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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,李明远,内蒙古财经学院,统计与数学学院,Email:limycn,第1页,引 论,第2页,原 型,model 指为了某个特定目标将原型某一部分信息简缩、提炼而结构原型替换物。,Prototype 指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理实际对象。在科技领域通常使用系统（system）、过程(process)等词汇。,模 型,与,第3页,模 型,物质模型,（形象模型）,理想模型,（抽象模型）,直观模型、物,理模型,思维模型、符号模型、,数学模型,第4页,数学模型,“,数学模型是关于部分现实世界为一定目标而作抽象、简化数学结构。,”更简练地，也能够认为“,数学模型是用数学术语对部分现实世界描述。,”,本德（E.A.Bender）,第5页,普通地说，数学模型能够描述为：,对于现实世界地一个,特定对象,，为了一个,特定目标,，依据特有,内在规律,，做出一些必要,简化假设,，利用适当,数学工具,，得到一个,数学结构,。,数学模型,第6页,甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各是多少？,解方程组,用x，y分别代表船速和水速，得方程,第7页,描述性数学模型,解释性数学模型,按照人们对原型认识过程分为,类,分,第8页,人口模型,交通模型,电气系统模型,通信系统模型,机电系统模型,环境模型,传染病模型,水资源模型,再生资源利用模型,污染模型,生态模型,按照模型应用领域分为,类,分,第9页,几何模型,代数模型,图论模型,规划论模型,微分方程模型,最优控制模型,信息模型,随机模型,决议与对策 模型,模拟模型,按照建立模型数学方法分为,类,分,第10页,静态模型,和,动态模型,确定性模型,和,随机模型,离散模型,和,连续性模型,线性模型,和,非线性模型,按照模型特征分为,类,分,第11页,白箱模型,灰箱模型,黑箱模型,按照对模型结构了解程度分为,类,分,第12页,作 用,预报与决议,：,生产过程中产品质量指标预报、气象预报、人口预报、经济增加预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大价格策略、使费用最少设备维修方案，都是决议模型例子。,控制与优化,电力、化工生产过程最优控制、零件设计中参数优化，要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化数学模型，是迫切需要和十分棘手课题。,分析与设计,比如描述药品浓度在人体内改变规律以分析药品疗效；建立跨音速流和激波数学模型，用数值模拟设计新飞机翼型。,规划与管理,生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都能够用数学规划模型处理。,第13页,局 限,技 艺,条 理,非预制,可转移,强 健,渐 近,折 衷,逼真性和可行性,建模时往往需要在模型逼真性和可行性，“费用”与“效益”之间作出折衷和选择。,数学模型特点,第14页,折 衷,局 限,技 艺,条 理,非预制,可转移,强 健,渐 近,渐近性,稍微复杂一些实际问题建模通常不可能一次成功，要经过建模过程重复迭代，包含由简到繁，也包含删繁就简，以取得越来越满意模型。,数学模型特点,第15页,渐 近,折衷,局 限,技 艺,条 理,非预制,可转移,强 健,健壮性,一个好模型应该含有下述意义健壮性：当模型假设改变时，能够导出模型结构对应改变；当观察数据有微小改变时，模型参数也只有对应微小改变。,数学模型特点,第16页,强 健,渐 近,折衷,局 限,技 艺,条 理,非预制,可转移,可转移性,一个模型时现实对象抽象化、理想化产物，它不为对象所属领域所独有，能够转移到另外领域。在生态、经济、社会等领域内建模就经常借用物理领域中模型。,数学模型特点,第17页,可转移,强 健,渐 近,折衷,局 限,技 艺,条 理,非预制,非预制性,模型非预制性使得建模本身经常是事先没有答案问题（Open-end-problem）。在建立新模型过程中甚至会伴随折新数学方法或者概念产生。,数学模型特点,第18页,非预制,可转移,强 健,渐 近,折衷,局 限,技 艺,条 理,条理性,从建模角度考虑问题能够促使人们对现实对象分析更全方面、更深入、更含有条理性。,数学模型特点,第19页,条 理,非预制,可转移,强 健,渐 近,折衷,局 限,技 艺,技艺性,从建模方法无法归纳出若干条普遍适用建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起作用往往比一些详细数学知识更大。,数学模型特点,第20页,技 艺,条 理,非预制,可转移,强 健,渐 近,折衷,局 限,不足,1.当结论应用于实际问题，就回到现实世界，那些被忽略、简化原因必须考虑，所以结论通用性和准确性只是相正确和近似。,2.因为人们认识能力和科学技术发展水平限制，还有不少实际问题极难得到有实用价值数学模型。,3.还有些领域中问题今天还未发展到用建模方法寻求数量规律阶段，如中医诊疗过程。,数学模型特点,第21页,开设目标,对数学教育而言，既应该让学生,掌握准确快捷计算方法和严密逻辑推理,，也需要,培养,学生,用数学工具分析处理实际问题意识和能力,。传统数学教学体系和内容偏重于前者，开设数学建模课程则是加强后者一个尝试。,另外，开设本课也是为了一年一度“全国大学生数学建模大赛”做一些准备工作。,第22页,商人过河,建模示例之,三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划船。随从们密约，在河任何一岸，一旦随从人数比商人多，就杀人越货。不过怎样乘船渡河大权掌握在商人们手中。,商人们怎么样才能安全渡河呢,?,第23页,分析,：,安全渡河问题能够视为一个多步决议过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上人员（商人、随从各几人）作出决议，在确保安全前提下（两岸随从数都不比商人数多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸人员情况，决议（变量）表示船上人员情况，能够找出状态随决议改变规律。,问题转化为在状态允许改变范围内（即安全渡河条件），确定每一步决议，到达渡河目标。,第24页,模型组成,记第 次渡河前此岸商人数 ，随从数为 .,将二维向量,定义为,状态,。,安全渡河条件下状态集合成为,允许状态集合,，记做 .,第25页,模型组成,记第 次渡河渡船上商人数 ，随从数为 .,将二维向量,定义为,决议,。,允许状态集合,，记做 .由小船容量可知,因为 为奇数时船从此岸驶向彼岸，为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态 随决议,改变规律是 ，称之为,状态转移律。,第26页,这么制订安全渡河方案归结为以下多步决议模型：,求决议 ，使状态,按照转移律，由初始状态 经,有限步 抵达状态 。,模型组成,第27页,O,1 2 3,x,y,3,2,1,模型求解,在商人和随从人数不大简单情况，用图解法比较简便。,第28页,这里讲述是一个规格化方法，所建立多步决议模型能够用计算机求解，从而含有推广意义。譬如，当商人和随从人数增加或小船容量加大时，靠逻辑思索就困难了，而用这种模型则仍可方便求解。,适当地设置状态和决议，确定状态转移律，建立多步决议模型，是有效地处理很广泛一类问题方法。,评注,第29页,设船速和水速为常数,x，y表示船速和水速,匀速运动中 s=vt,二元一次方程,解出 x20，y=5,船速为20km/h,水速为5km/h,依据建模目标和问题背景作出必要简化假设,用字母表示待求未知量,利用对应物理和其它规律,求出数学上解答,用这个答案解释原问题,列出数学式子,验证,合 格,第30页,论文、上机指导,概率统计模型,应用软件,微分方程模型,优化模型,第31页,某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。现学生代表会议设20个席位，公平而又简单席位分配方法是按学生人数百分比分配，显然甲乙丙三系分别应占有 个席位。,初等模型,之,公平席位分配,10，6，4,现在丙系有6名学生转入甲乙两系，有3人转入甲系，3人转入乙系。,这时代表席位应该怎样分配呢？,第32页,表1 按照百分比并参考通例席位分配,21个席位分配,百分比分配席位,参考通例结果,10.815,11,6.615,7,3.570,3,21.000,21,系别,学生,人数,学生人数百分比(),20个席位分配,百分比分配席位,参考通例结果,甲,103,51.5,10.3,10,乙,63,31.5,6.3,6,丙,34,17.0,3.4,4,总和,200,100.0,20,20,第33页,建立数量指标,讨论A,B两方公平席位分配情况。,设两方人数分别为 和 ，占有席位分别为 和 ，则每个席位代表人数为 和 。,公平条件：,不过，通常情况下 ，即不公平，,而且,数值较大一方吃亏，即对这一方不公平。,第34页,则 。,不妨假设,不公平程度可用数值 衡量。,分析：,设(1),则 ；,又设(2),为了改进上述绝对标准，故采取,相对标准,。,第35页,若 ，则定义,为,对,A,相对不公平度,。,若 ，则定义,为,对,A,相对不公平度,。,标准：,使 尽可能小。,第36页,不失普通性可设 ，即对A不公平。当再增加1席时，关于 不等式有以下可能：,确定分配方案,利用 和 讨论，当增加1席时，应该分配给,A,还是,B,。,1.，,1.，这说明即使A方增加1席依然对A不公平，所以这一席显然应该分给A方；,第37页,2.，这说明A方增加一席时将变为对B不公平，参考 可计算出对B相对不公平度为,3.，即当B方增加一席时将对A不公平，参考 可计算出对B相对不公平度为,第38页,所以假如,则这1席应分给A方；反之则分给B方。,由,得,第39页,记,则增加1席应分给Q值较大一方。这种席位分配方法称为,Q值法,。,第20席：,第40页,记,则增加1席应分给Q值较大一方。这种席位分配方法称为,Q值法,。,第21席：,第41页,寻求公平分配席位方法关键，是建立衡量公平程度既简单又简明数量指标，本模型提出指标是相对不公平度，在这个前提下得到Q值方法应该是公平。不过假如跳出这个前提，公平席位问题还远未处理。,评注,第42页,练,：学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人委员会，试着用以下方法分配各宿舍委员数：,(1)Q值法。,(2)dHondt方法：将A,B,C各宿舍人数用正整数n=1,2,3,相除，其商数如表：,1,2,3,4,5,A,235,117.5,78.3,58.75,47,B,333,166.5,111,83.25,66.6,C,432,216,144,108,86.4,第43页,初等模型,之,双层玻璃窗功效,如图所表示，两层厚度为 玻璃夹着一层厚度为 空气。听说这么做是为了保暖，即降低室内向室外热量流失。,墙,墙,墙,墙,第44页,模型假设,1.热量传输只有传导，没有对流。即假定窗户密封性能很好，两层玻璃之间空气是不流动。,2.室内温度 和室外温度 保持不变，热传导过程处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间经过单位面积热量是常数。,3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。,第45页,在上述假设下热传导过程遵从下面,物理定律,：,厚度为 均匀介质，两侧温度差为 ，则单位时间由温度高一侧向温度低一侧经过单位面积热量 与 成正比，与 成反比，即,为热传导系数。,模型组成,第46页,记双层窗内玻璃外侧温度是 ，外层玻璃内侧温度是 ，玻璃热传导系数为 ，空气热传导系数为 ，由 式单位时间单位面积热量传导(即热量流失)为,从上式中消去 ，可得,墙,墙,第47页,对于厚度为 单层玻璃窗，轻易写出其热量传导为,墙,墙,那么，二者之比为,从相关资料可知，惯用玻璃热传导系数为,不流通、干燥空气热传导系数为,第48页,取 ，由 ，式可得,热量损失比 与 关系,第49页,模型应用,这个模型含有一定应用价值。制作双层玻璃窗即使工艺复杂会增加一些费用，但它降低热量损失却是相当可观。通常，建筑规范要求 。,按照这个模型，3 ，即双层窗比用一样多玻璃材料制成单层窗节约热量97左右。不难发觉，之所以有如此高功效主要是因为层间空气极低热传导系数 ，而这要求空气是干燥、不流通，这当然不能完全满足，所以功效实际上会差一些。,另外，房间热量散失，经过玻璃窗实际上只占一小部分。,第50页,初等模型,之,划艇比赛成绩,赛艇是一个靠桨手划桨前进小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不一样，但形状相同。T.A.McMahon比较了各种赛艇19641970年四次m比赛最好成绩(包含64年和68年两次奥运会和两次世界锦标赛)，发觉他们之间有相当一致差异，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联络，于是建立了一个模型来解释这种关系。,第51页,艇种,m成绩 t(min),艇长,(m),艇宽,(m),1,2,3,4,平均,单人,7.16,7.25,7.28,7.17,7.21,7.93,0.293,27.0,16.3,双人,6.87,6.92,6.95,6.77,6.88,9.76,0.356,27.4,13.6,四人,6.33,6.42,6.48,6.13,6.32,11.75,0.574,21.0,18.1,八人,5.87,5.92,5.82,5.73,5.84,18.28,0.610,30.0,14.7,各种艇比赛成绩和规格,第52页,问题分析,赛艇前进时受到阻力主要是艇浸没部分与水之间摩擦力。艇靠桨手力量克服阻力保持一定速度前进。,桨手越多划艇前进动力越大。不过艇和桨手总重量增加会使艇浸没面积加大，于是阻力便会加大，增加阻力将抵消一部分增加动力。,建模目标是寻求桨手数量与比赛成绩关系之间数量规律。假如假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需要结构一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间关系。,第53页,为了分析所受阻力情况，调查各种艇几何尺寸和重量，能够看出，桨手数 增加时，及艇重 都随之增加，不过比值 和 改变不大。,若假定 是常数，即各种艇形状一样，则可得艇浸没面积与排水体积之间关系。,若假定 是常数，则可得到艇与桨手总重量与桨手数之间关系。,另外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速关系等方面作出简化且合理假定，才能用适当物理定律建立需要模型。,第54页,模型假设,1.各种艇几何形状相同，为常数；艇重 桨手数 成正比。这是艇静态特征。,2.艇速 是常数，前进时受阻力 与 成正比(其中 是艇浸没部分面积)。这是艇动态特征。,3.全部桨手体重都相同，记作 ；在比赛中每个桨手划桨功率 保持不变，且 与 成正比。,第55页,由假设1，各种艇几何形状相同。若艇浸没面积 与某特征尺寸 平方成正比 ，则艇排水体积 必与 立方成正比,其中 ，,代入 得,模型组成,有 名桨手艇总功率 与阻力 和速度 乘积成正比，即,由假设1，各种艇几何形状相同,第56页,而由阿基米德定律，艇排水体积 与总重量 成正比，即,又依据艇重 与桨手数 成正比，所以艇和桨手数总重量 也与 成正比，即,式代入 式，当 是常数时得到,第57页,初等模型,之,动物身长和体重,四足动物躯干长度(不含头尾)与它体重有什么关系，这个问题有一定实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作人们，往往希望能从生猪身长预计出它体重。,动物生理结构因种类不一样而异，假如陷入对生物学复杂生理结构研究，将极难得到满足上述目标有使用价值模型。,第58页,把四足动物躯干看作圆柱体，长度 、直径 、断面面积 。将这种圆柱体躯干类比作一根支撑在四肢上弹性梁。,设动物在本身体重 作用下躯干最大下垂度为 (即梁最大弯曲),依据对弹性梁研究,因为 ，所以,第59页,类比法是建模中惯用一个方法。在这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大胆假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验。不过这种充分发挥想象力，把动物躯干长度和体重关系这么一个看来无从下手问题转化为已经有确切结果弹性梁在自重下挠曲问题作法，是值得借鉴。,评注,第60页,初等模型,之,实物交换,甲有面包一斤，乙有香肠若干。二人共进午餐时希望相互交换一部分，到达双方满意结果。这种实物交换模型问题能够出现在个人之间或国家之间各种类型贸易市场上。显然，交换结果取决于双方对两种物品偏爱程度，而偏爱程度极难给出确切定量模型。,我们用作图方法对双方将怎样交换实物建立模型。,第61页,设交换前甲占有物品 数量为 ，乙占有物品数量为 ，交换后甲占有物品 和 数量分别为 和 。于是乙占有 和 数量为 和 。,无差异曲线,甲对物品偏爱程度,乙对物品偏爱程度,第62页,甲,乙,第63页,第64页,初等模型,之,核军备竞赛,在20世纪六七十年代冷战时期，美苏两个核大国都声称为了保卫自己安全，而实施所谓核威慑战略，核军备竞赛不停升级。伴随前苏联解体核冷战结束，双方经过了一系列核裁军协议，年7月美俄两国总统同意深入淘汰武器，俄罗斯总统普京提议两国各自再淘汰1500枚核战略武器(据预计这时美俄各有7000枚核6500枚)。,在什么情况下双方核军备竞赛才不会无限扩张而存在暂时平衡状态？,第65页,以双方核导弹数量为对象，描述双方核军备大小，假定双方一样采取以下,核威慑战略,：,模型假设,(1)认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方核导弹基地；,(2)己方在经受第一次核打击后，应保留有足够核导弹，给对方工业、交通中心等目标以毁灭性打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方一个核导弹基地，且摧毁这个基地可能性是常数，由一方攻击精度和另一方防御能力所决定。,第66页,图模型,记 为甲方拥有 枚核导弹时，乙方采取核威慑战略所需最小核导弹数；为乙方拥有 枚核导弹时，甲方采取核威慑战略所需最小核导弹数。,第67页,乙安全区,甲安全区,双方安全区,第68页,
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