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本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第三节 基本不等式,第1页,三年13考 高考指数:,1.了解基本不等式证实过程.,2.会用基本不等式处理简单最大(小)值问题.,第2页,1.主要考查应用不等式求最值和不等式证实.,2.对基本不等式考查多以选择题和填空题形式出现，难度为中低级题，若出现证实题难度也不会太大.,第3页,1.基本不等式：,(1)基本不等式公式成立条件是_.,(2)等号成立条件是：当且仅当_时取等号.,(3)其中 称为正数a,b_，称为正数a，b,_.,a0,b0,a=b,算术平均数,几何平均数,第4页,【即时应用】,判断以下不等式是否正确.(请在括号中填写或),(1)a,2,+b,2,2ab(a,bR),(),(2)ab (a,，,bR)(),(3)(a,bR)(),(4)2(a,b,均不为零,)(),第5页,【,解析,】,(1),由,(a-b),2,0,得,a,2,+b,2,-2ab0,，,即,a,2,+b,2,2ab,，故,(1),正确,.,(2),由,(1),可知,a,2,+b,2,2ab,，即,a,2,+b,2,+2ab4ab,即,(a+b),2,4ab,即,ab ,故,(2),正确,.,(3),由,=0,故,(3),正确,.,(4),若,a,b,异号，如,a=-1,b=1,则,=-20，则,x,最小值,为_,解析：,x,0,x,2 ，当且仅当,x,x,时取等号,答案：,2,第12页,【即时应用】,(1)已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy最大值为_.,(2)已知x,y0,且x+2y=1,则 最小值为_.,(3)函数f(x)=最大值为_.,(4)已知m0,n0且mn81，则m+n最小值为_.,【解析】,(1)由2=x+3y ,得 故xy ，等号,当且仅当x=1,y=时取得.,(2),由,x,y0,，,x+2y=1,得,第13页,等号成立条件是：,x=-1.,(3)x0，当x=0时，f(0)=0；,当x0时，f(x)=,当且仅当 ，即x=1时取等号.,所以f(x)最大值为 .,(4)m0,n0,mn81,9,m+n2 18，故m+n最小值为18.,答案：,(1)(2)(3)(4)18,第14页,利用基本不等式求最值,【方法点睛】,应用基本不等式求最值应注意问题,(1)若直接满足基本不等式成立条件，则直接应用基本不等式.,(2)若不直接满足基本不等式成立条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如结构“1”代换等.,(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则普通是利用函数单调性求解.,第15页,【提醒】,(1)应用基本不等式注意不等式成立条件.,(2)若屡次应用基本不等式要注意等号需同时成立.,第16页,【例1】(1)若x-3，则 最小值为_.,(2)已知a，b为正实数且a+b=1，则 最小值为_.,【解题指南】,(1)将原式等价变形结构出应用基本不等式形式可,解.,(2)将 与 中1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.,第17页,【规范解答】,(1)由x-3得x+30,又x+=x+3+-3 -3，等号成立条件是x+3=,即x=-3.,(2)a0,b0,a+b=1,同理,5+4=9,等号成立条件为,答案：,(1)(2)9,第18页,【互动探究】,若将本例(1)中x-3去掉，而求 取值范围又将怎样求解？,【解析】,分情况讨论，由题意得x-3,(1)当x-3时，由例题可知,.,(2)当x0,=-(x+3)+-3-2 -3，,第19页,等号成立条件是x,故 取值范围是(-,+).,第20页,【反思感悟】,1.利用基本不等式求最值关键在于凑“和”与“积”定值.,2.基本不等式求最值，常为有条件最值问题.如本例(2)，其关键是充分利用条件转化为可利用基本不等式求最值，并要注意“一正、二定、三相等”.,第21页,【变式备选】,若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy最小值是_.,【解析】,xy=2x+y+6 令xy=t,2,(t0),可得t,2,-,60，注意到t0，解得t ,故xy最小值为18.,答案：,18,第22页,4(,年柳州一模,)假如正数,a,、,b,满足,ab,a,b,3，则,ab,取值范围是_,答案：,第23页,第24页,第25页,变式探究,1已知,a,0，,b,0，且,a,b,，则,大小关系是_,答案：,第26页,设,a,0，,b,0，则以下不等式中不成立是(),第27页,第28页,第29页,变式探究,A充分而无须要条件 B必要而不充分条件,C充分必要条件 D既不充分也无须要条件,解析：,a,2,b,2,2,ab,中参数取值不只是仅能够取正数均值不等式,才需应满足,a,0，,b,0.,答案：,A,第30页,变式探究,3若实数,a,、,b,满足,a,b,2，则3,a,3,b,最小值是(),第31页,1,在应用均值定理求最值时，要把握定理成立三个条件，就是,“,一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得,”,，若忽略了某个条件，就会出现错误.,第32页,第33页,3利用均值不等式求函数最值时，你是否注意到：,“,一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小,”,这17字方针惯用方法为：拆、凑、平方,第34页,第35页,A8 B4 C1,第36页,基本不等式实际应用,【方法点睛】,基本不等式实际应用题特点,(1)问题背景是人们关心社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.,(2)当利用基本不等式求最值时，若等号成立自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可依据变量范围用对应函数单调性求解.,第37页,【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为,矩形且面积为162平方米三级污水处,理池，池深度一定(平面图如图所表示)，假如池四面围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米,2,，水池全部墙厚度忽略不计.,(1)试设计污水处理池长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；,(2)若因为地形限制，该池长和宽都不能超出16米，试设计污水池长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.,第38页,【解题指南】,(1)由题意设出未知量，结构函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；,(2)先由限制条件确定自变量范围，然后判断(1)中函数单调性，利用单调性求最值，得出结论.,【规范解答】,(1)设污水处理池宽为x米，则长为 米.,则总造价,f(x)=400()+2482x+80162,第39页,=1 296x+12 960,=1 296()+12 960,1 296 +12 960,=38 880(元)，,当且仅当x=(x0),即x=10时取等号.,当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.,第40页,(2)由限制条件知,10 x16.,设g(x)=x+(10 x16),由函数性质易知g(x)在10 ，16上是增函数，,当x=10 时(此时 =16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值,1 296(10 +)+12 960=38 882(元).,当长为16米，宽为10 米时，总造价最低，为38 882元.,第41页,【反思感悟】,1.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键，因而在实际解题时要亲密注意定义域取值范围，它可直接决定最值能否取到.,2.本例(2)中因为条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数单调性求解，这也是此部分内容常规解法.,第42页,【变式训练】,某种汽车，购车费用为10万元，每年保险费、,养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以,后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它年平均费用,最少？,【解析】,因为“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2,万元”，可知汽车每年维修费组成以0.2万元为首项，0.2万元,为公差等差数列，所以，汽车使用x年时总维修费用为,万元.,第43页,设汽车年平均费用为y万元，则有,y=,=1+,=3,当且仅当 ，即x=10时，y取得最小值.,答：汽车使用10年时，它年平均费用最少.,第44页,基本不等式与其它知识综合应用,【方法点睛】,基本不等式应用广泛性,以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体提供条件而后转化为基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常出现，其解题关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解形式，同时要注意范围改变影响.,第45页,【例3】(1)(揭阳模拟)已知函数f(x)=log,2,x(x0)反函,数为g(x),且有g(a)g(b)=8，若a0,b0，则 最小值为,_.,(2)已知函数f(x)=log,2,k(x+4)+2+1恒过一定点P，且点P在直,线 =2(a,bR,+,)上，则3a+2b最小值为_.,【解题指南】,(1)求出a+b后，再利用基本不等式可求.,(2)求得P点坐标代入直线方程，再用“1”代换转化为基本不,等式求解.,第46页,【规范解答】,(1)g(x)=2,x,g(a)g(b)=8,2,a,2,b,=2,a+b,=8=2,3,a+b=3,a0,b0,=3,(当且仅当 时取“=”).,答案:,3,第47页,(2)由函数f(x)=log,2,k(x+4)+2+1可知，,当x=-4时，f(x)=2,即P点坐标为(-4，2)，,又P在直线 =2(a,bR,+,)上，,故 =2，即 =1,3a+2b=(3a+2b)()=8+,等号当且仅当3a,2,=4b,2,，即a=b=+1时取得.,答案：,8+4,第48页,【互动探究】,若本例(2)中函数改为f(x)=2,k(x+1),+1,其余条件不,变，又将怎样求解?,【解析】,由f(x)=2,k(x+1),+1可知图象恒过定点P(-1，2)，,依题意，P在直线上，故 即 =1,3a+2b=(3a+2b)()=等号当且仅当,a=+1时取得.,所以3a+2b最小值为,第49页,【反思感悟】,处理与其它章节知识综合基本不等式题目，其难点在于怎样从已知条件中寻找基本关系，本例(1)中其关键是求出a,b关系，再利用基本不等式求解，而对本例(2)中其关键点是确定图象过定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解.,第50页,【变式备选】,设x,y满足约束条件 若目标函数,z=abx+y(a0,b0)最大值为8，则a+b最小值为_.,【解析】,已知x,y满足约束条件 其可行域是一个,四边形，四个顶点是(0,0)，(0，2)，(，0)，(1，4)，易见,目标函数z=abx+y(a0,b0)在(1，4)取最大值8，,所以,8=ab+4,，即,ab=4,，,a+b2 =4,第51页,当且仅当a=b=2时，等号成立.,所以a+b最小值为4.,答案：,4,第52页,1(,年成都新都一中测试,)若,a,0，,b,0且,a,b,4，则以下不等式恒成立是(),D,2(,年广东试验中学月考,)若直线2,ax,by,20(,a,b,0)，一直平分圆,x,2,y,2,2,x,4,y,10周长，则,最小值是_,4,第53页,【易错误区】,忽略题目标基本含义造成误解,【典例】(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标,原点一条直线与函数f(x)=图象交于P、Q两点，则线段,PQ长最小值是_.,【解题指南】,由题目已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式可解.,第54页,【规范解答】,由题意可知f(x)=图象关于原点对称，而与过,原点直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别,为P(x,)与Q(-x,-)，,由两点间距离公式可得,|PQ|=4,等号当且仅当x,2,=2时取得.,答案：,4,第55页,【阅卷人点拨】,经过高考中阅卷数据分析与总结，我们能够得到以下误区警示和备考提议：,误,区,警,示,在解答本题时主要有两点误区：,(1)对于题目本身含义了解不透，无法掌握交点关系，造成不会解.,(2)有些同学设出直线方程与之联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解时出现运算繁琐情况，造成错解.,第56页,备,考,建,议,处理这类问题时还有以下几点在备考时要高度关注,(1)了解函数图象性质，明确其表示含义.,(2)熟记要掌握公式，如本例中两点间距离公式.,(3)思索要周密，运算要准确、快速.,另外，因为这类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法尽可能使用简便方法.,第57页,1.(重庆高考)已知a0,b0,a+b=2,则y=最小值是(),(A)(B)4 (C)(D)5,【解析】,选C.由a+b=2,得 =1,(等号当且仅当b=2a时取得).,第58页,2.(陕西高考)设0ab，则以下不等式中正确是(),(A)ab (B)a b,(C)a (D)b,【,解析,】,选,B.,方法一,已知,ab,和 比较,a,与 ，因,为,a,2,-=a(a-b)0,所以,a0,得,0,，,所以,b,综上可得,a b;,故选,B.,第59页,方法二,本题还可用特值法求解.,取a=2,b=8,则 =4,=5，,故a 0,b0),3,a,+9,b,=3,a,+3,2b,当且仅当a=2b时取等号，,又a+2b 4，等号当且仅当a=2b时取得.,即当a=2b时，3,a,+9,b,23,2,=18.,答案：,18,第63页,(,年福州模拟,)如右图所表示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏面积之和为18000 cm,2,，四面空白宽度为10 cm，两栏之间中缝空白宽度为5 cm，怎样确定广告高与宽尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？,第64页,第65页,第66页,变式探究,2某食品厂定时购置面粉已知该厂天天需用面粉6 t，每吨面粉价格为1800元，面粉保管等其它费用为平均每吨天天3元，购面粉每次需支付运费900元(假设仓库足够大),(1)求该厂多少天购置一次面粉，才能使平均天天所支付总费用最少？,(2)若提供面粉企业要求：当一次购置面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠(即原价90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由,第67页,第68页,第69页,第70页,第71页,第72页,
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