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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,矩阵初等变换与线性方程组求解,理论内容,应用举例,1.矩阵初等变换解线性方程组,1.利用初等变换求整数最大公因数,2.利用初等变换解线性不定方程,2.矩阵初等变换解矩阵方程,3.矩阵初等变换在求特征值与特征向量应用,起点汉字阅读,1/65,若阶梯形矩阵,B,m,n,还满足：,（1）,B,任一非零行第一个非零元（每一,行首非零元或主元）均为1；,（2）,B,首非零元所在列其它元素均,为0.,则称,B,mn,为,行最简形矩阵,。,结论：,任何矩阵都能够经过行初等变换化,为阶梯形，并进而化为行最简形（行最简,形唯一）。,2/65,理论内容,1.,矩阵初等变换解线性方程组,给出单位填充矩阵概念之后，经过对,线性方程组系数矩阵（或增广矩阵）进行,初等变换，,直接得出,其基础解系或普通解。,3/65,定义1：,对于,m,n,阶行最简形矩阵,B,，按以,下方法结构,s,n,矩阵,C,：对任一,i,:,1is,(,1sn,),，若,B,某个首非零元位于第,i,列，则,将其所在行称为,C,第,i,行，不然以,n,维单位,向量,e,i,=(,0,0,1,0,0,)作为,C,第,i,行，称,C,为,B,s,n,单位填充矩阵,。,显然，单位填充矩阵主对角线上元素是“1”,或“,1”，若主对角线上某一元素为“,1”，则该,元素所在列之列向量称为,C,“,J,列向量”。,4/65,定义2：,设,B,为最简形矩阵，若,B,单位填充矩阵,C,任一“,J,列向量”均为以,B,为系数矩阵齐次线性方程组,b,11,x,1,+b,12,x,2,+,+b,1n,x,n,=,0,b,21,x,1,+b,22,x,2,+b,2n,x,n,=,0,b,m1,x,1,+b,m2,x,2,+b,mn,x,n,=,0,(1),解向量，则称,C,与,B,是匹配（亦称,B,与,C,是匹配）,5/65,引理1,设,B,为,m,n,行最简形矩阵，若将,B,第,i,列与第,j,列交换位置所得矩阵,B,仍为行,最简形，则,（1）将,Bs,n,单位填充矩阵,C,第,i,行与,第,j,行交换位置所得矩阵,C,即为,Bs,n,单位填充矩阵，其中,max,i,j,s,。,（2）若,C,与,B,是匹配，则,C,与,B,也是,匹配。,6/65,证实：,结论(1)显然，下证(2)，因为,C,与,B,是匹配，故,C,只能是,n,n,矩阵，从而,C,也是,n,n,矩阵，设以,B,为系数矩阵方程组,为(1)，以,B,为系数矩阵方程组为,b,11,y,1,+b,12,y,2,+,+b,1n,y,n,=,0,b,21,y,1,+b,22,y,2,+,+b,2n,y,n,=,0,b,m1,y,1,+b,m2,y,2,+,+b,mn,y,n,=,0,(2),7/65,则由,B,与,B,关系可知对方程组(1)进行变量代换：,x,1,=y,1,x,j,=y,j,x,n,=y,n,就得到方程组,(2)，,于是方程组(1)任一解向量交换,i,j,两个分量位置就是方程组(2)一个解向量。又从,C,与,C,关系可知，,C,任一“,J,列向量 ”均可由,C,某一“,J,列向量”交换,i,j,两个分量位置后得到，又由,C,与,B,是匹配知，,C,与,B,也是匹配.,8/65,引理1,任一,n,n,行最简形矩阵,B,与其,n,n,单,位填充矩阵,C,是匹配。,证实：,1.,设,9/65,则以,B,为系数矩阵其次线性方程组为：,10/65,而,B,填充矩阵为：,11/65,其全部,J,列向量为：,r+1,=,(,b,1,r+1,b,r,r+1,1,0,0),r+2,=,(,b,1,r+1,b,r,r+1,0,1,0),n,=,(,b,1,n,b,r,n,0,0,1),显然它们都是方程组(4)解，即,B,与,C,是,匹配。,12/65,2.普通形式行最简形矩阵,B,显然总是可,以经过一系列第二类初等列变换（变换两列,位置）化为(3)形式，从而,B,单位填充矩,阵,C,经过对应初等行、列变换就变成矩阵(5),因为这种变换是可逆，据引理2及引理1(2),知,B,与,C,是匹配。,13/65,定理1,设齐次线性方程组,系数矩阵,A,经一系列初等行变换化为最简,形矩阵,B,则,Bn,n,单位填充矩阵,C,所,有“,J,列向量”组成方程组(6)一个基础解,系.,14/65,证实 设以,B,为系数矩阵齐次线性方程组为(1)，则(1)与(6)同解，据引理2知,C,全部,“,J,列向量”组成方程组解，且是,nr,个线性无关解向量(其中,r,=,R,(,A,)=,R,(,B,)，,从而组成方程组(1)一个基础解系，也,就是方程组(6)一个基础解系。,15/65,有解，其增广矩阵,A,经一系列初等行变换化,为行最简形矩阵,B,，则,Bn,(,n+,1),单位填充,矩阵全部“,J,列向量”组成方程组(7)导,出组一个基础解系，而,C,最终一列为方,程组(7)一个特解。,定理2,设非齐次线性方程组,16/65,证实,由定理1，前一结论显然。下证最,后一列为方程组一个特解。,作齐次线性方程组,则方程组(8)系数矩阵即为方程组(7)增广,矩阵,A.,17/65,由定理1知,C,最终一个列向量是方程组,(8)一个解，从而易知,C,最终一个列向,量即为方程组(7)一个特解。,于是,Bn,(,n+,1),单位填充矩阵为：,18/65,例1 求线性方程组,普通解。,解,方程组增广矩阵为：,19/65,用初等行变换将,A,化为行最简形矩阵,B,:,写出,B,5,6,单位填充矩阵,C,：,20/65,于是方程组导出组基础解系为：,21/65,而方程组一个特解为：,从而原方程组普通解为：,其中,k,1,为任意常数。,22/65,2.矩阵初等变换解矩阵方程,设矩阵方程为,其中,X,ns,为所求，对方程(1)有下面结论：,结果1,方程(1)有解充要条件为：,且,(i)若,r=n,，则(1)有唯一解；,(ii)若,r,n,，则(1)有没有穷多解。,23/65,结果2,设方程(1)中,R,(,A,mn,),=r,，且,A,mn,前,r,个,列向量线性无关，则矩阵(,A,mn,B,ms,)可经过一系,列初等行变换化为以下形式,此时，,(i),方程(1)有解充要条件是,E,(,mr,),s,是,零矩阵；,(ii)若,r=n,，则,X,ns,=,D,ns,为(1)唯一解；,24/65,为(1)导出方程解基础阵；,(iii),若,rn,，则矩阵,为(1)一个特解，从而(1)普通解为,其中,H,(,nr,),s,为所论域任意矩阵；,E,r,为,r,阶,单位矩阵；,O,为对应阶零矩阵。,25/65,若,s=,1,，则方程(1)为普通非齐次线性方程组,此时基础阵,F,(,nr,),个列向量即为导出,方程组基础解系，,G,为其一个特解。,26/65,例2,解矩阵方程,27/65,解,28/65,因为,E,23,为零矩阵，由结论2知(4)有解。又,R,(,A,45,)=,2,a,2,0,由辗转相除法知：,证实：,a,1,=,q,1,a,2,+,r,1,0,r,1,a,2,a,2,=,q,2,r,1,+,r,2,0,r,2,r,1,r,m-2,=,q,m,r,m-1,+,r,m,0,r,m,r,m-,1,r,m-1,=q,m+1,r,m,（,m,1,r,m,=d,）,32/65,于是，令,则 命题成立。,(2)假设当 时,，,命题成立。,则当 时，由假定知，存在,k,阶可,逆方阵,A,kk,，,33/65,使得 ，,其中 ，,从而有,又由(1)知，存在二阶可逆方阵,A,22,使得,其中,，,34/65,于是,令,则,.,即当,n=k,时，命题成立，,由归纳法知，当,n,2,时，命题成立。,由命题1证实过程能够得出以下,两个推论,：,35/65,推论1,设,a,1,a,2,a,n,为不全为0整数，则存在,Z,上,n,阶可逆矩阵,B,，使得,且,d,是,a,1,a,2,a,n,最大公因数，,B,是一些初等,矩阵乘积。,B,求法以下：,将,a,1,a,2,a,n,下面写一个单位,矩阵，组成一个(,n+1,),n,矩阵，再对,A,施行列,初等变换，当,A,第一行变成(,d,0,0,)时，则下面单位阵便成了,B,。,36/65,即：,37/65,推论2,设 最大公因数,d,可表示,成它们线性组合：,例3,求115，570，935最大公因数，并表,示其线性组合。,解：,作矩阵,A,，并对,A,列作初等变换：,38/65,所以,且,39/65,2.利用初等变换解线性不定方程,命题2,设,n,元一次不定方程,若 ,则方程(3)有整数解，其解为,而,b,ij,是,(1),中矩阵,B,元素。,40/65,证实：,若,则由(2)得,是方程(3)一组整数解。,由(4)得：,41/65,由(1)得,42/65,故(4)是方程(3)解。,设 是方程(3),任一整数解，则,43/65,由,得,再由(1)得,44/65,所以 ，,故再由(5)得,令,45/65,则,所以,故(4)代表了方程(3)任一整数解。,46/65,例4,求四元一次不定方程,全部整数解。,解：作矩阵,A,，并正确列作初等变换：,47/65,48/65,于是：,d,=18且18|36，,故原不定方程有整数解，且其全部解为：,49/65,3.矩阵初等变换在求特征值与特 征向量应用,物理、力学、工程技术中许多问题在数学上都归结为求矩阵特征值与特征向量问题由特征方程求特征值是比较困难。,50/65,而在现有教材和参考资料由特征方程求,特征值总要解带参数行列式，且只有先求,出特征值方可由方程组求特征向量有些文,献给出了只需经过行变换即可同时求出特征,值及特征向量新方法，但仍未摆脱带参数,行列式计算问题,下面给出一个只需对原矩阵进行行列互逆,变换就可同时求出特征值与特征向量结论，,进而讨论反问题.,51/65,定义：,设,A,是,n,阶方阵，假如存在数,和,n,维非,零向量,x,，使得,Ax=,x,成立，则称,为,A,特征,值，,x,是,A,对应特征值,特征向量。,性质：,（1）若,i,是,Ar,i,重特征值，,A,对应特征值,i,有,s,i,个线性无关特征向量(,s,i,r,i,),（2）若,x,1,x,2,都是矩阵,A,属于特征值,0,特征,量，则当,k,1,k,2,不全为零时，,k,1,x,1,+k,2,x,2,仍是,A,属于特征值,0,特征向量.,52/65,（3）若,1,2,n,是矩阵,A,互不相同特征值，其对应特征向量分别是,x,1,x,2,x,n,则,x,1,x,2,x,n,线性无关,（4）若,A,=,(,a,ij,),nn,特征值为,1,2,n,则,53/65,（5）实对称矩阵,A,特征值都是实数，属于,不一样特征值特征向量正交,（6）若,i,是实对称矩阵,Ar,i,重特征值，则对,应特征值,i,恰有,r,i,个线性无关特征向量,（7）设,为矩阵,A,特征值，,P,(,x,),为多项式函数，则,P,(,),为矩阵多项式,P,(,A,),特征值,54/65,众所周知，求特征值与特征向量是比较繁琐由特征方程求特征值总要解带参数行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量这里将给出一个新有效方法，只需对原矩阵作行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量，为此给出以下定义：,55/65,定义：,把矩阵以下三种变换称之为行列,互逆变换：,（,1,）交换,i,j,两行，同时交换,i,j,两列；,（2）第,i,行乘非零数,k,，同时第,i,列乘,1,/k,；,（3）第,i,行,k,倍加到第,j,行，同时第,j,列,k,倍,加到第,i,列.,56/65,定理：,A,为,n,阶可对角化矩阵，而且,其中,则 为,A,全部特征值，为,A,属于,i,特征向量.,57/65,证:,由矩阵,行,初等变换,等价于,左乘,对应初等矩阵，矩阵,列,初等变换,等价于,右乘,对应初等矩阵性质及行列互逆变换定义，知,P,T,为若干初等矩阵乘积，,从而可逆，且 ,即,从而 ，因为,58/65,所以,则,所以,所以，该方法求出,i,为,A,特征值，,i,为,A,对应特征值,i,特征向量。,59/65,为了运算方便，约定：,（1）表示矩阵第,j,行,k,倍加到第,i,行；,（2）表示矩阵第,j,列,k,倍加到第,i,列。,例5：求,特征值与特征向量。,60/65,解,61/65,62/65,故特征值分别为,；,63/65,属于特征值,1,=,2,=,3,=,1,线性无关特征向,量分别为：,属于特征值,4,=,3,线性无关特征向量,反之，已知矩阵特征值与特征向量，求与相关,矩阵特征值可用性质7计算，特征向量用定义即可,求得。,64/65,谢谢大家！,65/65,
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