资源描述
数学物理方法,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第二篇 数学物理方程,陈尚达,材料与光电物理学院,第1页,本篇主要内容,：,二阶线性偏微分方程建立和求解,重点,：,数学物理方程求解方法中分离变量 法。,特点,：,加强,物理模型和数学物理,思想介绍，方便充分了解模型物理意义，有利于依据数学物理模型建立数学物理方程。,第2页,第二篇绪论,数学物理思想,数学物理方程（简称,数理方程,）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出函数方程，主要指偏微分方程和积分方程。,数学物理方程所研究内容和所包括领,域十分广泛，它深刻地描绘了,自然界中,许多,物理现象,和,普遍规律,。,第3页,在科学技术和生产实际中，经常要研究空间连续分布各种物理场状态和物理过程，比如电磁波在空间和时间中改变，半导体扩散工艺中杂质浓度在硅片中分布和随时间改变关系等等。,总之，是研究某个物理量在空间某个区域分布以及它怎样随时间改变。,其中自变数不但仅是时间，而且还必须包含空间坐标。,处理这些问题，首先必须掌握所研究物理量在空间中分布规律和时间中改变规律，这就是物理课题中所研究并加以讨论,物理规律,。,物理规律反应同一物理现象共同规律，即,普遍性,，亦即,共性,。,第4页,个性,：同一类物理现象中，各个详细问题又各有其特殊性，即,个性,。物理规律不反应这种个性。,比如，半导体扩散工艺中，有“恒定表面浓度扩散”和“限定源扩散”。前者是表面杂质浓度一定，后者是杂质总量一定，虽扩散规律一样，但其结果显然不一样。,又如电磁波在空间传输。,所以，为处理详细问题，必须考虑“,环境,”影响，即边界所处物理情况,边界条件,。,第5页,同时，研究问题还不能割断历史。,比如同一根琴弦，用不一样东西去敲，发出声音是不一样。即使其振动是按照同一规律进行，不过因为所谓“初始”时刻振动是不一样，故以后振动也不一样。,又如，不一样初始浓度硅片杂质扩散，在相同工艺条件下，其扩散结果也是不一样。,故还必须考虑研究对象特定“历史”，即初始时刻状态,初始条件,。,第6页,边界条件和初始条件反应了详细问题特定环境和历史，即问题特殊性。在数学上，边界条件和初始条件合称为,定解条件,。,物理规律用数学语言“翻译”出来，往往是偏微分方程,数学物理方程,。数学物理方程，作为同一类物理现象共性，跟详细条件无关。在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作,泛定方程,。,第7页,声振动是研究声源与声波场之间关系,热传导是研究热源与温度场之间关系,泊松（S.D.Poisson 17811840，法国数学家）方程表示是电势（或电场）和电荷分布之间关系,定解问题,从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征是场和产生这种场源之间关系,第8页,依据分析问题不一样出发点，把数学物理问题分为,正向问题,和,逆向问题,.,不一样出发点,正向问题，即为已知源求场,逆向问题，即为已知场求源.,前者是经典数学物理所讨论主要内容。后者是高等数学物理（或称为当代数学物理）所讨论主要内容。,第9页,多数为二阶线性偏微分方程,振动与波（振动波，电磁波）传输满足,波动方程,热传导问题和扩散问题满足,热传导方程,静电场和引力势满足,拉普拉斯方程或泊松方程,数学物理方程类型和所描述物理规律,第10页,三类经典数学物理方程,三类经典数学物理方程,双曲型方程,波动方程为代表,抛物型方程,热传导方程为代表,椭圆型方程,泊松方程为代表,退化为拉普拉斯方程,第11页,第七章 数学物理定解问题,1、数学物理方程导出,2、定解条件,3、数学物理方程分类,4、达朗贝尔公式,第12页,7.1.1波动方程建立,1、弦微小横振动,考查一根长为,且两端固定、水平拉紧弦,讨论怎样将这一物理问题转化为数学上定解问题要确定弦运动方程，需要明确：,确定弦运动方程,（2）被研究物理量遵照哪些物理定理？,牛顿第二定律,（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）,要研究物理量是什么？,弦沿垂直方向位移,7.1 数学物理方程导出,第13页,注意,：,物理问题包括原因较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化。,数学物理方程必须反应弦上任一位置上垂直位移所遵照普遍规律，所以考查点不能取在端点上，但能够取除端点之外任何位置作为考查点。,图7.1,第14页,依据牛顿第二定律,方向运动方程能够描述为,作用于小段,纵向协力应该为零：,(7.1.2),仅考虑,微小,横振动，,夹角,为很小量，忽略,及其以上高阶小量，则依据级数展开式有,（,7.1.1,）,第15页,注意到,:,故由图7.1得,这么，(7.1.1)和(7.1.2)简化为,(7.1.3),(7.1.4),第16页,所以在微小横振动条件下，可得出,，弦中张力不随,而变，,可记为,故有,(7.1.5),改变量,能够取得很小，依据微分知识有下式成立,这么，,段运动方程(7.1.5)就成为,(7.1.6),第17页,即为,讨论：,（1）设弦重量不能忽略不计，则弦振动方程为怎样形式？,（7.1.7）,上式即为弦作微小横振动运动方程，简称为弦振动方程,其中,（7.1.8）,第18页,(2)假如在弦单位长度上还有横向外力,作用，则式(7.1.7)应该改写为,(,7.1.9,),式中,称为力密度,，为,时刻作用于,处单位质量上横向外力,式（7.1.9）称为弦,受迫振动方程,。,第19页,2、,均匀杆纵振动,（7.1.10）,可得,（,7.1.11,）,这就是,杆纵振动方程,。,图7.2,从图轻易得到B段伸长为,而相对伸长则为,确切说，相对伸长随地点而异，,B两端相对伸长不一样。依据胡克,定理，B段运动方程为：,第20页,讨论,(1)对于均匀杆，,和,是常数，(7.11）能够改写成,（,7.,.12,）,其中,这与弦振动方程（7.8）含有,完全相同,形式,（2）杆受迫振动方程跟弦受迫振动方程（7.9）,完全一样，,只是其中,应是杆单位长度上单位,横截面积所受纵向外力,第21页,第22页,3*、,传输线方程（电报方程）,（7.1.13）,同理可得：,(7.1.14),式（7.1.13）及（7.1.14）即为普通传输线方程。,图7.3,第23页,(1)无失真线,(7.1.15),其中,(2)无损耗线,（7.1.16）,(7.1.17),含有与振动方程类似数学形式，尽管它们物理本质根本不一样,第24页,(3)无漏导，无电感线,（7.1.18）,(7.1.19),它们含有与下节将讨论一维热传导方程类似数学形式，,尽管它们物理本质根本不一样,第25页,7.1.2,热传导类型方程建立,1、热传导方程,第26页,图7.3,第27页,或写成,(7.1.21),第28页,第29页,2、,扩散方程,(7.1.24),其中,将一维推广到三维，即得到,(7.1.25),上述方程与热传导方程含有完全类似形式,第30页,若外界有扩散源，且扩散源强度为,这时，扩散方程应为,（,7.1.26,）,从上面推导可知，热传导和扩散这两种不一样物理现象，,但能够用同一类方程来描述。,第31页,7.1.3 静电场电势方程,上两方程分别称为,泊松方程,和,拉普拉斯方程,。,第32页,2、稳定温度分布,导热物体内热源分布和边界条件不随时间改变,故热传导方程中对时间偏微分项为零，从而热传导方程,（7.1.22)，(7.1.23)即为以下拉普拉斯方程和泊松方程.,(7.1.29),(7.1.30),第33页,总结,三类经典数学物理方程,双曲型方程,波动方程为代表,抛物型方程,热传导方程为代表,椭圆型方程,泊松方程为代表,退化为拉普拉斯方程,第34页,作业,P152,1,4,（7.1.8）,推导不忽略重力时弦振动方程,第35页,7.2 定解条件,7.2.1,初始条件,对于伴随时间发展改变问题，必须考虑到研究对象特定“历史”，也就是某个所谓“初始”时刻状态，即,初始条件,。,1、波动方程初始条件,第36页,例,7.2.1,一根长为,弦，两端固定于,和,在距离坐标原点为,位置将弦沿着横向拉开距离,，如图7.4所表示，然后放手任其振动，试写出初始条件。,b,x,u,o,l,h,图,7,.4,解,:初始时刻就是放手那一瞬间，,按题意初始速度为零，即有,初始位移如图所表示,第37页,2、热传导方程初始条件,对于输运过程（扩散，热传导），初始状态指是研究物理量 初始分布（初始浓度分布、初始温度分布）。所以，初始条件为,（,7.2.2,）,其中 是已知函数。,3、没有初始条件问题,在周期性外源引发输运问题或周期性外力作用下振动问题中，经过很多周期后，初始条件引发自由运输或自由振动能够认为消失，这么就完全能够忽略初始条件影响，这类问题称为,没有,初始条件问题,。,稳定场问题（静电场、稳定浓度分布，稳定温度分布等）根本就不存在初始条件问题，无需多说。,第38页,7.2.2,边界条件,研究详细物理系统，还必须考虑研究对象所处特定“环境”，二周围环境影响通常表达为边界上物理情况，即,边界条件,。,常见线性边界条件分为三类,：,第一类边界条件,直接要求了所研究物理量在边界上数值,（,7.2.3,）,第39页,第二类边界条件,要求了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数数值,（,7.2.4,）,第40页,第三类边界条件,要求了所研究物理量及其外法向导数线性组合在边界上数值,（,7.2.5,）,其中,是时间,已知函数，,为常系数,第41页,第42页,第43页,7.2.3 衔接条件,因为一些原因，研究区域里出现跃变点，泛定方程在跃变点失去意义，把跃变点两边连接起来需要满足条件称为,衔接条件,。,第44页,例 7.2.2,长为,弦在,端固定，另一端,自由，且在初始时刻,时处于水平状态，初始速度为,，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.,【,解,】,（1）确定泛定方程,：,取弦水平位置为,轴，,为原点，,弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程,第45页,(3)确定初始条件,依据题意，当,时，弦处于水平状态，即初始位移为零,初始速度,(2)确定边界条件,对于弦固定端，显然有,另一端自由，意味着其张力为零故,第46页,综上讨论，故定解问题为,第47页,第48页,第49页,作业,P161,1，2，3，5,第50页,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
