2025年高考数学解密之平面向量及其应用.docx

2025 年高考数学解密之平面向量及其应用一选择题（共 10 小题）1 （2024长沙模拟）在 ABC 中，D 为边 BC 上一点，上 ，AD = 4 ，AB = 2BD ，且 ADC 的 面积为 ，则 sin 上ABD = ( )A B C D - - - -2 （2024盐湖区一模） 已知 ABC 所在平面内一点P ，满足 PA + PB + PC = 0 ，则 AP = ( )A B C D 3 （2024平谷区模拟）在 ABC 中，“sin A = cos B ”是“ 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件4 （2024和平区二模）平面四边形 ABCD 中 丄 AB ，上 则 的最小值为 ( )A B C 1 D 25 （2024扬州模拟） 已知三个单位向量 ， b() ， 满足 = b() + ，则向量b() ， 的夹角为 ( )A 6(兀) B 3(兀) C D 6 （2024保定三模） 已知 ABC 是边长为 的正三角形，点 P 是 ABC 所在平面内的一点，且满足| AP + BP + CP |= 3 ，则 | AP | 的最小值是 ( )- - - -A 1 B 2 C 3 D 7（2024射洪市模拟）在 ABC 中，点 F 为线段BC 上任一点（不含端点则 的最小值为 ( )x yA 9 B 8 C 4 D 28 （2024江西一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 O 的圆心为正六边形的中心，若点M- -在正六边形的边上运动，动点 A ， B 在圆 O 上运动且关于圆心 O 对称，则MA . MB 的取值范围为 ( )1A 4 ， 5 B 5 ， 7 C 4 ， 6 D 5 ， 89 （2024浙江一模）设 ， b() 是单位向量，则 ( + b()2 . b() 的最小值是 ( )A 1 B 0 C D 110 （2024重庆模拟）已知 ，| b() |= 1 ， . b() = 0 ，| + | + | |= 4 ， d()2 4b() . d() + 3 = 0 ，则| d() |的最大值为 ( )A B 4 D 二多选题（共 5 小题）11 （2024湖北模拟）在 ABC 中，A ，B ，C 所对的边为 a ，b ，c ，设 BC 边上的中点为M ， ABC 的面积为 S ，其中 ， b2 + c2 = 24 ，下列选项正确的是 ( ) 则 B S 的最大值为C AM = 3 D 角 A 的最小值为 3(兀)12（2024菏泽模拟）已知向量 在向量b() 方向上的投影向量为 向量 且 与 夹角兀则向量 可以为 ( )A (0, 2) B (2, 0) C D 13 （2024兰陵县模拟）定义运算 在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 若 a ， b ， c 满足 则下列结论正确的是 ( )A sin A + sin C = 2sin BB A : C = 1 : 2C 角 B 的最大值为 3(兀)D 若 a sin A = 4c sin C ，则 ABC 为钝角三角形14 （2024博白县模拟）在 ABC 中， a = 2 ， ，则下列结论正确的是 ( )2A 若b = 3 ，则 ABC 有两解B ABC 周长有最大值 6C 若 ABC 是钝角三角形，则 BC 边上的高 AD 的范围为D ABC 面积有最大值15 （2024肇庆模拟）若 ABC 的三个内角 A ， B ， C 的正弦值为 sin A ， sin B ， sin C ，则 ( )1 1 1A sin A ， sin B ， sin C 一定能构成三角形的三条边B 一定能构成三角形的三条边C sin2 A ， sin2 B ， sin2 C 一定能构成三角形的三条边D 一定能构成三角形的三条边三填空题（共 5 小题）16（2024河南模拟）已知ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，C = 60o ，c = 7 ，若 a b = 3 ， D 为 AB 中点，则 CD = 17 （2024泸州模拟） 已知向量 a ， 满足 | a |= 1 ， ， | a 2 |= 3 ，则 a . b = 18 （2024江西二模） 在 ABC 中， 已知 D- = 3B-D- ， P 为线段 AD 的中点 ，若 则 .19 （2024静安区二模）若单位向量 a 、 满足 a 丄 b ，则 - - -20 （2024重庆模拟） 已知正三角形 ABC 的边长为 2 ，点 D 满足 CD = mCA + nCB ，且 m 0 ， n 0 ，-2m + n = 1 ，则 | CD | 的取值范围是 四解答题（共 5 小题）21 （2024长安区一模） ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，设 （1）求 B ；（2）若 ABC 的面积等于 ，求 ABC 的周长的最小值22 （2024一模拟） 已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 AD 是 BC 边上的 （1）求角 A ； 若 求 AD 323 （ 2024 大 通 县 二 模 ） 在 ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且2、ac sin B = (b + c + a)(b + c a) （1）求角 A 的大小； 若 求 ABC 的面积24 （2024江西一模）在 ABC 中，已知内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 ABC 的面积为 ， 点D 是线段 BC 上靠近点 B 的一个三等分点， AD = 1 （1）若 上（2）若b2 + 4c2 = 11 ，求 sin 上BAC 的值25 （2024曲靖模拟）在 ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 c = 2a cos C 2b （1）求 A ；（2）线段BC 上一点D 满足 的长度42025 年高考数学解密之平面向量及其应用参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1 （2024长沙模拟）在 ABC 中，D 为边 BC 上一点，上 ，AD = 4 ，AB = 2BD ，且 ADC 的 面积为 ，则 sin 上ABD = ( )A B C D 【答案】 A【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算【专题】数学运算；方程思想；数形结合法；解三角形【分析】由已知，解得 AC = 4 ，得 ADC 为等腰三角形，在 ABD 中，由正弦定理得 sin 上 从而得 cos 上 再由两角差的正弦公式即可求得结论【解答】解： 由题意上DAC 解得 AC = 4 ，所以 ADC 为等腰三角形，则 上 故 上 ，在 ABD 中， 由正弦定理得即 得 sin 上 ， 因为 上 所以 上BAD 为锐角， 故 cos 上 ，故选： A 【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理的应用，属中档题- - - -2 （2024盐湖区一模） 已知 ABC 所在平面内一点P ，满足 PA + PB + PC = 0 ，则 AP = ( )A B C D 5【答案】 B【考点】平面向量的基本定理【专题】转化思想； 向量法；平面向量及应用；运算求解- - - 【分析】 由已知条件结合平面向量的加法可得出 AP 关于 AB 、 AC 的表达式 【解答】解：因为 P-A + P-B + P- = ，即 A(-)- + A(-)- A(-)- + A(-)- A(-)- = ，即 3A(-)-P- = A(-)-B- + A(-)-C(-) ， 解得 故选： B 【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题3 （2024平谷区模拟）在 ABC 中，“sin A = cos B ”是“ 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】 B【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】11：计算题；35：转化思想； 4R ：转化法；56：三角函数的求值； 5L ：简易逻辑；62：逻辑推 理；65：数学运算【分析】在 ABC 中，由“ sin A = cos B ” 或 即 或 由 ” 则 根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：在 ABC 中，若 sin A = cos B ，则 或 即 或 ， 故在 ABC 中，“sin A = cos B ”推不出 若 则 则 故在 ABC 中 “ sin A = cos B ”；故在 ABC 中，“sin A = cos B ”是“ 必要不充分条件故选： B 【点评】本题考查了三角函数在三角形中应用，及充分必要条件的定义，属于中档题64 （2024和平区二模）平面四边形 ABCD 中 丄 AB ，上 则 的最小值为 ( )A B C 1 D 2【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】综合法；数学运算；转化思想；平面向量及应用【分析】 由已知，得 A ， B ， C ， D 四点共圆，从而判断点D 的轨迹是以 AC 为弦，圆周角为 的劣弧 （不含 A ， C 两点），根据数量积的几何意义，得出结论 解： 由 丄 AB ， 可得 tan 上 故 上 ，又 上 ，所以 上ADC + 上ABC = ,以 BC 为直径作圆，则 A ， B ， C ， D 四点共圆，如图所示，故点D 的轨迹是以 AC 为弦，圆周角为 的劣弧（不含 A ， C 两点）， 则 A(-)- . A(-)- =| A(-)- | . |A(-)- | . cos 上上BAD ，又 | AD | .cos 上BAD 表示 AD 在 AB 上的投影数量，- - -由图可知， | AD | .cos 上BAD 1 ， 0) ，故 A(-)- . A(-)-开 2 （此时点D 在劣弧 AC 的中点位置），- -即 AD . AB 的最小值为 2 故选： D 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题5 （2024扬州模拟） 已知三个单位向量 b() ， 满足 = b() + ，则向量b() ， 的夹角为 ( )7A 兀6B 兀3C D 8【答案】 C【考点】数量积表示两个平面向量的夹角【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【分析】将 a = b + c 两边同时平方，再结合平面向量的数量积运算，即可求解 【解答】解：设向量 ， c 的夹角为 , 0 ， 兀 ，由题意可知， | a |=| |=| c |= 1， a = b + c ，则 a2 = ( + c )2 = 2 + c2 + 2 . c = 2 + 2 1 1 cos = 1 ，解得 ，故 故选： C 【点评】本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题6 （2024保定三模） 已知 ABC 是边长为 的正三角形，点 P 是 ABC 所在平面内的一点，且满足- - - -| AP + BP + CP |= 3 ，则 | AP | 的最小值是 ( )A 1 B 2 C 3 D 【答案】 C【考点】两个平面向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质及其运算 【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；数学运算【分析】建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解 【解答】解： 以 AC 所在直线为 x 轴， 以 AC 中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 设 P(x, y) ，因为 所以 3 ， 化简得： x2 + (y 2)2 = 1 ，所以点 P 的轨迹方程为 x2 + (y 2)2 = 1 ，-设圆心为 G ，则 G(0, 2) ，由圆的性质可知当 AP 过圆心时， | AP | 最小，又因为 所以 得最小值为| AG | 1 = 4 1 = 3 故选： C 【点评】本题考查平面向量的坐标运算和圆的相关知识，属于中档题7（2024射洪市模拟）在 ABC 中，点 F 为线段BC 上任一点（不含端点则 的最小值为 ( )x yA 9 B 8 C 4 D 2【答案】 A【考点】平面向量的基本定理【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【分析】利用 F ， B ， C 三点共线，得到 x + 2y = 1 再利用基本不等式求最值即可 【解答】解： : F ， B ， C 三点共线: x + 2y = 1 ，当且仅当 即 时取等号， 的最小值为 9， x y故选： A 【点评】本题考查平面向量共线定理，基本不等式的应用，属于中档题8 （2024江西一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 O 的圆心为正六边形的中心，若点M- -在正六边形的边上运动，动点 A ， B 在圆 O 上运动且关于圆心 O 对称，则MA . MB 的取值范围为 ( )A 4 ， 5 B 5 ， 7 C 4 ， 6 D 5 ， 89【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】数学运算；整体思想；平面向量及应用；综合法- - - -【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得MA . MB =| MO |2 1 ，再由 | MO | 的范围，即可得到结果【解答】解： 由题意可得： MA . MB = (MO + OA) . (MO + OB) = (MO + OA) . (MO OA)- - - - - - - - - -当 OM 与正六边形的边垂直时， ， 当点M 运动到正六边形的顶点时 ， 所以 ，则 ，即MA . MB = (| MO |2 1) 5, 7 - - -故选： B 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题9 （2024浙江一模）设 ， b() 是单位向量，则 ( + b()2 . b() 的最小值是 ( )A 1 B 0 C D 1【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】综合法；数学运算；对应思想；平面向量及应用【分析】 由向量的数量积运算及三角函数的有界性计算即可【解答】解：因为 ， b() 是单位向量，所以 ( + b()2 . b() =| |2 +2 . b()+ | b() |2 . b() = 2 + . b() ， 又因为 . b() =| | . | b() | .cos ，且 1 .cos .1， 所以 1 . . b() .1，所以 ( + b()2 . b() 的最小值为 2 1 1 故选： D 10【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题10 （2024重庆模拟）已知 ，| |= 1 ，a . = 0 ，| c + a | + | c a |= 4 ， 2 4 . + 3 = 0 ，则| c | 的最大值为 ( )A B 4 C D 【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【分析】由题意首先得出| c | 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可 【解答】解：如图所示：不妨设 a = O(-)-A- = (、, 0),b = O(-)-B- = (0, 1), O(-)-C(-) = (m, n), O(-)-D- = (p, q), A 1( 、, 0) ，满足 又 即 由椭圆的定义可知点 C 在以 A1 ， A 为焦点，长轴长为 4 的椭圆上运动，a = 2, c = 所以该椭圆方程为 ，而 2 4 . + 3 = 0 ，即 p2 + q2 4q + 3 = 0 ，即 p2 + (q 2)2 = 1 ，这表明了点D 在圆 x2 + (y 2)2 = 1 上面运动，其中点 E(0, 2) 为圆心， r = 1为半径，11又 | 一 d() |=| O- 一 O-D- |=| CD | .| CE | + | ED |=| CE | +1 ，等号成立当且仅当 C ， D ， E 三点共线，故只需求 | CE | 的最大值即可，因为点在椭圆上面运动，所以不妨设 C(2 cos, sin ) ，所以 +sin2一 ， 所以当sin = 一 一 且 C ， D ， E 三点共线时，| 一 d() | 有最大值 故选： A 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题二多选题（共 5 小题）11 （2024湖北模拟）在 ABC 中，A ，B ，C 所对的边为 a ，b ，c ，设 BC 边上的中点为M ， ABC 的面积为 S ，其中 ， b2 + c2 = 24 ，下列选项正确的是 ( ) 则 B S 的最大值为C AM = 3 D 角 A 的最小值为 3(兀)【答案】 ABC【考点】正弦定理【专题】转化思想；计算题；数学运算；解三角形；综合法【分析】对于 A ，由余弦定理可求bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解对于 B ，由已知利用基本不等式可求得bc.12 ，进而根据三角形的面积公式即可求解- - -对于 C ，由题意可得 2AM = AB + AC ，两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解对于 D ，利用基本不等式可求得bc .12 ，利用余弦定理可求 cos A开 ，结合范围 A (0, 兀) ，利用余弦函数 的性质即可求解【解答】解：对于 A ，若 ， 由余弦定理 a2 = b2 + c2 一 2bc cosA ，可得12 = b2 + c2 一 bc = 24 一 bc ，可得bc = 12 ，所以ABC 的面积为 故 A 正确；对于 B ，因为 24 = b2 + c2 开2bc ，可得bc .12 ，当且仅当 时等号成立，此时 a = b = c ，可得 ，所以ABC 的面积为 故 B 正确；12- - -对于 C ，因为 BC 边上的中点为M ，可得 2AM = AB + AC ， 所以两边平方，可得| AM |= 3 ，故 C 正确；可 得 解 得 -对于 D ，因为 24 = b2 + c2 开2bc ，可得bc .12 ，当且仅当 时等号成立， 所以 开因为 A (0, ) ，可得 ，所以 A 的最大值为 ，故D 错误故选： ABC 【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦函 数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题12（2024菏泽模拟）已知向量 在向量b() 方向上的投影向量为 向量 且 与 夹角则向量 可以为 ( )A (0, 2) B (2, 0) C D 【答案】 AD【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量的投影向量 【专题】平面向量及应用；转化法；转化思想；数学运算【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，以及向量的数量积运算，即可求解 解：向量 ， 则 ，向量 在向量b() 方向上的投影向量为 与 夹角 ，则 | 解得 13故 . b() =| | b() ，对于 A ，满足 ， | |= 2 ，符合题意，故 A 正确；对于 B ， . b() = 2 ，不符合题意，故 B 错误；对于 C ， . b() = 4 ，不符合题意，故 C 错误；对于 D ，满足 ， | |= 2 ，符合题意，故D 正确故选： AD 【点评】本题主要考查向量的投影公式， 以及向量的数量积运算，是基础题13 （2024兰陵县模拟）定义运算 在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b c ， 若 a ， b ， c 满足 则下列结论正确的是 ( )A sin A + sin C = 2 sin BB A : C = 1 : 2C 角 B 的最大值为 3(兀)D 若 a sin A = 4c sin C ，则 ABC 为钝角三角形 【答案】 ACD【考点】行列式；正弦定理；解三角形【专题】解三角形；整体思想；数学运算；综合法【分析】由新定义运算得 a + c = 2b ，对于选项 A ：由正弦定理边化角后知 sin A + sin C = 2 sin B 正确；对于 选项 B ：可举反例进行判断；对于选项 C ：结合余弦定理及基本不等式，可求得 cos B开 ，可知 C 正确；对于选项 D ：结合条件可得 ，计算 cos A 即可判断出 A 为钝角 解： 由 可知 整理可知 a + c = 2b ，由正弦定理可知： sin A + sin C = 2 sin B ， 即选项 A 正确；因为满足 a + c = 2b ， 但不满足 A : C = 1 : 2 ，即选项 B 不正确；14由 开 = （当且仅当 a = c 时取“ = ” ) ， 又 0 B 兀 ，所以 B 的最大值为3(兀) ，即选项 C 正确；由 a sin A = 4c sin C 可得 a2 = 4c2 ， 解得 a = 2c ，又 a + c = 2b ，从而可得 为最大边，即角 A 为钝角 即选项D 正确故选： ACD 【点评】本题考查了正弦定理，重点考查了余弦定理及基本不等式的应用，属中档题14 （2024博白县模拟）在 ABC 中， a = 2 ， ，则下列结论正确的是 ( )A 若b = 3 ，则 ABC 有两解B ABC 周长有最大值 6C 若 ABC 是钝角三角形，则 BC 边上的高 AD 的范围为D ABC 面积有最大值【答案】 ACD【考点】正弦定理；三角形中的几何计算；解三角形 【专题】分类讨论；解三角形；数学运算；综合法【分析】 A 选项，根据b sin A a b 得到结论，判断出 A 的真假； B 选项，由余弦定理和基本不等式求出周长的最大值，判断出B 的真假； C 选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得 A 在 CD 或 上， BC 边上的高 AD 的范围为 ； D 选项，在 C 选项的基础上求出面积最大值 解： A 选项 故b sin A a b ，故 ABC 有两解， A 正确；B 选项，由余弦定理得b2 + c2 a2 = 2bc cosA ，15即 化简得 由基本不等式得 故 当且仅当 b= c 时，等号成立，解得 故 ABC 的周长最大值为 错误； C 选项，由正弦定理得 故 ABC 的外接圆半径为 2， 如图所示，将 ABC 放入半径为 2 的圆中，其中BC = DE = 2 ， 上 ， 故 ， ABC 是钝角三角形故 A 在 CD 或 CE 上，故 BC 边上的高 AD 的范围为 正确；D 选项，由 C 选项可知，当 A 落在DE 的中点时， ABC 边 BC 上的高 A/F 最大， 其中 此时高 A/F 为 面积最大值为 正确故选： ACD 【点评】本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题15 （2024肇庆模拟）若 ABC 的三个内角 A ， B ， C 的正弦值为 sin A ， sin B ， sin C ，则 ( )1 1 1A sin A ， sin B ， sin C 一定能构成三角形的三条边B 一定能构成三角形的三条边C sin2 A ， sin2 B ， sin2 C 一定能构成三角形的三条边D 一定能构成三角形的三条边【答案】 AD【考点】正弦定理；解三角形；余弦定理16【专题】逻辑推理；转化思想；计算题；解三角形；综合法；三角函数的求值；数学运算 【分析】根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解【解答】解：对于 A ，由正弦定理得 sin A : sin B : sinC = a : b : c ，所以 sin A ， sin B ， sinC 作为三条线段的长一定能构成三角形，故 A 正确， 对于 B ，由正弦定理得例如 a = 5 ， b = 12 ， c = 13 ，则 由于 ， ，故不能构成三角形的三条边长，故 B 错误， 对于 C ，由正弦定理得 sin2 A: sin2 B : sin2 C = a2 : b2 : c2 ，例如： a = 3 、 b = 4 、 c = 5 ，则 a2 = 9 、 b2 = 16 、 c2 = 25 ，则 a2 + b2 = 25 = c2 ， sin2 A ， sin2 B ， sin2 C 作为三条线段的长不能构成三角形，故 C 不正确；对 于 D ， 由 正 弦 定 理 可 得 不 妨 设 a b c ， 故 、 , 故D 正确故选： AD 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题三填空题（共 5 小题）16（2024河南模拟）已知ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，C = 60o ，c = 7 ，若 a b = 3 ， D 为 AB 中点，则 【考点】余弦定理；解三角形【专题】整体思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；数学运算【分析】 由已知结合余弦定理先求出ab ，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解 【解答】解：因为 ABC 中， C = 60o ， c = 7 ， a b = 3 ，由余弦定理得， c2 = a2 + b2 2abcos60o = (a b)2 + ab ， 即 49 = 9 + ab ，所以 ab = 40 ，D 为 AB 中点，则 ，17所以 故答案为： 【点评】本题主要考查了余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题17 （2024泸州模拟） 已知向量 a ， 满足 | a |= 1 ， | |= 、 ， | a 2 |= 3 ，则 a . b = 1 【答案】1【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】整体思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【分析】对| a 2 |= 3 两边平方结合已知化简可求出 a . b 的值 解：因为 所以 | a 2 |2 = a2 4a . + 42 = 9 ，所以 1 4a . b + 4 3 = 9 ，解得 a . = 1 ， 故答案为：1【点评】本题考查平面向量的数量积及其运用，考查运算求解能力，属于基础题18（2024江西二模）在 ABC 中，已知D- = 3B-D- ，P 为线段 AD 的中点，若 B-P- = -A- + B-C- ，则 10 【考点】平面向量的数乘与线性运算；平面向量的基本定理【专题】转化思想；方程思想；计算题；数学运算；平面向量及应用；综合法【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得 由平面向量基本定理可得 、 的值， 进而计算可