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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,中学数学基础知识教学,一 数学概念及其教学,二 数学命题及其教学,三 数学推理、证实及其教学,第1页,一 数学概念及其教学,数学概念概述,数学概念学习心理分析,数学,概念教学基本要求和教法探讨,第2页,数学概念概述,数学概念意义,反应数学对象,本质属性,思维形式叫做“数学概念”。,“属性”与“本质属性”；概念及其名称和符号,数学概念产生和发展路径,（1）从现实模型直接得来；,（2）经过,多级抽象,概括得来；,（3）从数学,内部需要,产生出来；,数量关系和空间形式,第3页,概念内涵和外延,概念,内涵,亦称内包，指概念所反应对象,特有属性、本质属性,。,概念,外延,亦称外包，指概念所反应对象,总和,。,例：“,ABC顶点,”,内涵,是指点性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；,外延,是指 A、B、C三点集合。,注：,（1）,数学概念内涵和外延是在一定数学科学体系中来认识。比如，,角,概念在平面几何中和在平面三角中内涵和外延均不一样。,（2）概念内涵和外延是发展,第4页,概念间关系（概念外延间同异关系）,1、相容关系,（1）同一关系（全同关系或重合关系）,外延完全重合，内涵能够不一样。,比如,：,数0,是扩大自然数集中最小数，又是正数,与负数分界数，在数运算中它又是两个相等数,差等；,等腰三角形底边上高线、中线以及顶角平分线,外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。,注,：研究概念间同一关系，能够对概念所反应对,象得到较深刻、较全方面认识。另外，在推理证实中,含有全同关系概念能够相互代换，使得论证简明。,第5页,（2）隶属关系,假如甲概念外延,真包含,乙概念外延 ，以下列图所表示，那么，这两个概念含有,隶属关系,。其中，外延较,大,那个概念叫做,属概念,，外延较,小,那个概念叫做,种概念,。这两个概念外延 和 关系能够写成,注：内涵和外延,反比,关系,正方形内涵 矩形内涵 平行四边形内涵 四边形内涵,正方形外延 矩形外延 平行四边形外延四边形外延,第6页,（3）交叉关系,假如两个概念外延有且只有部分重合，那么这两个概念含有,交叉关系,或者叫做部分重合关系，以下列图。用集合符号表示概念交叉关系，可设两个概念外延分别是集合 和集合 ，假如 是非空集合而且不是 ，那么这两个概念含有,交叉,关系。,例：,（1）整数和整数,（2）等腰三角形和直角三角形,第7页,（4）不相容关系（全异关系）,假如两个概念外延间没有任何一部分重合关系，那么这两个概念含有,全异关系,，这种关系又叫做“拳异关系”或“排斥关系”。,全异关系又分为,反对关系,和,矛盾关系,。,矛盾关系,反对关系,第8页,概念定义和原始概念,把概念内涵用语言表示出来，就是给概念下定义。,原始概念,点、线、面、空间、集合、元素、对应等。,数学中惯用几个定义方式,（1）,属概念,加,种差,定义方式,四边形+两组对边分别平行=平行四边形,（2）,发生,定义方式,在平面上，射线绕它端点旋转所成图形叫做角。,第9页,（3）揭示,外延,定义方式,整数和分数统称为有理数。,（4）约定式定义,我们要求“”。,(5)关系定义：有种差是被定义概念所反应对象与另一对象之间关系，或它与另一对象对第三者关系。如：偶数就是被2整除整数。,第10页,下定义基本要求,（1）定义应该相当,无理数：有理数开不尽方根。,平行线：两条不相交直线。,（2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角）,（3）定义,普通,不用否定形式,不是有理数数是无理数。,（4）定义应该简明,两组对边平行平面四边形是,平行四边形,。,四个角都是直角平行四边形叫做,矩形,。,（5）定义普通不用比喻说法,第11页,概念划分和分类,把一个属概念分为若干个不相容种概念逻辑方法叫做概念划分。,概念分类是划分特殊形式，是依据概念所反应对象本质属性或特征所进行划分。,概念分类要求：,i）所分成种概念之间应是全异关系，,ii）分类应是相当,iii）每次分类都应按照同一个依据进行,iv）分类不应越级,第12页,概念划分和分类,（3）二分法,二分法是一个惯用分类方法，是把一个概念外延中含有某个属性对象作为一类，把不含有这个属性对象作为另一类换言之，是把属概念分成两个矛盾种概念,第13页,数学概念学习心理分析,概念学习基本形式,1.概念,形成,概念形成就是让学生从大量同类事物不一样例证中独立发觉同类事物本质属性，从而形成概念。所以，数学概念形成实质上是抽象出数学对象共同本质特征过程。可概括以下：,（1）,区分,各种刺激模式，经过比较，在知觉水平上进行分析、识别，依据事物外部特征进行概括。,第14页,（2）,分化,出各种刺激模式属性。,（3）,抽象,出各个刺激模式共同属性。,（4）在特定情境中检验假设，,确认,关键属性。,（5）,概括,，形成概念。,（6）把新概念共同关键属性,推广,到同类事物中去。,（7）用习惯形式,符号表示,新概念。,第15页,“,函数,”概念形成过程：,1、观察实例，写出变量间关系表示式：,（1）以每小时80千米速度匀速行使汽车，所驶过旅程和时间,（2）由某一天气温改变曲线所揭示气温和时刻,（3）用表格给出某水库贮水量与水深。,2、找出上例中两变量之间关系共同本质,3、区分正反例，找出本质属性（一一对应）,4、概括出函数定义,5、练习巩固成形,第16页,2.概念,同化,概念同化学习形式是利用学生认知结构中原有概念，以定义方式直接向学生揭示概念本质属性。,由奥苏伯尔有意义接收学习理论可知，要使学生有意义地同化新概念，必须：,第一,，新概念含有,逻辑意义,；,第二,，学生认知结构中,具备,同化新概念,适当知识,；,第三,，学生,主动主动,地使这种含有潜在意义新概念与他认知结构中相关观念发生,相互作用,，改造旧知识，使新概念与已经有认知结构中相关知识深入分化和融会贯通。,第17页,概念同化阶段,（1）,揭示,概念,关键属性,，给出定义、名称和符号；,（2）对概念进行特殊,分类,，讨论这个概念所包含各种特例，突出概念本质特征；,（3）使新概念与已经有认知结构中相关观念建立联络，把新观念纳入到已经有概念体系中，,同化,新概念；,（4）用必定例证和否定例证让学生识别，使新概念与已经有认知结构中相关概念,分化,；,（5）把新概念纳入到对应概念体系中，使相关概念,融会贯通,，组成一个整体。,第18页,如“,一次函数,”概念,给知名称、定义、符号：函数,特例,：等,把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作,比较,用必定、否定,例证,让学生,识别,：,第19页,教学过程中要注意：,（1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方式来了解和掌握概念。因为它是从抽象定义出发来学习，所以应注意,及时利用实例,，使抽象概念取得详细例证支持；,（2）学习中必须经过,概念分类,这一步，使学生从外延角度深入对概念进行了解；,（3）在引入概念同时，要求学生掌握一定,智力动作,，以预防出现知道概念定义而不知怎样将它用于解题情况；,第20页,（4）为学生及时提供给用概念进行,推理,、,论证,机会，在应用中强化概念，以预防因为没有经历概念形成原始过程而出现概念加工不充分、了解不深刻情况；,（5）一定要将所学概念,纳入,到,已经有认知结构,中，形成概念系统。,第21页,概念教学基本要求和教法探讨,概念引入概念明确概念系统化,概念利用,1、概念引入,（1）原始概念,普通采取描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象方法来明确。,“针尖刺木板”痕迹引入“,点,”、用“拉紧绳”或“小孔中射入光线”来引入“,直线,”方法是,直观说明,法，“1，2，3，叫做,自然数,”是,指明对象,法。,第22页,（2）,对于用概念形成来学习概念,普通可经过,观察实例,，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最终再准确定义。,（3）对于用概念同化来学习概念,（a）用属加种差定义概念,新概念是已知概念特例，新概念能够从认知结构中原有含有较高概括性概念中繁衍出来。,（b）由概念推广引入概念,讲清三点：推广,目标和意义,；,推广,合理性,；,推广后愈加广泛,含义,。,第23页,（c）采取对比喻法引入新概念,当新概念与认知结构中已经有概念不能产生隶属关系，但与已经有旧概念有相同之处时可采取此法。,关键是讲清不一样之处，预防概念负迁移。,（d）依据逆反关系引入新概念,多项式乘法引入多项式因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。,关键是讲清逆反关系。,第24页,(4)发生式定义,经过观察实例或引导学生思索，进行讨论，自然得出结构过程，即揭示出定义合理性。,2、概念明确,（1）定义必要了解；,对定义逻辑意义了解需要在分析定义时加以必要解释,比如，A到B“映射”概念、教师有必要经过详细例子说明：i）映射是两个集合A、B之间一个对应法则；ii）A能够等于B；iii）A中每一个元素有象；iv）象唯一；v）B中元素不一定有原象；vi）B中元素有原象时未必唯一,第25页,2、概念明确,（2）表示概念名称或符号正确使用；,（3）抓住掌握概念关键；,（4）举出必定例证和否定例证；,（5）充分揭示概念内涵；,第26页,3、概念系统化,数学是一门演绎科学，中学数学基本上也是一个演绎体系，数学依据概念和定理相互联络而组成数学知识体系，掌握概念体系是掌握整个演绎理论必要条件所以，在数学教学中，不但应该掌握单个概念，而且还应该掌握每个详细课题乃至整个数学课程完整概念体系,第27页,4、概念利用和深化,（1）复述定义，指出对象,（2）初步应用（用概念解答问题）,（3）在发展中巩固,第28页,
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