常系数齐次微分方程求解省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,第七节 常系数齐次线性微分方程,基本思绪:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第1页,一、定义,n,阶常系数线性微分方程标准形式,二阶常系数齐次线性方程标准形式,二阶常系数非齐次线性方程标准形式,二阶常系数齐次线性微分方程,第2页,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特点,未知函数与其各阶导数线性组合等于0,即函数和其各阶导数只相差常数因子,猜测,有特解,由此可见,只要,r,满足代数方程,r,2,pr,q,0,函数,y,e,rx,就是,微分方程解,第3页,有两个不相等实根,特征根为,两个线性无关特解,得齐次方程通解为,1.当,第4页,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(,u,(,x,),待定),代入方程得:,是特征方程重根,取,u=x,则得,所以原方程通解为,第5页,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解叠加原理,得原方程线性无关特解:,所以原方程通解为,第6页,小结:,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,第7页,若特征方程含,k,重复根,若特征方程含,k,重实根,r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程,:,推广:,第8页,例1.,通解.,解:,特征方程,特征根:,所以原方程通解为,例2.,求解初值问题,解:,特征方程,有重根,所以原方程通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题解为,第9页,例3.,解:,由第七节例1,(P293),知,位移满足,质量为,m,物体自由悬挂在一端固定弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体运动规律,立坐标系如图,设,t,=0 时物体位置为,取其平衡位置为原点建,所以定解问题为,自由振动方程,第10页,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1)无阻尼自由振动情况 (,n,=0,),第11页,解特征:,简谐振动,A,:振幅,:初相,周期:,固有频率,(仅由系统特征确定),第12页,方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼:,n,k,临界阻尼:,n,=,k,第13页,(,n,k,),大阻尼解特征:,1)无振荡现象;,此图参数:,2)对任何初始条件,即随时间,t,增大物体总趋于平衡位置.,第15页,(,n,=,k,),临界阻尼解特征:,任意常数由初始条件定,最多只与,t,轴交于一点;,即随时间,t,增大物体总趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,第16页,例4.,通解.,解:,特征方程,特征根:,所以原方程通解为,例5.,解:,特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,第17页,例6.,解:,特征方程:,即,其根为,方程通解:,第18页,例7.,解:,特征方程:,特征根为,则方程通解:,第19页,作业：,P-340,习题7-7,1,(3),(6),(10),;2,(2),(3),(6);,3,第20页,