2025年高考数学压轴训练一十七.docx

2025 年高考数学压轴训练 17
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•西城区校级模拟）已知直线 l : x + y 一 ，圆 Γ : x2 + y2 = r2 (r > 0) ，若直线l 上存在两点 A ， B ，圆 Γ 上存在点 C ，使得 | AB |= 2 ，且 上ACB = 90O ，则 r 的取值范围是 ( )
A ． [1 ， 3] B ． [2 ， 3] C ． [1 ， +∞) D ． [2 ， +∞)
2 ．（2024•达州模拟）如图， ΘO : x2 + y2 = 4 与x 轴交于点 A ，B ，C 是 ΘO 上第一象限内的点，D ，E 分 别在射线 AC ， CB 上， DE 交 x 轴于点F ．若直线DE 的方程为 x = 4 ， F 是线段DE 中点，则直线 CF 的
方程为 ( )

A ． 2x + 3y 一 8 = 0 B ． x + 2y 一 4 = 0 C ． 一 8 = 0 D ． 一 4 = 0
3 ．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》 中有这样一个结论：平面内与两点 距离的比为常数 λ(λ≠ 1) 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 O(0, 0) ， 动点 P(x, y) 满足 ，若点 P 的轨迹与圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 一10(r > 0) 有且仅有三条公切线，则 r = ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．3
4．（2024•青原区校级模拟）已知圆 C : x2 + y2 一 4x 一14y + 45 = 0 及点 Q(一2, 3) ，则下列说法正确的是 ( )
A ．直线 kx 一 y 一 2k + 1 = 0 与圆 C 始终有两个交点
B ．若M 是圆 C 上任一点，则 | MQ | 的取值范围为
C ．若点P(m, m +1) 在圆 C 上，则直线PQ 的斜率为
D ．圆 C 与x 轴相切
5 ．（2024•山东模拟）已知直线 l : y = kx +k 一1 和曲线 C : x2 + y2 一 2x 一 2 | y |= 0 有公共点，则实数 k 的取值 范围为 ( )
A ． ， B ．

1
6 ．（2024•庐阳区校级模拟） 已知两个不同的圆 C1 ， C2 均过定点 A(a, b) ，且圆 C1 ， C2 均与 x 轴、 y 轴相 切，则圆 C1 与圆 C2 的半径之积为 ( )
A ． | ab | B ． 2 | ab | C ． a2 + b2 D ．
7 ．（2024•怀仁市校级四模） 已知点 P 为直线 l1 : mx — 2y — m + 6 = 0 与直线 l2 : 2x + my — m — 6 = 0(m ∈ R) 的 交点，点 Q 为圆 C : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 8 上的动点，则 | PQ | 的取值范围为 ( )
A ． B ． C ． D ．

8 ．（2024•中山市校级模拟）过直线 x — y — m = 0 上一点 P 作 ΘM : (x — 2)2 + (y— 3)2 = 1的两条切线，切点分

别为 A ， B ，若使得 的点 P 有两个，则实数 m 的取值范围为 ( )
A ． —3 < m < 5 B ． —5 < m < 3 C ． m < —5 或 m > 3 D ． m < —3 或 m > 5
9．（2024•乐山三模）已知圆 O : x2 + y2 = 16 ，点 ，点E 是 l : 2x —y +16 = 0 上的动点，过E 作 圆 O 的切线，切点分别为 A ， B ，直线 AB 与EO 交于点M ，则 | MF | 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
10 ．（2024•东莞市校级一模）若直线 y = x + a 与圆 C1 : x2 + y2 = 4 及圆 C2 : x2 + y2 — 4x = 0 共有 3 个公共点， 则所有符合条件的 a 的和为 ( )
A ．0 B ． C ． —6 D ． —4
二．多选题（共 5 小题）
一
11 ．（2024•禅城区校级模拟）如图，A(2, 0) ，B(1, 1) ， C(—1, 1) ，D(—2, 0) ，弧 CD 是以 OD 为直径的圆上的

一 一
一段圆弧，弧 CB 是以 BC 为直径的圆上的一段圆弧，弧 BA 是以 OA 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构
成曲线 w ，则下述正确的是 ( )

A ．曲线 w 与 x 轴围成的图形的面积等于 2兀
B ．曲线 w 上有 5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）

2
一
C ．弧 CB 所在圆的方程为 x2 + (y—1)2 = 1

D ．弧 CB(一)与弧BA(一) 的公切线方程为

12 ．（2024•金安区校级模拟） 已知圆 C : x2 + y2 — 4x — 5 = 0 ，点 P(a, b) 是圆 C 上的一点，则下列说法正确 的是 ( )
A ．圆 C 关于直线 x — 3y — 2 = 0 对称
B ．已知 A(1, —2) ， B(5, 0) ，则| PA |2 + | PB |2 的最小值为

C ． 2a + b 的最小值为
D ． 的最大值为
13 ．（2024•靖远县校级模拟）如图，有一组圆 Ck (k ∈ N+ ) 都内切于点P(—2, 0) ，圆 C1 : (x + 3)2 + (y —1)2 = 2 ， 设直线 x + y + 2 = 0 与圆 Ck 在第二象限的交点为 Ak ，若 则下列结论正确的是 ( )

A ．圆 Ck 的圆心都在直线x + y + 2 = 0 上
B ．圆 C99 的方程为 (x + 52)2 + (y — 50)2 = 5000
C ．若圆 Ck 与y 轴有交点，则 k开8
D ．设直线 x = —2 与圆 Ck 在第二象限的交点为 Bk ，则 | Bk Bk +1 |= 1
14．（2024•江西模拟）设圆 C : (x —1)2 + (y —1)2 = 3 ，直线 l : 3x + 4y + 3 = 0 ，P 为l 上的动点，过点 P 作圆 C 的两条切线PA 、 PB ，切点为 A 、 B ， M 、 N 为圆上任意两点，则下列说法中正确的有 ( )
A ． | PA | 的取值范围为[1 ， +∞)
B ．四边形 PACB 面积的最大值为
C ．满足 上APB = 60O 的点 P 有两个
D ． ΔCAB 的面积最大值为
15 ．（2024•日照模拟） 已知 P(x1 ， y1 ) ， Q(x2 ， y2 ) 是曲线 C : 7x2 — 6y + 6y2 + | x2 + 6y — 3 |= 21 上不同的两

3
点， O 为坐标原点，则 ( )
A ． x1(2) + y1(2) 的最小值为 3

C ．若直线 y = kx + 3 与曲线 C 有公共点，则
D ．对任意位于 y 轴左侧且不在 x 轴上的点P ，都存在点 Q ，使得曲线 C 在P ， Q 两点处的切线垂直
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•和平区模拟） 已知圆 C 以点 (1, 1) 为圆心，且与直线mx — y — 2m = 0(m ∈ R) 相切，则满足以上条 件的圆 C 的半径最大时，圆 C 的标准方程为 ．
17 ．（2024•天津模拟）设直线 l : y = k(x — 6)(k ≠ 0) 和圆 C : x2 + y2 — 6x — 4y + 5 = 0 相交于M ， N 两点，若 则实数 k = ．
18 ．（2024 • 保 定 二 模 ） 已 知 点 P 为 圆 C1 : (x — 5)2 + y2 = 4 上 位 于 第 一 象 限 内 的 点 ， 过 点 P 作 圆

C2 : x2 + y2 — 2ax + a2 — a + 2 = 0(2 < a < 5) 的两条切线PM ， PN ，切点分别为M 、 N ，直线PM ， PN 分
| PA |
别交 x 轴于 A(1, 0) ， B(4, 0) 两点，则 = ， | MN |= ．
| PB |
19 ．（2024•洪山区校级模拟）已知点P(t +1, t) ，t ∈ R ，点 O 是坐标原点，点 Q 是圆 (x — 3)2 + (y +1)2 = 4 上 的动点，则 | PQ | — | PO | 的最大值为 ．
20 ．（2024•龙岗区校级模拟） 已知点M 为圆 C : (x —1)2 + (y— 2)2 = 1上的动点，过圆心作直线l 垂直于x 轴 交点为 A ，点B 为 A 关于 y 轴的对称点，动点 N 满足到B 点与到l 的距离始终相等，记动点 N 到 y 轴距离 为 m ，则 m+ | MN | 的最小值为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•黑龙江模拟） 已知圆 C : x2 — mx + y2 + 2(2 — m)y + m —1 = 0 ， m ∈ R ．
（1）证明：圆 C 过定点；
（2）当 m = 0 时，点 P 为直线上的动点，过P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A ，B ，求四边 形 PACB 面积最小值，并写出此时直线 AB 的方程．
22 ．（2024•自贡二模） 已知圆 O : x2 + y2 = 25 与直线 l : y = 3 相交于点 A ， B ．
（1）求点 A ， B 的坐标；
（2）设 P 是直线l 上，圆 O 外的任意一点，过 P 点作圆 O 的切线PM ， PN ，切点为M ， N ，求证：经 过M ， N 两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标．

4
23．（2024•苏州三模）已知圆 O : x2 + y2 = 4 ，直线 l1 : x = m ，直线 l2 : y = x + b 和圆交于 A ，B 两点，过 A ， B 分别作直线 l1 的垂线，垂足为 C ， D ．
（1）求实数b 的取值范围；
（2）若 m = —4 ，求四边形 ABDC 的面积取最大值时，对应实数b 的值；
（3）若直线 AD 和直线BC 交于点E ，问是否存在实数 m ，使得点 E 在一条平行于 x 轴的直线上？若存在，
求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
24 ．（2024•徐州模拟）将圆 x2 + y2 = 2 上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），所得 曲线为 E ．记 P(—2, 0) ，Q(1, 0) ，过点P 的直线与 E 交于不同的两点 A ，B ，直线 QA ，QB 与 E 分别交于 点 C ， D ．
（1）求 E 的方程；
（2）设直线 AB ， CD 的倾斜角分别为 α , β . 当 时： 求 的值；
(i) 若 β — α有最大值，求 λ 的取值范围．
25 ．（2024•吴兴区校级模拟）已知直线 l : ax —y +1 = 0 与圆 C : x2 + y2 — 6x + 4y + 4 = 0 交于 A ，B 两点，过 点 Q(5, —1) 的直线 m 与圆 C 交于M ， N 两点．
（1）若直线 m 垂直平分弦 AB ，求实数 a 的值；
（2）已知点 S(—6, —2) ，在直线 SC 上 (C 为圆心），存在定点T （异于点 S) ，满足：对于圆 C 上任一点P ， 都有为同一常数，试求所有满足条件的点T 的坐标及该常数．

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2025 年高考数学压轴训练 17
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•西城区校级模拟）已知直线 l : x + y 一 ，圆 Γ : x2 + y2 = r2 (r > 0) ，若直线l 上存在两点 A ， B ，圆 Γ 上存在点 C ，使得 | AB |= 2 ，且 上ACB = 90O ，则 r 的取值范围是 ( )
A ． [1 ， 3] B ． [2 ， 3] C ． [1 ， +∞) D ． [2 ， +∞) 【答案】 C
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】直线与圆；数形结合；转化思想；综合法；数学运算 【分析】判断求解 r 的最小值，利用数形结合，转化求解即可． 【解答】解：圆 Γ : x2 + y2 = r2 ，圆心为： (0, 0) ，半径为 r ，
直线 l 上存在两点 A ，B ，圆 Γ 上存在点 C ，使得 | AB |= 2 ，且 上ACB = 90O ，则 C 在以 AB 为直径的圆上．如 图：
C 也在圆Γ : x2 + y2 = r2 上，圆 Γ 到直线距离的最小值为 2 ，此时，如图红色的圆的半径为 1 ，即 r 的最小 值为 1，
r 的取值范围是： [1 ， +∞) ．
故选： C ．

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，转化思想是解决问题的关键，属中档题．
2 ．（2024•达州模拟）如图， ΘO : x2 + y2 = 4 与x 轴交于点 A ，B ，C 是 ΘO 上第一象限内的点，D ，E 分 别在射线 AC ， CB 上， DE 交 x 轴于点F ．若直线DE 的方程为 x = 4 ， F 是线段DE 中点，则直线 CF 的
方程为 ( )

6

A ． 2x + 3y 一 8 = 0 B ． x + 2y 一 4 = 0 C ． 一 8 = 0 D ． 一 4 = 0
【答案】 D
【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的性质 【专题】综合法；数学运算；直线与圆；转化思想；计算题
【分析】先设出点 C(m, n) ，求出直线 AC ，BC 的方程，与直线 x = 4 ，联立解出D ，E 两点，再根据 F 是 线段 DE 中点，即可解出m ， n ，得到 C 点坐标，即可求出直线 CF 的方程．
【解答】解： 由题意可得， ΘO : x2 + y2 = 4 与 x 轴交于点 A(一2, 0) ， B(2, 0) ， 设 C(m, n) ， (m > 0, n > 0) ，则 m2 + n2 = 4 ，
直线 AC 的方程为 令 x = 4 ，的 即 ，
直线 BC 的方程为 ，令 x = 4 ，的 即 ， DE 交x 轴于点F ．直线DE 的方程为 x = 4 ，可得F (4, 0) ，
又 F 是线段DE 中点，可得 解得 m = 1，
又 m2 + n2 = 4 ， 所以 ，
所以
所以 CF 的直线方程为 y 一 ，
即 一 4 = 0 ．
故选： D ．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题，是中档题．
3 ．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》 中有这样一个结论：平面内与两点
距离的比为常数 λ(λ≠ 1) 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 O(0, 0) ， 动点 P(x, y) 满足 ，若点 P 的轨迹与圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 一10(r > 0) 有且仅有三条公切线，则

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r = ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．3
【答案】 D
【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算
【分析】设 P(x, y) ，应用两点距离公式和已知条件求得动点 P 的轨迹是以 (1, 2) 为圆心，2 为半径的圆，再 由公切线的条数判断位置关系，结合圆心距与半径的关系即可．
解：设 P(x, y) ，则 整理得 (x —1)2 + (y — 2)2 = 4 ， 所以动点 P 的轨迹是以 (1, 2) 为圆心，2 为半径的圆，
而圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 —10(r > 0) 可化为 (x + 3)2 + (y +1)2 = r2 的圆心为 (—3, —1) ，半径为 r ， : 点P 的轨迹与圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 —10(r > 0) 有且仅有三条公切线，
: 点P 的轨迹与圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 —10(r > 0) 外切， 由于 (1, 2) 和 (—3, —1) 的距离
则 5 = 2 + r ，
: r = 3 ．
故选： D ．
【点评】本题考查轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
4．（2024•青原区校级模拟）已知圆 C : x2 + y2 — 4x —14y + 45 = 0 及点 Q(—2, 3) ，则下列说法正确的是 ( )
A ．直线 kx — y — 2k + 1 = 0 与圆 C 始终有两个交点
B ．若M 是圆 C 上任一点，则 | MQ | 的取值范围为
C ．若点P(m, m +1) 在圆 C 上，则直线PQ 的斜率为
D ．圆 C 与x 轴相切 【答案】 B
【考点】 由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数
【专题】综合法；转化思想；逻辑推理；计算题；数学运算；直线与圆
【分析】根据题意分别求出圆心 C(2, 7) ，半径 ，由直线 kx — y — 2k + 1 = 0 过定点 (2, 1) 可对 A 判断；

8
利用圆外一点到圆上距离知识可对 B 判断； 由 P(m, m +1) 在圆上可求得 m = 4 ，即可对 C 判断；根据圆心 C(2, 7) 到 x 轴的距离从而可对D 判断．
【解答】解：依题意，圆 C ：圆 C : x2 + y2 — 4x —14y + 45 = 0 ，

整理得： (x — 2)2 + (y — 7)2 = 8 ，

故圆心 C(2, 7) ，半径 ，
对于 A ，直线 kx — y — 2k + 1 = 0 ，整理得： k(x — 2) +1— y = 0 ，故该直线恒过定点 (2, 1) ， 而点 (2, 1) 在圆 C 外，
则过点 (2, 1) 的直线与圆 C 可能相离，故 A 不正确；
对于 点 Q 在圆 C 外， 由 | CQ | —r .| MQ | .| CQ | +r 得 故 B 正确．

对于 C ，点 P(m, m +1) 在圆 C 上，则 (m — 2)2 + (m — 6)2 = 8 ，解得 m = 4 ，而点 Q(—2, 3) ，
则直线 PQ 的斜率为 故 C 不正确；
对于 D ，点 C(2, 7) 到 x 轴距离为 7 ，大于圆 C 的半径，则圆 C 与 x 轴相离，即圆 C 与 x 轴不相切，故D 不 正确．
故选： B ．
【点评】本题考查的知识要点：点和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查 学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5 ．（2024•山东模拟）已知直线 l : y = kx +k —1 和曲线 C : x2 + y2 — 2x — 2 | y |= 0 有公共点，则实数 k 的取值
范围为 ( )
A ． ， B ． D ． [—1 ， 1]
【答案】 C
【考点】直线与圆的位置关系
【分析】将曲线 C : x2 + y2 — 2x — 2 | y |= 0 化为 若直线与曲线有交点，则由图 可求出直线与曲线相切时切线的斜率，其中用到圆心到直线的距离等于半径求解即可．
【解答】解：因为 y = kx +k — 1 = k (x + 1) — 1 ，所以直线l 恒过定点 P(—1, —1) ，
曲线 C : x2 + y2 — 2x — 2 | y |= 0 化简即为 如图所示：

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由图可知，若直线 l 与曲线 C 有交点，则直线介于 l1 与 l2 之间即可，
由圆心 (1, 1) 到直线 kx —y +k — 1 = 0 的距离等于半径得 ， 整理得： k2 — 4k + 1 = 0 ，解得 或 （舍) ，
同理，由圆心 (1, —1) 到直线kx —y +k — 1 = 0 的距离等于半径得
整理得 k2 = 1 ，解得 k = 1 （舍 ) 或k = —1 ，所以 ．
故选： C ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
6 ．（2024•庐阳区校级模拟） 已知两个不同的圆 C1 ， C2 均过定点 A(a, b) ，且圆 C1 ， C2 均与 x 轴、 y 轴相 切，则圆 C1 与圆 C2 的半径之积为 ( )
A ． | ab | B ． 2 | ab | C ． a2 + b2 D ． 【答案】 C
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用
【专题】直线与圆；综合法；数学运算；计算题；转化思想；方程思想
【分析】根据题意，按点 A 的位置分 2 种情况讨论，分析 r1r2 的值，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：
①点 A 不在坐标轴上，即点 A 在某个象限内；
若点 A 在第一象限时，圆 C1 ， C2 的方程为 (x — r)2 + (y — r)2 = r2 (r > 0) 的形式， 代入点 A(a, b) 的坐标，可得关于 r 的方程 r2 — 2(a +b)r + a2 + b2 = 0 ，
此时圆 C1 ， C2 的半径 r1 ， r2 是该方程的两个不同实根，所以 r1r2 = a2 + b2 ， 同理，当点 A 在第二、三、四象限时也可得 r1r2 = a2 + b2 ；
②点 A 在坐标轴上；

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当点 A 在 y 轴上时，a = 0 ，此时圆 C1 ，C2 的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在 A 点 处相切，且 r1 = r2 =| b | ，满足 r1r2 = a2 + b2 ，
同理，当点 A 在x 轴上时， b = 0 ，同样满足 r1r2 = a2 + b2 ， 综合可得： r1r2 = a2 + b2 ．
故选： C ．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及圆与圆的位置关系，属于中档题．
7 ．（2024•怀仁市校级四模） 已知点 P 为直线 l1 : mx 一 2y 一 m + 6 = 0 与直线 l2 : 2x + my 一 m 一 6 = 0(m ∈ R) 的 交点，点 Q 为圆 C : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 8 上的动点，则 | PQ | 的取值范围为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解
【分析】先求出点 P 的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出 | PQ | 的取值范围． 【解答】解：因为点 P 为直线l1 : mx 一 2y 一 m + 6 = 0 与直线 l2 : 2x + my 一 m 一 6 = 0 的交点，
所以由 2m + (一2)m = 0 可得 l1 丄 l2 ，且 l1 过定点 (1, 3) ， l2 过定点 (3, 1) ， 所以点 P 的轨迹是以点 (1, 3) 与点 (3, 1) 为直径端点的圆，
圆心为 (2, 2) ，半径 所以圆 P : (x 一 2)2 + (y 一 2)2 = 8(x ≠ 1且 y ≠ 1) ．
而圆 C : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 8 的圆心为 (一3, 一3) ，半径为 ，

所以两个圆心的距离 且 d > r + R ，所以两圆相离，
所以 | PQ | 的最大值为 的最小值为： d 一 r 一 取不到），

所以 | PQ | 的取值范围是 ， ．
故选： B ．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，是中档题．
8 ．（2024•中山市校级模拟）过直线 x 一 y 一 m = 0 上一点 P 作 ΘM : (x 一 2)2 + (y一 3)2 = 1的两条切线，切点分

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别为 A ， B ，若使得 PA = PB = ·、 的点 P 有两个，则实数 m 的取值范围为 ( )
A ． 一3 < m < 5 B ． 一5 < m < 3 C ． m < 一5 或 m > 3 D ． m < 一3 或 m > 5 【答案】 B
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】数学运算；转化思想；转化法；直线与圆
【分析】 由题意结合点到直线的距离公式列式求解 m 的取值范围．
【解答】解： 由 PA 丄 MA ， PB 丄 MB ， | MA |=| MB |= 1 ， 当 时，

使得 的点 P 有两个

则以M 为圆心， 为半径的圆与直线 x 一 y 一 m = 0 有两个交点， 则
解得 一5 < m < 3 ．
故选： B ．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查切线长定理和点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能 力，属于中档题．
9．（2024•乐山三模）已知圆 O : x2 + y2 = 16 ，点 ，点E 是 l : 2x 一y +16 = 0 上的动点，过E 作 圆 O 的切线，切点分别为 A ， B ，直线 AB 与EO 交于点M ，则 | MF | 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】圆上的点到定点的距离及其最值
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；直线与圆
【分析】设动点M (x, y) ，利用三角形相似求出点E 的坐标，然后代入直线l 的方程，得到点M 的轨迹方 程为圆，转化为圆上的点到定点距离的最值进行求解即可．
【解答】解：设M (x, y) ，

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解：设M (x, y) ，由 ΔAOE∽ΔMOA ，可得 ， 故 所以点 将点 E 的坐标代入直线 l : 2x —y +16 = 0 ，
化简可得 不同时为 0) ，
故点M 的轨迹是以为圆心， ·、 为直径的圆，所以 | MF | 的最小值即为点到圆心的距离减去半径， 故 | MF | 的最大值为
故选： B ．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直 接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
10 ．（2024•东莞市校级一模）若直线 y = x + a 与圆 C1 : x2 + y2 = 4 及圆 C2 : x2 + y2 — 4x = 0 共有 3 个公共点， 则所有符合条件的 a 的和为 ( )
A ．0 B ． C ． —6 D ． —4
【答案】 D
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；直线与圆；数学运算；计算题；转化思想
【分析】根据两圆的位置关系，结合图形，得要与一圆相切或过两圆的交点． 【解答】解： 由 C1 : x2 + y2 = 4 ，可得圆心 C1 (0, 0) ，半径 r1 = 2
由 C2 : x2 + y2 — 4x = 0 ，可得 (x — 2)2 + y2 = 4 ，圆心 C2 (2, 0) ，半径 r2 = 2 ， 所以 | C1C2 |= 2 ， 0 = r1 — r2 < 2 < r1 + r2 = 4 ，故两圆相交，
直线 y = x + a 与圆 C1 : x2 + y2 = 4 及圆 C2 : x2 + y2 — 4x = 0 共有 3 个公共点，

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情形一，与圆 C1 在下方相切时，则 得 ，
情形二，与圆 C2 在上方相切时，则 得 ， 情形三，过两圆的交点时，
两圆相减得 x = 1 ，代入圆 C1 得： ，

则两交点分别为 代入直线 y = x + a ， 得 或
则所有符合条件的 a 的和为 故选： D ．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
二．多选题（共 5 小题）
一
11 ．（2024•禅城区校级模拟）如图，A(2, 0) ，B(1, 1) ， C(-1, 1) ，D(-2, 0) ，弧 CD 是以 OD 为直径的圆上的

一 一
一段圆弧，弧 CB 是以 BC 为直径的圆上的一段圆弧，弧 BA 是以 OA 为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构
成曲线 w ，则下述正确的是 ( )

A ．曲线 w 与 x 轴围成的图形的面积等于 2π
B ．曲线 w 上有 5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
一
C ．弧 CB 所在圆的方程为 x2 + (y-1)2 = 1

D ．弧 CB(一)与弧BA(一) 的公切线方程为

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【答案】 BC
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合题；数形结合；综合法；直线与圆；运算求解
【分析】分别求得以BC 、OA 和 OD 为直径的圆的圆心和半径，结合图形和圆的面积、矩形的面积公式可
一 一
判 断 A ； 求得 曲 线 上 的整 点 可判 断 B ； 由 图 求得方程可判 断 C ， 设 CB 与 BA 的 公切 线方程 为 y = kx + t(k < 0, t > 0) ，由直线和圆相切的条件： d = r ，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求方程， 可判断D ．
【解答】解：可设以BC 为直径的圆的圆心为 F ，半径为 1 ；以 OA 为直径的圆的圆心为H ，半径为 1 ；以 OD 为直径的圆的圆心为 G ，半径为 1；
对于 A ：曲线W 与 x 轴围成的图形为以 BC 为直径的半圆和 2 个 的圆弧BA 和圆弧DC ，加上矩形 GHBC ，
其面积为 兀 兀 + 2 = 2 + 兀 ，故 A 错误；
对于 B ：曲线W 上的整点为 (—2, 0) ， (—1, 1) ， (0, 2) ， (1, 1) ， (2, 0) ，共 5 个，故 B 正确；
一
对于 C : CB 所在圆的方程 x2 + (y—1)2 = 1 ，故 C 正确；
一 一 一 一
对于 D : ，BA 所在圆的方程 (x —1)2 + y2 = 1 ，与 CB 所在圆的方程 x2 + (y—1)2 = 1 ，设 CB 与BA 的公切线方 程为 y = kx + t(k < 0, t > 0) ，
由直线和圆相切的条件可得 解得
则其公切线方程为 即 故D 错误．
故选： BC ．

【点评】本题考查圆的方程和运用，考查直线和圆相切的条件，考查点到直线的距离公式的应用，考查数 形结合思想和方程思想、运算能力，属于中档题．
12 ．（2024•金安区校级模拟） 已知圆 C : x2 + y2 — 4x — 5 = 0 ，点 P(a, b) 是圆 C 上的一点，则下列说法正确 的是 ( )
A ．圆 C 关于直线 x — 3y — 2 = 0 对称

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B ．已知 A(1, —2) ， B(5, 0) ，则| PA |2 + | PB |2 的最小值为

C ． 2a + b 的最小值为
D ． 的最大值为 【答案】 ABD
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；直线与圆
【分析】利用圆心在直线上，即可判断选项 A ，利用三角代换即可判断选项 B ，C ，利用圆上点与定点连 线的斜率的几何意义，即可判断选项 D ．
【解答】解：圆 C : x2 + y2 — 4x — 5 = 0 ，可化为 (x — 2)2 + y2 = 9 ，圆心 (2, 0) ，半径 3，
A ．显然直线 x — 3y — 2 = 0 过点 (2, 0) ，其为圆 C 的圆心，因此圆 C 关于直线 x — 3y — 2 = 0 对称，因此选项 A 正确．
B ．点 P(a, b) 是圆 C 上的一点，有 (a — 2)2 + b2 = 9 ，设 a = 3 cos α + 2 ， b = 3sin α . A(1, —2) ， B(5, 0) ，则|