特解,形式为,为,m,次多项式.,Q,(,x,)为,m,次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3/25,(2)若,是特征方程,单根,为,m,次多项式,故特解形式为,(3)若,是特征方程,重根,是,m,次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程,k,重根,时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4/25,例1.,一个特解,.,解:,本题,而特征方程为,不是特征方程根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5/25,例2.,通解,.,解:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,所以特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6/25,例3.,求解定解问题,解:,本题,特征方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7/25,于是所求解为,解得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8/25,二、,第二步,求出以下两个方程特解,分析思绪:,第一步,将,f,(,x,)转化为,第三步,利用叠加原理求出原方程特解,第四步,分析原方程特解特点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9/25,第一步,利用欧拉公式将,f,(,x,)变形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/25,第二步,求以下两方程特解,是特征方程,k,重根(,k,=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程,特解.,设,则,有,特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/25,第三步,求原方程特解,利用第二步结果,依据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为,m,次多项式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12/25,第四步,分析,因,均为,m,次实,多项式.,本质上为实函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13/25,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程,k,重根(,k,=0,1),上述结论也可推广到高阶方程情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14/25,例4.,一个特解,.,解:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15/25,例5.,通解,.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程通解为,比较系数,得,所以特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程单根,所以设非齐次方程特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16/25,例6.,解:,(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设以下高阶常系数线性非齐次方程特解形式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17/25,例7.,求物体运动规律.,解:,问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当,p,k,时,齐次通解:,非齐次特解形式:,所以原方程之解为,第七节例1,(P294),中若设物体只受弹性恢复力,f,和铅直干扰力,代入可得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18/25,当干扰力角频率,p,固有频率,k,时,自由振动,强迫振动,当,p,=,k,时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19/25,若要利用共振现象,应使,p,与,k,尽可能靠近,或使,伴随,t,增大,强迫振动振幅,这时产生共振现象.,可无限增大,若要防止共振现象,应使,p,远离固有频率,k,;,p,=,k,.,自由振动,强迫振动,对机械来说,共振可能引发破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有,利作用,如收音机调频放大即是利用共振原理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20/25,内容小结,为特征方程,k,(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程,k,(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21/25,思索与练习,时可设特解为,时可设特解为,提醒:,1.,(填空),设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22/25,2.,求微分方程,通解 (其中,为实数).,解:,特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23/25,3.,已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程通解.,解:,将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24/25,作业,P317 1(1),(5),(6),(10);,2(2),(4);,3;6,习题课2 目录 上页 下页 返回 结束,25/25,