(第12讲)不定积分的概念与性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,第二章 不定积分与定积分,2.1,不定积分的概念与性质,2.1,不定积分的概念与性质,1,原函数与不定积分的概念,2,不定积分的几何意义,3,不定积分的运算法则与基本公式,1,原函数与不定积分的概念,定义,1,函数,f,(,x,),在区间,I,上有定义，如果存在函数,F,(,x,)，,都有,F,(,x,),f,(,x,),或,dF,(,x,),f,(,x,),dx,，,x,I,则称函数,F,(,x,),为,f,(,x,)(,或,f,(,x,),dx,),在区间,I,上的原函数,例如，在区间（,-,，,+,）内，因为有,(,x,2,)=2,x,(sin,x,),=,cos,x,所以,x,2,sin,x,是,2,x,cos,x,的一个原函数,又如当,x,(1,，,),时，,在区间,(1,，,),内的原函数,两点说明：,(1),如果,F,(,x,),是,f,(,x,),的原函数，那么,F,(,x,),C,也是,f,(,x,),的原函数，其中,C,是任意常数,(2),如果,(,x,),和,F,(,x,),都是,f,(,x,),的原函数，则,(,x,),F,(,x,),C,(,C,为某个常数,),定义,2,若函数,F,(,x,),是,f,(,x,),的在区间,I,上一个原函数，则,F,(,x,)+,C,（,C,为任意常数,),称为函数,f,(,x,),在区间,I,上的不定积分，记作,f,(,x,),称为被积函数，,f,(,x,),dx,称为被积表,x,称为积分变量，,C,为积分常数。,根据定义，如果,F,(,x,),是,f,(,x,),的一个原函数，那么,F,(,x,),C,就是,f,(,x,),的不定积分，即,达式，,即,例,2-1,求下列不定积分。,解：,2,不定积分的几何意义,0,图,2-1,F(,x,)+,C,是,f,(,x,),的所有原函数，原函数之间的关系可在坐标系中表示出来，把曲线,y,=f(,x,),通过上下平移，就得到曲线,y,=F(,x,)+,C,的图像，如图,2.1,所示。,如：,3,x,2,积分曲线：,1,0,1,2,1,1,2,x,y,y,=,x,3,+,C,C,=0,C,=,-,1.5,C,=1,C,=2,微分与积分的关系：,从不定积分的定义可知：,又由于,F,(,x,),是,F,(,x,),的原函数，所以,由此可知，,积分运算与微分运算互为逆运算。,3,不定积分的运算法则与基本公式,性质,2,函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即,性质,1,求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提,到积分号外面来，即,（1）,不定积分的性质,2,、不定积分的基本积分公式,例,2-2,求下列不定积分。,解：,例,2-3,求,解：,例,2-4,求,解：,例,2-5,求下列不定积分。,解：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,课堂小结,1,原函数与不定积分的概念,2,不定积分的几何意义,3,不定积分的运算法则与基本公式,练习,2.1,3,（,2,）（,4,）（,6,）（,8,）（,10,）（,12,）（,14,）,4,作业：,P46,