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2025 年高考数学解密之平面向量及其应用
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•长沙模拟）在△ ABC 中，D 为边 BC 上一点，上 ，AD = 4 ，AB = 2BD ，且△ ADC 的 面积为 ，则 sin 上ABD = ( )
A ． B ． C ． D ．
-- -- ---→ → ---→
2 ．（2024•盐湖区一模） 已知△ ABC 所在平面内一点P ，满足 PA + PB + PC = 0 ，则 AP = ( )
A ． B ． C ． D ．
3 ．（2024•平谷区模拟）在 ΔABC 中，“sin A = cos B ”是“ 的
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4 ．（2024•和平区二模）平面四边形 ABCD 中 丄 AB ，上 则 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． —1 D ． —2
5 ．（2024•扬州模拟） 已知三个单位向量 ， b(→) ， 满足 = b(→) + ，则向量b(→) ， 的夹角为 ( )
A ． 6(兀) B ． 3(兀) C ． D ．
6 ．（2024•保定三模） 已知△ ABC 是边长为 的正三角形，点 P 是△ ABC 所在平面内的一点，且满足
| AP + BP + CP |= 3 ，则 | AP | 的最小值是 ( )
---→ -- -- ---→

A ．1 B ．2 C ．3 D ．
7．（2024•射洪市模拟）在 ΔABC 中，点 F 为线段BC 上任一点（不含端点
则 的最小值为 ( )
x y
A ．9 B ． 8 C ．4 D ．2

8 ．（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 O 的圆心为正六边形的中心，若点M

---→ ---→
在正六边形的边上运动，动点 A ， B 在圆 O 上运动且关于圆心 O 对称，则MA . MB 的取值范围为 ( )

1

A ． [4 ， 5] B ． [5 ， 7] C ． [4 ， 6] D ． [5 ， 8]
9 ．（2024•浙江一模）设 ， b(→) 是单位向量，则 ( + b(→))2 — . b(→) 的最小值是 ( )
A ． —1 B ．0 C ． D ．1
10 ．（2024•重庆模拟）已知 ，| b(→) |= 1 ， . b(→) = 0 ，| + | + | — |= 4 ， d(→)2 — 4b(→) . d(→) + 3 = 0 ，则| — d(→) |
的最大值为 ( )
A ． B ．4 D ．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•湖北模拟）在 ΔABC 中，A ，B ，C 所对的边为 a ，b ，c ，设 BC 边上的中点为M ， ΔABC 的
面积为 S ，其中 ， b2 + c2 = 24 ，下列选项正确的是 ( )
则 B ． S 的最大值为
C ． AM = 3 D ．角 A 的最小值为 3(兀)
12．（2024•菏泽模拟）已知向量 在向量b(→) 方向上的投影向量为 向量 且 与 夹角兀
则向量 可以为 ( )
A ． (0, 2) B ． (2, 0) C ． D ．

13 ．（2024•兰陵县模拟）定义运算 ．在 ΔABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 若 a ， b ， c 满足 则下列结论正确的是 ( )

A ． sin A + sin C = 2sin B
B ． A : C = 1 : 2
C ．角 B 的最大值为 3(兀)
D ．若 a sin A = 4c sin C ，则 ΔABC 为钝角三角形
14 ．（2024•博白县模拟）在 ΔABC 中， a = 2 ， ，则下列结论正确的是 ( )

2
A ．若b = 3 ，则 ΔABC 有两解
B ． ΔABC 周长有最大值 6
C ．若 ΔABC 是钝角三角形，则 BC 边上的高 AD 的范围为

D ． ΔABC 面积有最大值
15 ．（2024•肇庆模拟）若 ΔABC 的三个内角 A ， B ， C 的正弦值为 sin A ， sin B ， sin C ，则 ( )
1 1 1
A ． sin A ， sin B ， sin C 一定能构成三角形的三条边

B ． 一定能构成三角形的三条边

C ． sin2 A ， sin2 B ， sin2 C 一定能构成三角形的三条边
D ． 一定能构成三角形的三条边
三．填空题（共 5 小题）
16．（2024•河南模拟）已知△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，C = 60o ，c = 7 ，若 a —b = 3 ， D 为 AB 中点，则 CD = ．
17 ．（2024•泸州模拟） 已知向量 a– ， 满足 | a– |= 1 ， ， | a– — 2 |= 3 ，则 a– . b– = ．
18 ．（2024•江西二模） 在 ΔABC 中， 已知 D--– = 3B--D-– ， P 为线段 AD 的中点 ，若 则 .
19 ．（2024•静安区二模）若单位向量 a– 、 满足 a– 丄 b– ，则 ．

---– ---– ---–
20 ．（2024•重庆模拟） 已知正三角形 ABC 的边长为 2 ，点 D 满足 CD = mCA + nCB ，且 m > 0 ， n > 0 ，
---–
2m + n = 1 ，则 | CD | 的取值范围是 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•长安区一模） ΔABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，设 ．
（1）求 B ；
（2）若 ΔABC 的面积等于 ，求 ΔABC 的周长的最小值．
22 ．（2024•一模拟） 已知 ΔABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 AD 是 BC 边上的
（1）求角 A ；
若 求 AD ．

3
23 ．（ 2024 • 大 通 县 二 模 ） 在 ΔABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
2·、ac sin B = (b + c + a)(b + c — a) ．
（1）求角 A 的大小；
若 求 ΔABC 的面积．
24 ．（2024•江西一模）在 ΔABC 中，已知内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 ΔABC 的面积为 ， 点D 是线段 BC 上靠近点 B 的一个三等分点， AD = 1 ．
（1）若 上
（2）若b2 + 4c2 = 11 ，求 sin 上BAC 的值．
25 ．（2024•曲靖模拟）在 ΔABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 c = 2a cos C — 2b ．
（1）求 A ；
（2）线段BC 上一点D 满足 的长度．

4
2025 年高考数学解密之平面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•长沙模拟）在△ ABC 中，D 为边 BC 上一点，上 ，AD = 4 ，AB = 2BD ，且△ ADC 的 面积为 ，则 sin 上ABD = ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 A
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【专题】数学运算；方程思想；数形结合法；解三角形
【分析】由已知，解得 AC = 4 ，得△ ADC 为等腰三角形，在△ ABD 中，由正弦定理得 sin 上 从
而得 cos 上 再由两角差的正弦公式即可求得结论．
【解答】解： 由题意上DAC 解得 AC = 4 ，
所以△ ADC 为等腰三角形，
则 上 故 上 ，
在△ ABD 中， 由正弦定理得
即 得 sin 上 ， 因为 上 所以 上BAD 为锐角， 故 cos 上 ，

故选： A ．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理的应用，属中档题．
-- -- ---→ → ---→
2 ．（2024•盐湖区一模） 已知△ ABC 所在平面内一点P ，满足 PA + PB + PC = 0 ，则 AP = ( )
A ． B ． C ． D ．

5
【答案】 B
【考点】平面向量的基本定理
【专题】转化思想； 向量法；平面向量及应用；运算求解

---→ ---→ -- →
【分析】 由已知条件结合平面向量的加法可得出 AP 关于 AB 、 AC 的表达式． 【解答】解：因为 P--A + P--B + P-- = ，
即 — A(-)- + A(-)- — A(-)- + A(-)- — A(-)- = ，
即 3A(-)-P- = A(-)-B- + A(-)-C(-) ，
→ → →
解得 ．
故选： B ．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
3 ．（2024•平谷区模拟）在 ΔABC 中，“sin A = cos B ”是“ 的
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】11：计算题；35：转化思想； 4R ：转化法；56：三角函数的求值； 5L ：简易逻辑；62：逻辑推 理；65：数学运算
【分析】在 ΔABC 中，由“ sin A = cos B ” → 或 即 或 由 ”
→ 则 根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：在 ΔABC 中，若 sin A = cos B ，则 或 即 或 ， 故在 ΔABC 中，“sin A = cos B ”推不出
若 则 则
故在 ΔABC 中 → “ sin A = cos B ”；
故在 ΔABC 中，“sin A = cos B ”是“ 必要不充分条件．
故选： B ．
【点评】本题考查了三角函数在三角形中应用，及充分必要条件的定义，属于中档题．

6
4 ．（2024•和平区二模）平面四边形 ABCD 中 丄 AB ，上 则 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． —1 D ． —2
【答案】 D
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】综合法；数学运算；转化思想；平面向量及应用
【分析】 由已知，得 A ， B ， C ， D 四点共圆，从而判断点D 的轨迹是以 AC 为弦，圆周角为 的劣弧 （不含 A ， C 两点），根据数量积的几何意义，得出结论．
解： 由 丄 AB ， 可得 tan 上 故 上 ，
又 上 ，所以 上ADC + 上ABC = π ,
以 BC 为直径作圆，则 A ， B ， C ， D 四点共圆，
如图所示，故点D 的轨迹是以 AC 为弦，圆周角为 的劣弧（不含 A ， C 两点）， 则 A(-)- . A(-)- =| A(-)- | . |A(-)- | . cos 上上BAD ，
又 | AD | .cos 上BAD 表示 AD 在 AB 上的投影数量，
---→ ---→ ---→

---→
由图可知， | AD | .cos 上BAD ∈[—1 ， 0) ，
故 A(-)- . A(-)-开— 2 （此时点D 在劣弧 AC 的中点位置），

---→ ---→
即 AD . AB 的最小值为 —2 ．
故选： D ．

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
5 ．（2024•扬州模拟） 已知三个单位向量 ， b(→) ， 满足 = b(→) + ，则向量b(→) ， 的夹角为 ( )

7
A ． 兀
6


B ． 兀
3

C ．

D ．

8
【答案】 C
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】将 a– = b– + c– 两边同时平方，再结合平面向量的数量积运算，即可求解． 【解答】解：设向量 ， c– 的夹角为 θ , θ ∈ [0 ， 兀 ] ，
由题意可知， | a– |=| |=| c– |= 1， a– = b– + c– ，
则 a–2 = ( + c– )2 = 2 + c–2 + 2 . c– = 2 + 2× 1 × 1 × cosθ = 1 ，解得 ，
故 ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
6 ．（2024•保定三模） 已知△ ABC 是边长为 的正三角形，点 P 是△ ABC 所在平面内的一点，且满足
---– ---– ---– ---–
| AP + BP + CP |= 3 ，则 | AP | 的最小值是 ( )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．
【答案】 C
【考点】两个平面向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质及其运算 【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解． 【解答】解： 以 AC 所在直线为 x 轴， 以 AC 中垂线为 y 轴建立直角坐标系，
设 P(x, y) ，因为 所以 3 ， 化简得： x2 + (y — 2)2 = 1 ，所以点 P 的轨迹方程为 x2 + (y — 2)2 = 1 ，
---–
设圆心为 G ，则 G(0, 2) ，由圆的性质可知当 AP 过圆心时， | AP | 最小，
又因为 所以 得最小值为| AG | —1 = 4 —1 = 3 ．
故选： C ．

【点评】本题考查平面向量的坐标运算和圆的相关知识，属于中档题．
7．（2024•射洪市模拟）在 ΔABC 中，点 F 为线段BC 上任一点（不含端点
则 的最小值为 ( )
x y
A ．9 B ． 8 C ．4 D ．2
【答案】 A
【考点】平面向量的基本定理
【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】利用 F ， B ， C 三点共线，得到 x + 2y = 1 ，再利用基本不等式求最值即可． 【解答】解： : F ， B ， C 三点共线
: x + 2y = 1 ，

当且仅当 即 时取等号，
的最小值为 9， x y
故选： A ．
【点评】本题考查平面向量共线定理，基本不等式的应用，属于中档题．
8 ．（2024•江西一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 O 的圆心为正六边形的中心，若点M

---→ ---→
在正六边形的边上运动，动点 A ， B 在圆 O 上运动且关于圆心 O 对称，则MA . MB 的取值范围为 ( )

A ． [4 ， 5] B ． [5 ， 7] C ． [4 ， 6] D ． [5 ， 8]

9
【答案】 B
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】数学运算；整体思想；平面向量及应用；综合法
---→ ---→ --- ---
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得MA . MB =| MO |2 —1 ，再由 | MO | 的范围，即可得
到结果．
【解答】解： 由题意可得： MA . MB = (MO + OA) . (MO + OB) = (MO + OA) . (MO — OA)
---→ ---→ --- -- --- ---→ --- -- --- --

当 OM 与正六边形的边垂直时， ， 当点M 运动到正六边形的顶点时 ， 所以 ，
则 ，
即MA . MB = (| MO |2 —1) ∈ [5, 7] ．
---→ ---→ ---

故选： B ．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题．
9 ．（2024•浙江一模）设 ， b(→) 是单位向量，则 ( + b(→))2 — . b(→) 的最小值是 ( )
A ． —1 B ．0 C ． D ．1
【答案】 D
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】综合法；数学运算；对应思想；平面向量及应用
【分析】 由向量的数量积运算及三角函数的有界性计算即可．
【解答】解：因为 ， b(→) 是单位向量，
所以 ( + b(→))2 — . b(→) =| |2 +2 . b(→)+ | b(→) |2 — . b(→) = 2 + . b(→) ， 又因为 . b(→) =| | . | b(→) | .cos < , b(→) > ，且 —1 .cos < , b(→) > .1， 所以 —1 . . b(→) .1，
所以 ( + b(→))2 — . b(→) 的最小值为 2 —1 = 1 ．
故选： D ．

10
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
10 ．（2024•重庆模拟）已知 ，| |= 1 ，a– . = 0 ，| c– + a– | + | c– — a– |= 4 ， 2 — 4 . + 3 = 0 ，则| c– — | 的最大值为 ( )
A ． B ．4 C ． D ． 【答案】 A
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】由题意首先得出| c– — | 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换
为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可． 【解答】解：如图所示：

不妨设 a– = O(-)-A-– = (·、, 0),b– = O(-)-B-– = (0, 1), O(-)-C(-)– = (m, n), O(-)-D-– = (p, q), A 1(— ·、, 0) ，

满足

又 即 由椭圆的定义可知点 C 在以 A1 ， A 为焦点，长轴长为 4 的椭圆上运动，
a = 2, c = 所以该椭圆方程为 ，
而 2 — 4 . + 3 = 0 ，即 p2 + q2 — 4q + 3 = 0 ，即 p2 + (q — 2)2 = 1 ，
这表明了点D 在圆 x2 + (y— 2)2 = 1 上面运动，其中点 E(0, 2) 为圆心， r = 1为半径，

11
又 | 一 d(→) |=| O-- 一 O--D-→ |=| CD | .| CE | + | ED |=| CE | +1 ，等号成立当且仅当 C ， D ， E 三点共线，
故只需求 | CE | 的最大值即可，
因为点在椭圆上面运动，所以不妨设 C(2 cosθ, sin θ) ，
所以 +sin2θ一 ， 所以当sin θ = 一 一 且 C ， D ， E 三点共线时，
| 一 d(→) | 有最大值
故选： A ．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•湖北模拟）在 ΔABC 中，A ，B ，C 所对的边为 a ，b ，c ，设 BC 边上的中点为M ， ΔABC 的
面积为 S ，其中 ， b2 + c2 = 24 ，下列选项正确的是 ( )
则 B ． S 的最大值为
C ． AM = 3 D ．角 A 的最小值为 3(兀)
【答案】 ABC
【考点】正弦定理
【专题】转化思想；计算题；数学运算；解三角形；综合法
【分析】对于 A ，由余弦定理可求bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
对于 B ，由已知利用基本不等式可求得bc.12 ，进而根据三角形的面积公式即可求解．
----→ ---→ ---→
对于 C ，由题意可得 2AM = AB + AC ，两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解．
对于 D ，利用基本不等式可求得bc .12 ，利用余弦定理可求 cos A开 ，结合范围 A ∈(0, 兀) ，利用余弦函数 的性质即可求解．
【解答】解：对于 A ，若 ，
由余弦定理 a2 = b2 + c2 一 2bc cosA ，可得12 = b2 + c2 一 bc = 24 一 bc ，可得bc = 12 ，
所以ΔABC 的面积为 故 A 正确；
对于 B ，因为 24 = b2 + c2 开2bc ，可得bc .12 ，当且仅当 时等号成立，此时 a = b = c ，可得 ，
所以ΔABC 的面积为 故 B 正确；

12
----→ ---→ ---→
对于 C ，因为 BC 边上的中点为M ，可得 2AM = AB + AC ， 所以两边平方，可得
| AM |= 3 ，故 C 正确；
可 得 解 得 ----→

对于 D ，因为 24 = b2 + c2 开2bc ，可得bc .12 ，当且仅当 时等号成立， 所以 开
因为 A ∈(0, π ) ，可得 ，
所以 A 的最大值为 ，故D 错误．
故选： ABC ．

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦函 数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
12．（2024•菏泽模拟）已知向量 在向量b(→) 方向上的投影向量为 向量 且 与 夹角
则向量 可以为 ( )
A ． (0, 2) B ． (2, 0) C ． D ．
【答案】 AD
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量的投影向量 【专题】平面向量及应用；转化法；转化思想；数学运算
【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，以及向量的数量积运算，即可求解．
解：向量 ， 则 ，
向量 在向量b(→) 方向上的投影向量为 与 夹角 ，
则 | 解得

13
故 . b(→) =| || b(→) ，
对于 A ，满足 ， | |= 2 ，符合题意，故 A 正确；
对于 B ， . b(→) = 2 ，不符合题意，故 B 错误；
对于 C ， . b(→) = 4 ，不符合题意，故 C 错误；
对于 D ，满足 ， | |= 2 ，符合题意，故D 正确．
故选： AD ．
【点评】本题主要考查向量的投影公式， 以及向量的数量积运算，是基础题．
13 ．（2024•兰陵县模拟）定义运算 ．在 ΔABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 若 a ， b ， c 满足 则下列结论正确的是 ( )

A ． sin A + sin C = 2 sin B
B ． A : C = 1 : 2
C ．角 B 的最大值为 3(兀)
D ．若 a sin A = 4c sin C ，则 ΔABC 为钝角三角形 【答案】 ACD
【考点】行列式；正弦定理；解三角形
【专题】解三角形；整体思想；数学运算；综合法
【分析】由新定义运算得 a + c = 2b ，对于选项 A ：由正弦定理边化角后知 sin A + sin C = 2 sin B 正确；对于 选项 B ：可举反例进行判断；对于选项 C ：结合余弦定理及基本不等式，可求得 cos B开 ，可知 C 正确；
对于选项 D ：结合条件可得 ，计算 cos A 即可判断出 A 为钝角．
解： 由 可知 整理可知 a + c = 2b ，
由正弦定理可知： sin A + sin C = 2 sin B ， 即选项 A 正确；
因为满足 a + c = 2b ， 但不满足 A : C = 1 : 2 ，
即选项 B 不正确；

14
由 开 = （当且仅当 a = c 时取“ = ” ) ， 又 0 < B < 兀 ，
所以 B 的最大值为3(兀) ，
即选项 C 正确；
由 a sin A = 4c sin C 可得 a2 = 4c2 ， 解得 a = 2c ，
又 a + c = 2b ，
从而可得 为最大边，

即角 A 为钝角， 即选项D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查了正弦定理，重点考查了余弦定理及基本不等式的应用，属中档题．
14 ．（2024•博白县模拟）在 ΔABC 中， a = 2 ， ，则下列结论正确的是 ( )
A ．若b = 3 ，则 ΔABC 有两解
B ． ΔABC 周长有最大值 6
C ．若 ΔABC 是钝角三角形，则 BC 边上的高 AD 的范围为

D ． ΔABC 面积有最大值
【答案】 ACD
【考点】正弦定理；三角形中的几何计算；解三角形 【专题】分类讨论；解三角形；数学运算；综合法
【分析】 A 选项，根据b sin A < a <b 得到结论，判断出 A 的真假； B 选项，由余弦定理和基本不等式求出

周长的最大值，判断出B 的真假； C 选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得 A 在 CD 或

上， BC 边上的高 AD 的范围为 ； D 选项，在 C 选项的基础上求出面积最大值．
解： A 选项 故b sin A < a < b ，故 ΔABC 有两解， A 正确；
B 选项，由余弦定理得b2 + c2 — a2 = 2bc cosA ，

15
即 化简得 由基本不等式得 故 当且仅当 b= c 时，等号成立，
解得 故 ΔABC 的周长最大值为 错误； C 选项，由正弦定理得 故 ΔABC 的外接圆半径为 2， 如图所示，将 ΔABC 放入半径为 2 的圆中，其中BC = DE = 2 ， 上 ， 故 ，

ΔABC 是钝角三角形，故 A 在 CD 或 CE 上，
故 BC 边上的高 AD 的范围为 正确；

D 选项，由 C 选项可知，当 A 落在DE 的中点时， ΔABC 边 BC 上的高 A/F 最大， 其中
此时高 A/F 为 面积最大值为 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题．
15 ．（2024•肇庆模拟）若 ΔABC 的三个内角 A ， B ， C 的正弦值为 sin A ， sin B ， sin C ，则 ( )
1 1 1
A ． sin A ， sin B ， sin C 一定能构成三角形的三条边

B ． 一定能构成三角形的三条边

C ． sin2 A ， sin2 B ， sin2 C 一定能构成三角形的三条边
D ． 一定能构成三角形的三条边
【答案】 AD
【考点】正弦定理；解三角形；余弦定理

16
【专题】逻辑推理；转化思想；计算题；解三角形；综合法；三角函数的求值；数学运算 【分析】根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解．
【解答】解：对于 A ，由正弦定理得 sin A : sin B : sinC = a : b : c ，
所以 sin A ， sin B ， sinC 作为三条线段的长一定能构成三角形，故 A 正确， 对于 B ，由正弦定理得
例如 a = 5 ， b = 12 ， c = 13 ，则
由于 ， ，故不能构成三角形的三条边长，故 B 错误， 对于 C ，由正弦定理得 sin2 A: sin2 B : sin2 C = a2 : b2 : c2 ，
例如： a = 3 、 b = 4 、 c = 5 ，则 a2 = 9 、 b2 = 16 、 c2 = 25 ，
则 a2 + b2 = 25 = c2 ， sin2 A ， sin2 B ， sin2 C 作为三条线段的长不能构成三角形，故 C 不正确；
对 于 D ， 由 正 弦 定 理 可 得 不 妨 设 a < b < c ， 则 a + b > c ， 故 ·、 < < ·、 ，且
所以 ( · + ) > · , 故D 正确．
故选： AD ．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
三．填空题（共 5 小题）
16．（2024•河南模拟）已知△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，C = 60o ，c = 7 ，若 a —b = 3 ， D 为 AB 中点，则
【考点】余弦定理；解三角形
【专题】整体思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；数学运算
【分析】 由已知结合余弦定理先求出ab ，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解． 【解答】解：因为△ ABC 中， C = 60o ， c = 7 ， a —b = 3 ，
由余弦定理得， c2 = a2 + b2 — 2abcos60o = (a —b)2 + ab ， 即 49 = 9 + ab ，
所以 ab = 40 ，
D 为 AB 中点，则 ，

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所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．
17 ．（2024•泸州模拟） 已知向量 a– ， 满足 | a– |= 1 ， | |= ·、 ， | a– — 2 |= 3 ，则 a– . b– = 1 ．
【答案】1．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】整体思想；转化法；平面向量及应用；数学运算
【分析】对| a– — 2 |= 3 两边平方结合已知化简可求出 a– . b– 的值． 解：因为
所以 | a– — 2 |2 = a–2 — 4a– . + 42 = 9 ，
所以 1 — 4a– . b– + 4× 3 = 9 ，解得 a– . = 1 ， 故答案为：1．
【点评】本题考查平面向量的数量积及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（2024•江西二模）在 ΔABC 中，已知D--– = 3B--D-– ，P 为线段 AD 的中点，若 B--P-– = λ-A-– + μB--C-– ，则 10 ．
【考点】平面向量的数乘与线性运算；平面向量的基本定理
【专题】转化思想；方程思想；计算题；数学运算；平面向量及应用；综合法
【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得 由平面向量基本定理可得 λ 、 μ 的值， 进而计算可