自动控制原理-第三章PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Automatic Control Theory,Chapter 3,College of Information Science and Engineering,CSU,Automatic Control Theory,College of Information Science and Engineering,CSU,2014.03,HuaHan,1,2,第三章,线性系统的时域分析法,(,The Time domain analysis of linear control system,),3.0,引言,3.1,系统时间响应的性能指标,3.2,一阶系统的时域分析,3.3,二阶系统的时域分析,3.4,高阶系统的运动,3.5,线性系统的稳定性,3.6,稳态误差,3.7,小结,3,引言,(Introduction),控制理论的三大问题,:,1,、,建模,(modeling),2,、,分析,(analysis),3,、,综合与设计,(,synthesis and design,),引言,(Introduction),4,1,系统分析的出发点,：,数学模型,微分方程模型,传递函数模型：,（,1,）输入输出模型,5,（,2,）状态空间模型,线性定常系统,线性时变系统,线性系统：,时域分析法，,根轨迹法频率法,非线性系统：,多输入多输出系统：,描述函数法,，,相平面法,采样系统：,Z,变换法,状态空间法,2,、不同的系统分析的方法不同,6,hanhua,2025/4/29 周二,7,2,时域分析的基本内容,定量分析：,一、二阶系统典型响应,性能指标,定性分析：,系统的稳定性判定,7,hanhua,2025/4/29 周二,8,时域分析法,是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。,分析系统的哪些性能？,9,时域分析法关注控制系统在时间域内的性能。它通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应。然后，根据响应表达式和响应曲线，来分析系统的,动态性能和稳态性能。,为了比较系统性能的优劣，必须有一个比较的,基础,和,标准,。,典型化处理,时域性能指标,10,1.,稳定性,(,Stability,),2,.,动态性能,(,dynamic performance,),平稳性,和,快速性,.,3.,稳态性能,(,steady-state performance,),回顾,:,控制系统的要求,控制系统,性能的评价,-,性能指标,11,典型跟踪响应：,time,y,期望值,典型抗扰响应：,y,time,期望值,加扰动,稳、快、准。,11,hanhua,2025/4/29 周二,12,3.1,系统,时间响应,的性能指标,动态系统的性能指标,:,用来,评价系统,的性能，控制系统,本质上,是,时域系统,.,1),稳态性能指标,2),动态性能指标,13,3.1.1,典型的输入信号,(typical input signal),1,、为了,求解系统的时间响应,，必须了解,输入信号（即外作用）的解析表达式。,2,、然而，在一般情况下，控制系统的,外加输入信号,具有随机性而,无法预先确定,，因此需要选择若干,典型输入信号,。,3,、,典型输入信号：,单位阶跃函数（,工业,）,、,单位斜坡（速度）函数（,天线,）,、,单位加速度（抛物线）函数（,飞船,）,、,单位脉冲函数（,突变过程,）,和,正弦函数（,通信,）,。,.,系统常遇到的输入信号形式，在,数学描,述上加以理想化,的一些基本输入函数,简单的时间函数,，,便于数学分析和实验研究,的,确定性典型信号,14,注意：若在实际条件下，输入信号是随机信号，则不能用上述典型输入信号。,实际应用时究竟采用哪一种典型输入信号，取决于系统常见的工作状态。,15,脉冲信号,(Impulse signal(Dirac impulse),适合控制系统：,输入信号是冲击输入量的控制系统,16,单位阶跃,(Unit step),适合控制系统：,室温调节系统,和,水位调节系统,，以及,工作状态,突然改变,或,突然受到恒定输入作用,的控制系统,17,单位斜坡,(Unit ramp),适合控制系统：,跟踪通信卫星的天线控制系统，,以及,输入信号随时间逐渐变化,的控制系统,18,Unit acceleration(,单位加速度,),适合控制系统：,宇宙飞船控制系统,19,sinasoidal signal(,正弦信号,),适合控制系统：,当系统的输入作用具有周期性的变化时,20,不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的，但对于线性控制系统来说，它们,所表征的系统性能,是一致的,。,通常以,单位阶跃函数,作为典型输入作用，则可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。,便于数学分析和实验研究,为什么可以采用典型的信号？,21,1.,动态过程,(dynamic process),3.1.2,动态过程与稳态过程,动态过程,又称,过渡过程,或,瞬态过程,，,指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从,初始状态,到,最终状态,的响应过程,。,动态过程可能表现为,衰减,、,发散,或,等幅振荡,形式,.,一个可以实际运行的控制系统，其,动态过程,必须是,衰减,的，,即系统必须是,稳定的,。,为什么？,可以实际运行的系统的运动形式呢？,22,一个稳定的系统才有动态过程,23,2.,稳态过程（,steady-state process,）,一个稳定的系统才有稳态过程,稳态过程（,稳态响应,）,指系统在典型输入信,号作用下，,当时间,t,趋于无穷时,，系统输,出量的表现方式，表征系统,输出量,最终,复现,输入量,的,程度,.,24,3.,动态性能,和,稳态性能,通常在,阶跃函数,作用下，测定或计算系统的动态性能,。,描述,稳定的系统,在,单位阶跃函数作用下，,动态过程,随时间,t,变化状况的指标，称为,动态性能指标,.,.,为什么,?,25,(1),动态性能（,dynamic performance,）,动态性能体现在下面的两个方面：,平稳性,快速性,怎样,衡量？,动态性能指标,根据系统的,阶跃响应,确定的,性能指标,有哪些,?,26,Overshoot,%,Rise time,t,r,Peak time,t,p,Settling time,t,s,Error band,0.95,1.05,Delay time,t,d,e,ss,=,Rise time,t,r,27,2,、,性能指标,前提,系统是稳定的,h(t),e,ss,t,d,0,t,r,t,p,t,s,超调量,t,d,:,延迟时间,t,r,:,上升时间,t,p,:,峰值时间,ts:,调节时间,t,控制系统设计的综合指标在于使超调量小、上升时间快、延迟时间短、调整时间短及稳态误差小。,E,ss:,稳态误差,衰减振荡响应,误差带,=5%,27,hanhua,2025/4/29 周二,28,y(t),e,ss,0,t,r,t,s,t,r,:,上升时间,t,s,:,调节时间,t,e,ss,:,稳态误差,非周期响应,误差带,=5%,28,hanhua,2025/4/29 周二,29,30,return,评价动态性能的常用性能指标,:,1),响应速度,(,快速性,),2),阻尼程度,(,平稳性,),能兼顾吗？,31,稳态误差,（,Steady state error,）,(2).,稳态性能（,Steady-state performance,）,32,3.2 Time domain analysis of first-order system (,一阶系统的时域分析,),Write down the differential equations governing simple first order mechanical and electrical systems.,Obtain the transfer function.,Find the time response to,impulse,step,ramp,and,harmonic,input.,Before analysis:,33,systems described by a single,first order differential equation,.,什么样的控制系统为一阶系统？,First order systems contain,one energy,storage element,.,34,Mass(,物体,),Spring(,弹簧,),Capacitor(,电容,),Inductance(,电感,),single container flume(,单容水箱,),DC servo motor(,电枢控制直流伺服电机,),Electrical heat furnace(,电加热炉,),你知道哪些典型的控制系统为一阶系统？,35,一阶系统,The,differential equation,of the following RC network:,The,transfer function,:,1.The mathematical model of first order system,一阶系统的数学模型,36,T,1,R,(,s,),Y,(,s,),+,-,s,37,2.The unit Step response of first order system,一阶系统的单位阶跃响应,t,s,=3T (5%),t,s,=4T (,2%,),),0,(,1,),(,-,=,-,t,e,t,h,T,t,Steady-state response,Transient-state response,38,一阶系统阶跃响应曲线,39,3.Unit impulse response of first order system,(,一阶系统的单位脉冲响应,),Impulse response of first order system,40,4.,一阶系统的单位斜坡响应,Unit ramp response of first order system,在,t=0,获得最大的速度误差：,Steady state response,Transient state reponse,41,斜坡信号作用下一阶系统的稳态误差,:,42,4.,一阶系统的单位加速度响应,43,一阶系统,能跟踪,脉冲、阶跃和斜坡,（,有稳态误差,）,信号,但,不能跟踪,加速度信号,。,系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。,根据一阶系统三种响应的输入输出信号,可知,:,c(t)=1-e,-t/T,r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=,(t),r(t)=,t,2,1,2,44,hanhua,2025/4/29 周二,45,3.3,二阶系统的时域分析,位置控制系统原理图,1,、二阶系统的数学模型,课堂练习：请绘制其结构图,46,电枢控制的直流电机的微分方程：,电枢回路电压平衡方程：,E,a,C,e,m,(t),，,C,e,是反电势系数,。,U,a,输出量,:,m,输入量,:,不考虑负载转矩,M,C,电磁转矩方程,电动机轴上的转矩平衡方程：,47,位置控制系统,结构图,位置控制系统的,开环,传递函数,：,如果略去电枢电感 ，并令,闭环传递函数为,得开环传递函数,阻尼系数,增益,48,hanhua,2025/4/29 周二,闭环特征方程为,特征根（闭环极点）为,二阶系统传递函数的标准形式：,标准形式的二阶系统结构图,为什么要写成标准形式？,49,hanhua,2025/4/29 周二,50,-,Damping ratio,(,阻尼比或相对阻尼系数,);,-,Natural frequency(,自然振荡频率,),为什么？,时的阻尼系数,二阶系统的阶跃响应有哪几种形式？主要决定因素是什么？,51,-10,负阻尼,-1,负阻尼,01,欠阻尼,=0,无,阻尼,=1,临界阻尼,1,过阻尼,对二阶系统特征根的分布及动态过程的影响,二阶系统的动态过程的形式如何？,52,Taking inverse Laplace transform:,1,）,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,(,01),(,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应,),59,令,传递函数,的另外一种形式,:,阶跃响应,可写为,:,60,与临界阻尼相比有何区别？,61,Step Response,-10,-1,01,Amplitude,0,10,20,-200,-100,0,100,Amplitude,0,0.5,1,0,2,4,6,Amplitude,0,5,10,15,0,0.5,1,1.5,Time(sec.),Time(sec.),Amplitude,0,10,20,300,1,2,Amplitude,0,5,10,15,0,0.5,1,Amplitude,0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,0,0.5,1,=0,=1,1,62,wn=1;zetas=0:0.1:1,2,3,5;yy=;t=0:0.1:12;,for i=1:length(zetas),z=zetas(i);,if z=0,y=1-cos(wn*t);,elseif(z0&z1,lam1=-z-sqrt(z2-1);lam2=-z+sqrt(z2-1);,y=1-0.5*wn*(exp(lam1*t)/lam1-exp(lam2*t)/lam2)/sqrt(z2-1);,end,yy=yy;y;,end,plot(t,yy);grid,63,wn=1;zetas=0:0.1:1,2,3,5,阻尼比对系统的动态性能有何影响？,合适的阻尼比取值范围是多少？,64,Step response curves of second system under different damping ratios,理想的阻尼比：,=0.4,0.8,你认为理想的阻尼比是多少？,65,Conclusion,:The system is,more sensitive,and,less balanced,in response.If the value of is too small,it will be very difficulty to control the system.,66,Instructional objectives:,Calculate the time response of second-order systems(,under-damped,).,Apply the formulas for the,Overshoot,rise time,settling time,peak time,and,steady state error.,3.,欠阻尼二阶系统的动态过程分析（,重点,）,67,0,0.707),，,%,t,s,t,s,%,若,n,固定,(0.707),，,%,t,s,t,s,%,若,固定,n,%,不变，,n,，,t,s,、,t,r,、,t,p,和,n,对系统性能的影响,74,欠阻尼二阶系统阶跃响应的一对包洛线,(5),settling time(,调节时间,),t,s,j,0,s,平面,s,2,s,1,极点位置与阻尼角,75,0.8,调节时间主要由哪些参数决定？,76,控制系统结构图,77,解,:,传递函数,:,于是有：,78,return,79,4.,过阻尼二阶系统的动态分析,(1)Delay time,研究过阻尼或临界阻尼有意义吗？,80,(2)Rise time,(t,r,)(0100%),81,(3)settling time,(t,s,),反,Laplace,变换,从图中你可以获取哪些信息？,82,1,调整时间如何获取？,T,1,4,T,2,调整时间如何获取？,=1,调整时间如何获取？,t,s,=3,T,1,Why?,Why?,83,暗示了什么？,例,3-2,设角度随动系统如下图所示。图中，,K,为开环增益，,T,=,0.1s,为伺服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应,无超调,，且调节时间,t,s,1s,，问,K,应取多大,?,此时系统的延迟时间,t,d,及上升时间,t,r,，各等于多少,?,84,考虑有,尽量快的响应速度,，应取阻尼比,=1,。,将 代入上面的方程得：,85,二阶系统的单位斜坡响应反,Laplace,变换,86,（,1,）,欠阻尼,单位斜坡响应,稳态分量,瞬态分量,desired output,（斜坡输入）,87,误差响应的最大偏离量,:,与,单位阶跃响应,的,上升时间,有何关系？,为什么,？,误差响应：,88,Why?,令,89,（,2,）,临界阻尼,斜坡响应,=1,90,（,3,）,过阻尼,单位斜坡响应,91,单位斜坡输入下，过阻尼二阶系统的动态性能指标只能,用计算机求得,。,.,92,从以上的分析看，控制系统的时域分析最关心的是特定输入下响应曲线吗？,时域分析最关心的是，借助特定输入下的响应曲线，分析影响系统性能的因素，采取那些措施能提供系统的性能！,怎样提高控制系统的性能？,93,讨论,:,二阶系统规范性的单位斜坡响应的求法。,sys=tf(1,1 1 0);,closys=feedback(sys,1);,figure(1);,step(closys),93,hanhua,2025/4/29 周二,94,sys=tf(1,1 1 0);,closys=feedback(sys,1);,equsys=closys*tf(1,1 0);,step(equsys,10);,hold on;,sys2=tf(1,1 0);,step(sys2),单位斜坡响应,稳态存在误差,94,hanhua,2025/4/29 周二,95,极点位置与响应特性的关系,无论是一阶还是二阶系统，极点的位置决定系统响应的基本形态,极点位于除原点外的虚轴上,等幅振荡,极点位于右半复平面,发散,极点位于左半复平面,收敛,在收敛的情况下，响应的快速性取决于极点,与虚轴的距离，,响应的平稳性取决于,极点与负实轴的夹角。,j,0,s,平面,s,2,s,1,极点位置,95,hanhua,2025/4/29 周二,96,6.,二阶系统性能的改善,调节系统的参数,设计合适的控制器,PD,控制器,输出的速度反馈控制器,97,开环传递函数,：,系统性能与那些参数有关？,1,）调节参数,98,稳态误差,阶跃输入下：,斜坡输入下：,加速度输入？,动态性能,系统将不稳定,99,若系统的开环传递函数为,(1),若输入为单位阶跃信号，当,K,A,=200,时,，试求,t,s,、,t,p,、,%,(2),当,K,A,=1500,和,K,A,=13.5,时情况怎样,?,R,(,s,),C,(,s,),E,(,s,),100,解：,101,2,）,K,A,=,200,102,103,结论,K,A,n,%,t,s,invariable,;,K,A,n,over-damped,without peak-time and overshoot,t,s,.,P88,104,结论,：,系统往往,只有,K,可调节,，,K,的调节有限,且,不能兼顾系统的三大性能,。,设计合适的控制器,105,开环传递函数隐含了什么样的信息,?,1),比例,-,微分,(PD),控制,106,Closed-loop TF:,107,从图中如何分析加比例微分控制器的作用,?,怎么理解,:,“,误差的微分只反映误差信号的变化速率，所以微分控制部分并不影响系统的常值稳态误差，,比例微分控制相当于增大系统的阻尼,但不改变自然振荡频率，从而允许选用较大的开环增益,改善系统的动态性能和稳态性能,”,?,108,The rise time of second system under PD control,上升时间,超调量,峰值时间,调节时间,p89,109,1.,添加闭环零点对二阶规范型系统暂态特性的影响,G(s),Rs),Y,z,(s),零点对系统响应的影响有好有坏。,其中,:z=-1/,为零点,109,hanhua,2025/4/29 周二,Simulink,仿真结构图（实数极点）,110,=1,时的结构图,110,hanhua,2025/4/29 周二,=1,时的单位阶跃响应曲线,111,平稳性不变,快速性,111,hanhua,2025/4/29 周二,=0.4,时的单位阶跃响应曲线,112,平稳性不变,快速性，但改善不大,112,hanhua,2025/4/29 周二,=2,时的单位阶跃响应曲线,113,平稳性,快速性,结论：对于变化较慢的系统，恰当选取,可明显改善性能,113,hanhua,2025/4/29 周二,Simulink,仿真结构图（复数极点）,114,=1,时的结构图,114,hanhua,2025/4/29 周二,=1,时的单位阶跃响应曲线,115,快速性,平稳性,115,hanhua,2025/4/29 周二,=0.5,时的单位阶跃响应曲线,116,快速性,平稳性,116,hanhua,2025/4/29 周二,=2,时的单位阶跃响应曲线,117,快速性,平稳性,趋势：,快速性，平稳性,117,hanhua,2025/4/29 周二,结论,118,输出响应的变化率越大微分作用便越强，零点的影响就越大；闭环零点离虚轴越近，影响就越显著，若零点离虚轴越远则影响就越弱。一般而言，添加闭环零点,使响应加快，震荡加剧，超调增大。零点越靠近虚轴，作用越明显。,118,hanhua,2025/4/29 周二,119,2.,增加开环零点制对二阶规范型系统暂态特性的影响,-,系统开环传递函数为,系统闭环传递函数为,119,hanhua,2025/4/29 周二,120,在前向通道中添加零点，可使闭环增加同样的零点，并且使得闭环极点发生变化。,使得系统响应加快，同时平稳性增加，全面改善系统的暂态特性。,控制系统常用增加开环零点的方法在改善系统的暂态性能,120,hanhua,2025/4/29 周二,121,-,-,-,例：仿真对比下面三系统的单位阶跃响应。,121,hanhua,2025/4/29 周二,122,y1=tf(4,1 1 4),y2=tf(1 4,1 1 4),y3=tf(1 4,1 2 4),step(y1,10),hold on,step(y2,10),step(y3,10),legend(y1,y2,y3),在控制工程中常利用开环零点即比例微分环节来改善系统的暂态特性,122,hanhua,2025/4/29 周二,123,微分控制器的作用及适应范围,?,p90,124,3),输出的速度反馈,open-loop TF:,开环传递函数是多少？,125,Closed-loop TF:,return,126,速度反馈控制的作用及适应范围,?,127,速度反馈控制与,PD,控制的比较,p92,附加阻尼源,使用环境,对开环增益和自然振荡频率的影响,(4),对动态性能的影响,128,3.4,高阶系统的运动,高阶系统的闭环传递函数可表示为为：,第,i,个闭环极点,系统运动的模态,第,i,个,极点对应的,运动,的模态,在被控变量,运动中,所占的比重,。,被控变量运动（阶跃响应）,系统的阶跃响应：,其阶跃响应为：,高阶系统的,响应特征,：,（,1,）若系统闭环稳定，上式的指数项和阻尼正弦项均趋,向零，,稳态输出为常数项,；,（,2,）,系统响应的类型取决于闭环极点,的性质，,响应曲线,的形状与闭环零点有关（,主要体现在影响留数的大,小和符号）129,hanhua,2025/4/29 周二,130,在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离，收敛的平稳性基本取决于极点与负实轴的夹角（零点也有影响）。,极点位于除原点外的虚轴上,等幅振荡,极点位于右半复平面,发散,极点位于左半复平面,收敛,类似于低阶系统，极点的位置决定系统响应的基本形态,高阶系统极点位置与响应特性的关系,j,0,s,平面,s,2,s,1,极点位置,130,hanhua,2025/4/29 周二,131,1,、三阶系统的传递函数及其单位阶跃响应,:,响应曲线告诉了你些什么？,132,例,3-6,设三阶系统闭环传递函数为,试确定其单位阶跃响应。,解,将已知,(,s),进行因式分解，可得,由于,R,(,s,)=-1/,s,，所以,P95,133,其部分分式为：,由式,(3-64),和,(3-65),可以算出：,于是得,(,零初始条件,),：,134,P96,图,3-29,135,怎样分析高阶系统的运动？,Approximate a higher order system with a first or second order one,怎样将一个高阶系统近似为一个一阶或二阶系统？,136,从上式能获知被控变量的运动主要由哪些因素决定？,系统运动的模态,找出对被控变量的运动起,主导作用,的运动的模态，忽略相对起次要作用的模态，从而将高阶系统近似为一阶和二阶系统来研究！,被控变量运动（阶跃响应）,137,1.,闭环极点附近有闭环零点,对应的,留数小,该极点对应的,瞬态项就被零点,抵消,.,138,2,、,极点距离原点越远,对应的留数就越小,.,该极点对应的,瞬态项就消失得越快,从而在动态过程中,的作用,可忽略,.,上叙两种情况下,高阶系统可被低阶系统近似,.,139,闭环主导极点,(,Dominant closed-loop poles,),与虚轴距离是其他零极点与虚轴距离的,4-5,倍的极点和零点可略去。,j,0,s,平面,s,2,s,1,主导极点,j,0,s,平面,s,1,主导极点,时间常数,1,（主导极点对应的时间常数）,实部,是其它极点实部的,4-5,倍,且附近没有,闭环零点,的,极点,将,在过渡过程中,起主导作用,称为,闭环主导极点,.,139,hanhua,2025/4/29 周二,140,其它极点,主导极点,零点,141,Example:,142,143,Exp,：,Second-order,system,：,Fourth-order,system,：,为什么？,144,二阶系统,四阶系统,return,145,146,147,148,为什么主导极点的附近,要没有零点？若其附近有,零点就可以零极点相消吗？,149,例 对比下面两系统的单位阶跃响应。,Matlab,仿真,sys1=tf(0.1 1,0.01 1);,sys2=tf(1,1 2 2);,sys0=sys1*sys2;,step(sys0,10);hold on;,step(sys2,10);grid;,legend(f1,f2),149,hanhua,2025/4/29 周二,150,150,hanhua,2025/4/29 周二,151,j,0,s,平面,s,2,s,1,偶极子,1,-1,-0.2,-0.21,j,0,s,平面,s,2,s,1,偶极子,1,-1,-2,-2.1,151,hanhua,2025/4/29 周二,152,j,0,s,平面,s,2,s,1,偶极子,1,-1,-0.02,-0.022,152,hanhua,2025/4/29 周二,情况时的单位阶跃响应曲线,153,仿真：,ac3no4,153,hanhua,2025/4/29 周二,情况时的单位阶跃响应曲线,154,154,hanhua,2025/4/29 周二,情况时的单位阶跃响应曲线,155,结论：远离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子其影响必须考虑。,155,hanhua,2025/4/29 周二,156,添加闭环零点,使响应加快，震荡加剧，超调增大。零点越靠近虚轴，作用越明显。,在前向通道中添加零点，使得系统响应加快，同时平稳性增加，全面改善系统的暂态特性。,添加零点对二阶规范型系统暂态响应 特性影响,课程回顾,156,hanhua,2025/4/29 周二,对于高阶的复杂系统，为了简化分析和设计，常常需要,将,高阶系统转化为低阶系统，而,“,主导极点,”,和,“,偶极子,”,的概念,则是,高阶系统低阶化,的主要依据,。,157,高阶系统的动态性能估计,课程回顾,157,hanhua,2025/4/29 周二,158,3.5 The stability of linear system (,线性系统的稳定性,),（,重点,）,3.5.1,稳定性的基本概念,3.5.2,线性系统稳定的充要条件,3.5.3,劳斯,-,胡尔维茨稳定判据,159,3.5.1,稳定性的基本概念,159,a,b,a,b,为平衡点,小球在,a,处稳定，在,b处不稳定,a,b,摆在,a,处稳定，在,b,处不稳定。,稳定性的定义,1),李亚普诺夫意义下的稳定性（平衡状态的稳定性）,2),运动的稳定性,3)BIBO,稳定性,160,hanhua,2025/4/29 周二,1),李亚普诺夫意义下的稳定性（,平衡状态的稳定性,）,161,任何系统在,扰动的作用,下都会,偏离,原平衡状态,产生初始偏差。,所谓,稳定性,就是指当,扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能,；,若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。,稳定性是系统的,固有特性,，对线性系统来说，它只取决于系统的,结构、参数,，而,与初始条件及外作用无关,。,162,x,t,)t,x,e,e,0,d,李亚普诺夫意义下的稳定、,渐进稳定、,大范围渐进稳定,163,稳定的平衡点,164,不稳定的平衡点,165,2),运动的稳定性,:,系统方程在,不,受任何外界输入作用下,，系统方程的解在时间,t,趋于无穷时,的,渐进行为,。,3),有界输入有界输出（,Bounded-input bounded-output(BIBO),）,稳定,:,任何,有界输入下产生有界输出,.,166,1.,非线性系统的稳定性,167,非线性系统的稳定性,与初始条件有关,。,一般情况下,不能说非线性系统是稳定或不稳定,，而只能说其,运动的稳定与不稳定,。,结论,对于线性系统，,平衡点的稳定性与,运动的稳定性,等价,.,168,伺服系统,:,characteristic equation(,特征方程,):,characteristic,roots(,特征根,):,All poles,have,negative real parts,系统方程的一个运动（齐次方程的解）,2.,线性系统运动的稳定性,(,重点,),169,根据系统的数学模型如何判断,线性系统的稳定性？,170,系统的,传递函数为,(,s,),若：,则,输出（运动）,为,:,171,172,则系统的响应：,线性系统稳定的,充要条件,是什么？,173,3.5.2,线性系统稳定的充要条件,闭环系统特征方程的,所有根,均具有,负实部,；或者说，,闭环传递函数的,极点,均,严格位于,左半,s,平面（,LHP,）,。,S,v,j,s,LHP,0,174,所有的特征根,有负的实部,稳定,一个特征根,有正的实部,不,稳定,有一个特征根,位于虚轴上,critical(marginally)stable,（临界稳定）,175,它具有相同的零点和极点,所以它是,BIBO,稳定,但是,渐进稳定,因为一个极点不在右半平面上,.,如果,传递函数的分子和分母,含有相同的因子,如是,BIBO(,外部）稳定,和,渐进（内部）稳定,等价,.,否则,BIBO,稳定,是,不一定是,内部稳定,.,例如：,系统稳定吗？,176,根据,闭环传递函数的特征方程,判断系统的稳定性：,求出特征根,（根据,充要条件,）（对于高阶系统比较困难）,Hurwitz criterion(1875),*,Routh criterion(1884),(,重点,)*,177,3.5.3,劳斯,-,胡尔维茨稳定判据 （,Routh-Hurwitz criterion),（,掌握,）,(1),赫,尔维茨稳定判据,(,Hurwitz stability criterion,),特征方程：,特征方程的各项系数为正数,线性系统稳定的,必要条件,：,178,证明：根据根与系数的关系,根据代数方程的基本理论,否则系统至少有一个正实部根。,都大于零且不等于零,这一条件,非,充分条件,当,特征方程,系数符号不一致,时，必然存在,纯虚根,(pure imaginary roots),或,正实部的根,。,179,构造,赫,尔维茨,行列式（,Hurwitz,determinants,）,D(n,n),赫,尔维茨稳定判据：,判据（,criterion,）,:,胡尔维茨各阶行列式大于,0,适合于,n,0,(,i,j,=1,2,n,),即，,闭环特征方程,各项同号,且,不缺项,。,如果特征方程不满足上式的条件，系统必然,非渐近稳定,。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是,必要条件,。下面给现系统稳定的充分必要条件。,183,hanhua,2025/4/29 周二,184,1,）系统稳定的充分必要条件（,重点,）,:,*,劳斯表中第一列各值为,正,.*,*,如果,劳斯表第一列出现,小于零的数值,系统就不稳定,且,第一列各系数符号,的,改变次数,代表特征方程的,正实部根的数目*,.,劳思稳定判据,与,赫尔维茨稳定判据,在,实质上是相同的,。,构造劳斯表,？,表中：,1,）,最左一列元素,按,s,的幂次排列，由高到低，只起标识作 用，不参与计算。,2,）,第一，二行元素,，直接用特征方程式的元素填入。,3,）从,第三行起各元素,，是根据前二行的元素计算得到。,a,0,a,2,a,4,a,1,a,3,a,5,b,1,b,2,b,3,a,n,s,n,s,n,1,s,n,2,s,1,s,0,劳斯表的构造：,185,*,3.5.4,劳斯判据的几种特殊情况,186,1,、劳斯表中,某行的第一列元素为零,，,而其余各项不为零，或不全为零,2,、劳斯表中某行元素全为零,3,、劳斯表的简化,187,例：,系统的特征方程为,D,(,s,)=,s,3,3,s,+2=0,试用劳斯判据确定正实数根的个数。,解：系统的,劳斯表为,s,3,s,2,s,1,s,0,1,3,0 2,第一种特殊情况,：,劳斯表中,某行的,第一列元素为零,，,而其余各项不为零，或不全为零,。,对此情况，可作如下处理：,用一个,很小的正数,来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。,0,+,时，,b,1,0,，,劳斯表中第一列元素,符号改变了两次,系统有,两个正根，不稳定,。,s,3,s,2,s,1,s,0,1,3,0(,)2,2,188,hanhua,2025/4/29 周二,D,1,(,s,)=,D,(,s,),(,s,+3),=,s,4,+,3,s,3,3,s,2,7,s,+6=0,s,4,s,3,s,2,s,1,s,0,1,3 6,3,7,2,/3 6,20,6,得到相同的判断结果,可用因子（,s+a,）乘以原特征方程,，其中,a,可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。,用,（,s,+3,）,乘以原特征方程，得,新的特征方程,为：,189,hanhua,2025/4/29 周二,例：,设某线性系统的,闭环特征方程,为,D,(,s,)=,s,4,+,s,3,3,s,2,s,+2=0,试用劳斯判据判断系统稳定性。,解,:,该系统的,劳斯表,如下,s,4,s,3,s,2,s,1,s,0,1,3 2,1,1,2,2,0 0,第二种特殊情况：,劳斯表中某行元素全为零。,此时，特征方程中,存在关于原点对称的根,（,实根,，,共轭虚根,或,共轭复数根,）。,190,hanhua,2025/4/29 周二,191,对此情况，可作如下处理：,用,全零行,的,上一行的系数,构成一个,辅助方程,，对,辅助方程求导,，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。,s,4,s,3,s,2,s,