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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,李明远,内蒙古财经学院,统计与数学学院,Email:limycn,第1页,引 论,第2页,原 型,model 指为了某个特定目标将原型某一部分信息简缩、提炼而结构原型替换物。,Prototype 指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理实际对象。在科技领域通常使用系统（system）、过程(process)等词汇。,模 型,与,第3页,模 型,物质模型,（形象模型）,理想模型,（抽象模型）,直观模型、物,理模型,思维模型、符号模型、,数学模型,第4页,数学模型,“,数学模型是关于部分现实世界为一定目标而作抽象、简化数学结构。,”更简练地，也能够认为“,数学模型是用数学术语对部分现实世界描述。,”,本德（E.A.Bender）,第5页,普通地说，数学模型能够描述为：,对于现实世界地一个,特定对象,，为了一个,特定目标,，依据特有,内在规律,，做出一些必要,简化假设,，利用适当,数学工具,，得到一个,数学结构,。,数学模型,第6页,甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各是多少？,解方程组,用x，y分别代表船速和水速，得方程,第7页,描述性数学模型,解释性数学模型,按照人们对原型认识过程分为,类,分,第8页,人口模型,交通模型,电气系统模型,通信系统模型,机电系统模型,环境模型,传染病模型,水资源模型,再生资源利用模型,污染模型,生态模型,按照模型应用领域分为,类,分,第9页,几何模型,代数模型,图论模型,规划论模型,微分方程模型,最优控制模型,信息模型,随机模型,决议与对策 模型,模拟模型,按照建立模型数学方法分为,类,分,第10页,静态模型,和,动态模型,确定性模型,和,随机模型,离散模型,和,连续性模型,线性模型,和,非线性模型,按照模型特征分为,类,分,第11页,白箱模型,灰箱模型,黑箱模型,按照对模型结构了解程度分为,类,分,第12页,作 用,预报与决议,：,生产过程中产品质量指标预报、气象预报、人口预报、经济增加预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大价格策略、使费用最少设备维修方案，都是决议模型例子。,控制与优化,电力、化工生产过程最优控制、零件设计中参数优化，要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化数学模型，是迫切需要和十分棘手课题。,分析与设计,比如描述药品浓度在人体内改变规律以分析药品疗效；建立跨音速流和激波数学模型，用数值模拟设计新飞机翼型。,规划与管理,生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都能够用数学规划模型处理。,第13页,局 限,技 艺,条 理,非预制,可转移,强 健,渐 近,折 衷,逼真性和可行性,建模时往往需要在模型逼真性和可行性，“费用”与“效益”之间作出折衷和选择。,数学模型特点,第14页,折 衷,局 限,技 艺,条 理,非预制,可转移,强 健,渐 近,渐近性,稍微复杂一些实际问题建模通常不可能一次成功，要经过建模过程重复迭代，包含由简到繁，也包含删繁就简，以取得越来越满意模型。,数学模型特点,第15页,渐 近,折衷,局 限,技 艺,条 理,非预制,可转移,强 健,健壮性,一个好模型应该含有下述意义健壮性：当模型假设改变时，能够导出模型结构对应改变；当观察数据有微小改变时，模型参数也只有对应微小改变。,数学模型特点,第16页,强 健,渐 近,折衷,局 限,技 艺,条 理,非预制,可转移,可转移性,一个模型时现实对象抽象化、理想化产物，它不为对象所属领域所独有，能够转移到另外领域。在生态、经济、社会等领域内建模就经常借用物理领域中模型。,数学模型特点,第17页,可转移,强 健,渐 近,折衷,局 限,技 艺,条 理,非预制,非预制性,模型非预制性使得建模本身经常是事先没有答案问题（Open-end-problem）。在建立新模型过程中甚至会伴伴随新数学方法或者概念产生。,数学模型特点,第18页,非预制,可转移,强 健,渐 近,折衷,局 限,技 艺,条 理,条理性,从建模角度考虑问题能够促使人们对现实对象分析更全方面、更深入、更含有条理性。,数学模型特点,第19页,条 理,非预制,可转移,强 健,渐 近,折衷,局 限,技 艺,技艺性,从建模方法无法归纳出若干条普遍适用建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起作用往往比一些详细数学知识更大。,数学模型特点,第20页,技 艺,条 理,非预制,可转移,强 健,渐 近,折衷,局 限,不足,1.当结论应用于实际问题，就回到现实世界，那些被忽略、简化原因必须考虑，所以结论通用性和准确性只是相正确和近似。,2.因为人们认识能力和科学技术发展水平限制，还有不少实际问题极难得到有实用价值数学模型。,3.还有些领域中问题今天还未发展到用建模方法寻求数量规律阶段，如中医诊疗过程。,数学模型特点,第21页,开设目标,对数学教育而言，既应该让学生,掌握准确快捷计算方法和严密逻辑推理,，也需要,培养,学生,用数学工具分析处理实际问题意识和能力,。传统数学教学体系和内容偏重于前者，开设数学建模课程则是加强后者一个尝试。,第22页,商人过河,建模示例之,三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划船。随从们密约，在河任何一岸，一旦随从人数比商人多，就杀人越货。不过怎样乘船渡河大权掌握在商人们手中。,商人们怎么样才能安全渡河呢,?,第23页,分析,：,安全渡河问题能够视为一个多步决议过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上人员（商人、随从各几人）作出决议，在确保安全前提下（两岸随从数都不比商人数多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸人员情况，决议（变量）表示船上人员情况，能够找出状态随决议改变规律。,问题转化为在状态允许改变范围内（即安全渡河条件），确定每一步决议，到达渡河目标。,第24页,模型组成,记第 次渡河前此岸商人数 ，随从数为 .,将二维向量,定义为,状态,。,安全渡河条件下状态集合成为,允许状态集合,，记做 .,第25页,模型组成,记第 次渡河渡船上商人数 ，随从数为 .,将二维向量,定义为,决议,。,允许状态集合,，记做 .由小船容量可知,因为 为奇数时船从此岸驶向彼岸，为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态 随决议,改变规律是 ，称之为,状态转移律。,第26页,这么制订安全渡河方案归结为以下多步决议模型：,求决议 ，使状态,按照转移律，由初始状态 经,有限步 抵达状态 。,模型组成,第27页,O,1 2 3,x,y,3,2,1,模型求解,在商人和随从人数不大简单情况，用图解法比较简便。,第28页,这里讲述是一个规格化方法，所建立多步决议模型能够用计算机求解，从而含有推广意义。譬如，当商人和随从人数增加或小船容量加大时，靠逻辑思索就困难了，而用这种模型则仍可方便求解。,适当地设置状态和决议，确定状态转移律，建立多步决议模型，是有效地处理很广泛一类问题方法。,评注,第29页,差分方程建模,百分比性、几何相同性,模型 拟合,试验建模,模拟方法建模,量纲分析,和,相同性,离散模型优化,图论建模,离散概率模型,微分方程模型,函数图表组成模型,第30页,设船速和水速为常数,x，y表示船速和水速,匀速运动中 s=vt,二元一次方程,解出 x20，y=5,船速为20km/h,水速为5km/h,依据建模目标和问题背景作出必要简化假设,用字母表示待求未知量,利用对应物理和其它规律,求出数学上解答,用这个答案解释原问题,列出数学式子,验证,合 格,第31页,
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