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2025 年高考数学解密之常用逻辑用语
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•吉林四模） 已知命题 p : x > 1 ， | x |> 1 ，则命题 p 的否定为 ( )
A ． 3x > 1 ， | x | .1 B ． 3x .1 ， | x | .1 C ． x > 1 ， | x |< 1 D ． x .1 ， | x |> 1
2 ．（2024•天津模拟 ”是“ a < -1 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3 ．（2024•辽宁一模） 已知 a ， b ∈ R ．则“ a > 0 且b > 0 ”是“ 的
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4 ．（2024•济南二模）下列命题是真命题的是 ( )
A ． 5 > 2 且 7 > 8 B ． 3 > 4 或3 < 4
C ． 9 .7 D ．方程x2 - 3x + 4 = 0 有实根

5 ．（2024•回忆版） 已知命题 p : x ∈ R ， | x + 1|> 1 ，命题 q : 3x > 0 ， x3 = x ，则 ( )
A ． p 和 q 都是真命题 B ． p 和 q 都是真命题
C ． p 和 q 都是真命题 D ． p 和 q 都是真命题
6 ．（2024•顺义区一模） 已知 a > 0 ， b > 0 ，则“ a + b > 1 ”是“ )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7 ．（2024•天津模拟）“a > b ”是“ ac2 > bc2 ”的 ( )
A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
8 ．（2024•商洛模拟） 已知 a ， b ∈ R ，则“ ”是“ a3 > b3 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
9 ．（2024•天津模拟）若 xy ≠ 0 ，则“ x2 = y2 ”是 的
x y
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

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10 ．（2024•浙江模拟） 已知 a > 1 ， b > 1 ．设甲： aeb = bea ，乙： ab = ba ，则 ( )
A ． 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ． 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ． 甲是乙的充要条件
D ． 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•孝南区校级模拟） 关于 x 的不等式 x2 + mx + 2 > 0 对任意 x ∈ R 恒成立的充分不必要条件有 ( )

12 ．（2024•海州区校级模拟）下列命题正确的有 ( )
A ．若方程 x2 + y2 + mx — 2y + 3 = 0 表示圆，则 m 的取值范围是
B ．若圆 C 的半径为 1 ，圆心在第一象限，且与直线 4x — 3y = 0 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 (x — 2)2 + (y —1)2 = 1
C ．已知点 P(x, y) 在圆 C : x2 + y2 — 6x — 6y +14 = 0 上， 的最大值为 1
D ．已知圆 C1 : x2 + y2 — 2x — 6y —1 = 0 和 C2 : x2 + y2 —10x —12y + 45 = 0 ，圆 C1 和圆 C2 的公共弦长为
13 ．（2024•山东模拟）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，点 P 在线段 AD1 上运动，则下列 命题正确的有 ( )

A ．直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角为定值

B ．三棱锥D — BPC1 的体积为定值

C ．异面直线 C1P 和 CB1 所成的角为定值

D ．直线 CD 和平面BPC1 平行

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14 ．（2024•江西模拟） 已知函数 给出下列四个结论，其中正确的是 ( )
A ．曲线 y = f(x) 在 x = —1 处的切线方程为x + y + 1 = 0
B ． f(x) 恰有 2 个零点
C ． f(x) 既有最大值，又有最小值
D ．若 x1x2 > 0 且 f(x1 ) + f(x2 ) = 0 ，则 x1x2 = 1

15 ．（2024•重庆模拟）命题“存在 x > 0 ，使得 mx2 + 2x —1 > 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A ． m > —2 B ． m > —1 C ． m > 0 D ． m > 1
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•北京模拟）命题“ 3x ∈ R ， x2 + 1开0 ”的否定是 ．

17 ．（2024•辽宁模拟）若“ 3x ∈(0, +∞) ，使 x2 — ax + 4 < 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围为 ．

18 ．（2024•潍坊二模） 已知命题 p : 3x ∈[—1 ， 1] ， x2 > a ，则 p 为 ．
19 ．（2024•安徽模拟） 已知下列命题：
①命题“ 3x ∈ R ， x2 + 1 > 3x ”的否定是“ x ∈ R ， x2 + 1< 3x ”；
②已知 p ， q 为两个命题，若“ p √ q ”为假命题，则“ (p) Λ ( q) 为真命题 ”；
③“ a > 2 ”是“ a > 5 ”的充分不必要条件；
④“若 xy = 0 ，则 x =0 且 y = 0 ”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是 ．
20 ．（2024•安康模拟） 已知命题 若 p 为假命题，则 a 的取值范围是 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2023•向阳区校级模拟） 已知集合 A = {x | 4x — x2 — 3 > 0} ，集合B = {x | 2m < x < 1 — m} ．
（1）若 A∩ B = ⑦ , 求实数 m 的取值范围；
（2）命题p : x ∈ A ，命题 q : x ∈ B ，若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
22．（2023•酉阳县校级模拟）命题 p ：任意 x ∈ R ，x2 — 2mx — 3m > 0 成立；命题 q ：存在 x ∈ R ，x2 + 4mx + 1 < 0 成立．
（1）若命题 q 为假命题，求实数 m 的取值范围；
（2）若命题 p 和 q 有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围．
23 ．（2023•大荔县一模） 已知集合 A = {x | (x — a)(x + a + 1) .0} ， B = {x | x.3 或 x开6} ．

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（1）当 a = 4 时，求 A∩ B ；
（2）当 a > 0 时，若“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的充分条件，求实数 a 的取值范围．
24 ．（2023•和平区校级一模）已知命题 p ：函数在 上单调递增；命题 q ：函数 在 上单调递减．
（1）若 q 是真命题，求实数 a 的取值范围；
（2）若 p ， q 中有一个为真命题．一个为假命题，求实数 a 的取值范围．
25 ．（2022•高新区校级模拟）设命题 p ：实数 x 满足 x2 — 4ax + 3a2 < 0 ，其中 a > 0 ，命题 q ：实数 x 满足

（1）若 a = 1 ，且 p 且 q 为真，求实数 x 的取值范围；
（2）非 p 是非 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．

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2025 年高考数学解密之常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•吉林四模） 已知命题 p : x > 1 ， | x |> 1 ，则命题 p 的否定为 ( )
A ． 3x > 1 ， | x | .1 B ． 3x .1 ， | x | .1 C ． x > 1 ， | x |< 1 D ． x .1 ， | x |> 1 【答案】 A
【考点】求全称量词命题的否定
【专题】简易逻辑；定义法；对应思想；逻辑推理 【分析】根据命题的否定的定义求解．
【解答】解：命题 p : x > 1 ， | x |> 1 ，则命题 p 的否定为： 3x > 1 ， | x | .1 ． 故选： A ．
【点评】本题考查命题的否定，属于基础题．
2 ．（2024•天津模拟 ”是“ a < -1 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B
【考点】充分条件与必要条件
【专题】整体思想；不等式；数学运算；综合法
【分析】解出不等式 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
【解答】解：不等式 等价于 等价于 ， 所以 a(a2 -1) < 0 ，
即 a(a -1)(a +1) < 0 ，解得 0 < a < 1 或 a < -1 ，
故 a < -1 能推出成立，但是成立不一定有 a < -1 ，
所以 ”是“ a < -1 ”的必要不充分条件．
故选： B ．
【点评】本题考查充分必要条件，考查了集合的包含关系，属于基础题．
3 ．（2024•辽宁一模） 已知 a ， b ∈ R ．则“ a > 0 且b > 0 ”是“ 的
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

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C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；整体思想；综合题；逻辑推理 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【解答】解：当 a > 0 且b > 0 时， ，
则 开 ，当且仅当 即 a =b 时取等号， 所以充分性成立；
当 a < 0 且b < 0 时 ，
则 开 ，当且仅当 即 a =b 时取等号， 所以必要性不成立；
所以“ a > 0 且b > 0 ”是 开2 ”的充分不必要条件．
故选： A ．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，涉及基本不等式的应用，属于基础题．
4 ．（2024•济南二模）下列命题是真命题的是 ( )
A ． 5 > 2 且 7 > 8 B ． 3 > 4 或3 < 4
C ． 9 .7 D ．方程x2 — 3x + 4 = 0 有实根 【答案】 B
【考点】四种命题
【专题】简易逻辑；综合法；逻辑推理；整体思想 【分析】根据真命题的定义判断．
【解答】解：对于 A ， 7 > 8 不成立，所以 5 > 2 且 7 > 8 是假命题，故 A 错误； 对于 B ， 3 < 4 成立，所以3 > 4 或 3 < 4 是真命题，故 B 正确；
对于 C ， 9.7 是假命题，故 C 错误；
对于 D ，因为△ = (—3)2 — 4× 4 = —7 < 0 ，所以方程 x2 — 3x + 4 = 0 无实根，故D 错误． 故选： B ．
【点评】本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题．
5 ．（2024•回忆版） 已知命题 p : x ∈ R ， | x + 1|> 1 ，命题 q : 3x > 0 ， x3 = x ，则 ( )

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A ． p 和 q 都是真命题 B ． p 和 q 都是真命题
C ． p 和 q 都是真命题 D ． p 和 q 都是真命题 【答案】 B
【考点】复合命题及其真假；全称量词命题的否定
【专题】计算题；简易逻辑；转化思想；数学运算；综合法
【分析】判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项．
【解答】解：命题： p : x ∈ R ，| x + 1|> 1 ，x = 一1时，不成立，所以命题： p 是假命题；则 p 是真命题． 命题 q : 3x > 0 ， x3 = x ， x = 1 时成立，所以命题 q 是真命题， q 是假命题；
所以 p 和 q 都是真命题．
故选： B ．
【点评】本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题．
6 ．（2024•顺义区一模） 已知 a > 0 ， b > 0 ，则“ a + b > 1 ”是“
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；转化思想；计算题；不等式
【分析】根据题意，利用不等式的性质与基本不等式，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答 案．
【解答】解：当 a = 0.01 ， b = 1 时，满足 a +b > 1 ，但 所以充分性不成立；
当 时， 由 a > 0 且b > 0 ，可得 即 a + b > 1 ，必要性成立．
综上所述，“a + b > 1 ”是“ 的必要不充分条件．
故选： B ．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用、充要条件的定义与判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基 础题．
7 ．（2024•天津模拟）“a > b ”是“ ac2 > bc2 ”的 ( )
A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A

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【考点】充分条件必要条件的判断
【专题】对应思想；转化法；简易逻辑
bc2 ”的结论，因为必须有 c2 > 0 这一条件； “ a > b ”，即可得出答案．
【分析】不等式的基本性质，“a > b ”不一定能得出“ ac2 > 反过来若“ ac2 > bc2 ”，说明c2 > 0 一定成立，一定可以得出 【解答】解：当 c = 0 时， a > b i ac2 > bc2 ；
当 ac2 > bc2 时，说明 c ≠ 0 ，
有 c2 > 0 ，得 ac2 > bc2 → a > b ．
故 a > b ”是“ ac2 > bc2 ”的必要不充分条件，
故选： A ．
【点评】本题以不等式为载体，考查了充分必要条件的判断，充分利用不等式的基本性质是推导不等关系， 得出正确结论的重要条件．
8 ．（2024•商洛模拟） 已知 a ， b ∈ R ，则“ ”是“ a3 > b3 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A
【考点】充分条件与必要条件
【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；简易逻辑
【分析】根据不等式的性质与幂函数 y = x3 的单调性，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答 案．
解：若 则 a > b > 0 ，可得 a3 > b3 ，充分性成立；
若 a3 > b3 ，则 a > b ，但不一定 a 、 b 都是正数，推不出 故必要性不成立．
综上所述 ”是“ a3 > b3’’ 的充分不必要条件．
故选： A ．
【点评】本题主要考查的知识点是不等式的基本性质、充要条件的定义与判断，同时考查了逻辑推理能力， 属于基础题．
9 ．（2024•天津模拟）若 xy ≠ 0 ，则“ x2 = y2 ”是 的
x y
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B

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【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；转化思想；计算题；数学运算
【分析】根据题意对两个条件进行化简，结合充要条件的定义判断出正确答案．
解：若 x2 = y2 ，则 x = y 或 x = 一y ．当 x = y 时 当 x = 一y 时 一2 ．
所以“ x2 = y2 ”不是 的充分条件；
x y
当 一2 时，即 y + x = x2 + y2 = 一2 → (x 一 y)2 = 0 → x = y → x2 = y2 ，
x y x y xy
所以 一2 ”是“ x2 = y2 ”的必要条件．
x y
综上所述，若 xy ≠ 0 ，则“ x2 = y2 ”是“ 的必要不充分条件．
x y
故选： B ．
【点评】本题主要考查充分必要条件的定义与判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
10 ．（2024•浙江模拟） 已知 a > 1 ， b > 1 ．设甲： aeb = bea ，乙： ab = ba ，则 ( )
A ． 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ． 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ． 甲是乙的充要条件
D ． 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】 A
【考点】充分条件与必要条件
【专题】综合法；简易逻辑；整体思想；综合题；逻辑推理
【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案．
【解答】解：依题意， a > 1 ， b > 1 ， 对于甲： aeb = bea ，即 ，

所以 f(x) 在 (1, +∞) 上单调递增，故 a = b ．
对于乙： ab = ba ，两边取以 e 为底的对数得 lnab = lnba ， blna = alnb ， 由于 a > 1 ， b > 1 ，所以 lna > 0 ， lnb > 0 ，则 ，

所以 g (x) 在区间 (1, e) 上 g’(x) > 0 ， g (x) 单调递增，

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在区间 (e, +∞) 上 g’(x) < 0 ， g (x) 单调递减，
所以由 ，即g （a）= g （b），若 a ，b ∈ (1 ，e] 或 a ，b ∈ [e ，+∞) ，则 a = b ，若 a ，b 不在 g (x) 的同一单调区间，则 a ≠ b ，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选： A ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•孝南区校级模拟） 关于 x 的不等式 x2 + mx + 2 > 0 对任意 x ∈ R 恒成立的充分不必要条件有 ( )

【答案】 AC
【考点】充分条件与必要条件
【专题】数学运算；综合法；简易逻辑；转化思想；不等式的解法及应用
【分析】先求不等式 x2 + mx + 2 > 0 对任意x ∈ R 恒成立的充要条件，然后根据选项判断与其包含关系即可．
【解答】解：当不等式 x2 + mx + 2 > 0 对任意x ∈ R 恒成立时，有△ = m2 — 4× 2 < 0 ， 解得 ，
记 ．
由题知，集合 A 的真子集即为不等式 x2 + mx + 2 > 0 对任意 x ∈ R 恒成立的充分不必要条件． 故选： AC ．
【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12 ．（2024•海州区校级模拟）下列命题正确的有 ( )
A ．若方程 x2 + y2 + mx — 2y + 3 = 0 表示圆，则 m 的取值范围是
B ．若圆 C 的半径为 1 ，圆心在第一象限，且与直线 4x — 3y = 0 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 (x — 2)2 + (y —1)2 = 1
C ．已知点 P(x, y) 在圆 C : x2 + y2 — 6x — 6y +14 = 0 上， 的最大值为 1
D ．已知圆 C1 : x2 + y2 — 2x — 6y —1 = 0 和 C2 : x2 + y2 —10x —12y + 45 = 0 ，圆 C1 和圆 C2 的公共弦长为 2·、
【答案】 BD
【考点】圆的标准方程；命题的真假判断与应用

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【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；简易逻辑；逻辑推理；数学运算
【分析】利用圆的方程的体积求解m 的范围判断 A ；通过已知条件求解圆的方程，判断 B ；利用直线与圆 的位置关系判断 C ；求解公共弦长，判断D 即可．
【解答】解：对于 A ，圆方程可化为 由于该方程表示圆，故 解得
故 A 错误；
对于 B ， : 圆 C 的半径为 1 ，圆心在第一象限，且与直线 4x — 3y = 0 和 x 轴都相切， : 圆心的纵坐标是 1， 设圆心坐标 (a, 1) ，则 又 a > 0 ， : a = 2 ，
: 该圆的标准方程是 (x — 2)2 + (y—1)2 = 1 ，故 B 正确；
对于 ，即 kx — y = 0 ，则圆的标准方程为 (x — 3)2 + (y — 3)2 = 4 ， 则圆心坐标为 (3, 3) ，半径 R = 2 ，则圆心到直线的距离 d .R ，即 ， 即 平方得 5k2 —18k + 5 .0 ，解得
故 的最大值是 故 C 错误；
对于 D ，两圆方程相减，得圆 C1 和圆 C2 的公共弦所在直线方程为： 8x + 6y — 46 = 0 ，即 4x + 3y — 23 = 0 ． 圆心 C2 (5, 6) 到直线 4x + 3y — 23 = 0 的距离
: 圆 C1 和圆 C2 的公共弦长 故D 正确．
故选： BD ．
【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，命题真假的判断，是基础题．
13 ．（2024•山东模拟）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，点 P 在线段 AD1 上运动，则下列 命题正确的有 ( )

A ．直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角为定值

B ．三棱锥D — BPC1 的体积为定值

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C ．异面直线 C1P 和 CB1 所成的角为定值

D ．直线 CD 和平面BPC1 平行
【答案】 BCD
【考点】命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，判定 A 、 B 、 C 、 D 的结论．
【解答】解：如图所示：
对于 A ，由线面所成角的定义，令BC1 与 B1C 的交点为 O ，可得 上CPO 即为直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的 角，当 P 移动时 上CPO 是变化的，故 A 错误．
对于 B ，三棱锥D 一 BPC1 的体积等于三棱锥 P 一 DBC1 的体积，而 ΔDBC1 大小一定，

: P ∈ AD1 ，而 AD1 / / 平面 BDC1 ，

: 点 A 到平面DBC1 的距离即为点 P 到该平面的距离，

: 三棱锥D 一 BPC1 的体积为定值，故 B 正确；

对于 C ， :在棱长为 1 的正方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，点P 在线段 AD1 上运动，

: CB1 丄 平面 ABC1D1 ， : C1P 平面 ABC1D1 ，

: CB1 丄 C1P ，故这两个异面直线所成的角为定值 90O ，故 C 正确； 对于 D ，直线 CD 和平面 ABC1D1 平行，

: 直线 CD 和平面BPC1 平行，故D 正确． 故选： BCD ．

【点评】本题考查的知识要点：正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的 夹角，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

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14 ．（2024•江西模拟） 已知函数 给出下列四个结论，其中正确的是 ( )
A ．曲线 y = f(x) 在 x = —1 处的切线方程为x + y + 1 = 0
B ． f(x) 恰有 2 个零点
C ． f(x) 既有最大值，又有最小值
D ．若 x1x2 > 0 且 f(x1 ) + f(x2 ) = 0 ，则 x1x2 = 1
【答案】 BD
【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用；数学运算
【分析】先求出函数的定义域，当 x > 0 时，求导，利用导数的几何意义即可求得切线方程，可判断 A ； 当 x > 0 时，判断导数 f’(x) < 0 ，即可得单调性，同理可得 f(x) 在 (—∞, 0) 上的单调性，即可判断 C ；
由函数的单调性及 f(—1) = 0 ， f （1） = 0 ，可判断 B ；
当 x1 > 0 ，x2 > 0 ，由 f(x1 ) + f(x2 ) = 0 得 ，由单调性可得 x1x2 = 1 ，同理可证当 x1 < 0 ，x2 < 0 时，命题也成立，可判断D ．
【解答】解：依题意，对于 A ， f(x) 的定义域为 (—∞ , 0) (0 ， +∞) ， 当 x > 0 时
所以 f’（1） = —1 ，可知曲线在点 (1, 0) 处的切线方程为 y — 0 = —(x —1) ，即 x + y — 1 = 0 ，所以 A 错误； 对于 B ， f(—1) = 0 ， f （1） = 0 ，所以 B 正确；
对于 C ，因为 所以 f(x) 在 (0, +∞) 上为减函数；
同理可求得 f(x) 在 (—∞, 0) 上为减函数，所以 C 错误；
对于 D ，若x1 > 0 ，x2 > 0 ，由 f 即
因为 f(x) 在 0 ， +∞) 上为减函数，所以 ，即 x1x2 = 1 ，同理可证当 x1 < 0 ， x2 < 0 时，命题也成立， 故D 正确．
故选： BD ．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线在某一点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15 ．（2024•重庆模拟）命题“存在 x > 0 ，使得 mx2 + 2x —1 > 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )

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A ． m > 一2 B ． m > 一1 C ． m > 0 D ． m > 1 【答案】 CD
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；转化思想
【分析】转化为 ，结合二次函数的性质求得 m > 一1 ；进而求解结论．
解：存在 x > 0 ，使得mx2 + 2x 一1 > 0 ，即 一 2 一1 ， 即 x = 1 时， 的最小值为 一1 ，
故 m > 一1 ；
所以命题“存在 x > 0 ，使得 mx2 + 2x 一1 > 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是： {m | m > 一1}的真子集， 结合选项可得，符合条件的答案为： CD ．
故选： CD ．
【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•北京模拟）命题“ 3x ∈ R ， x2 + 1开0 ”的否定是 ∈ R ， x2 + 1 < 0 ．
【答案】 ∈ R ， x2 + 1 < 0 ．
【考点】求存在量词命题的否定
【专题】简易逻辑；转化思想；数学运算；转化法 【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题“ 3x ∈ R ， x2 + 1开0 ”的否定是： ∈ R ， x2 + 1 < 0 ．
故答案为： ∈ R ， x2 + 1 < 0 ．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
17．（2024•辽宁模拟）若“3x ∈(0, +∞) ，使x2 一 ax + 4 < 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围为 (一∞ , 4] ． 【答案】 (一∞ , 4] ．
【考点】存在量词命题的否定；命题的真假判断与应用
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理
【分析】根据题意，若“3x ∈(0, +∞) ，使 x2 一 ax + 4 < 0 ”是假命题，则其否定“x ∈(0, +∞) ，都有 x2 一 ax + 4开0 ”

是真命题，则有 x2 一 ax + 4开0 在 (0, +∞) 上恒成立，由此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，若“ 3x ∈(0, +∞) ，使 x2 一 ax + 4 < 0 ”是假命题，

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则其否定“ x ∈(0, +∞) ，都有 x2 — ax + 4开0 ”是真命题，

即 x2 — ax + 4开0 在 (0, +∞) 上恒成立，
变形可得
x x
又由 当且仅当x =2 时等号成立，
若 在 (0, +∞) 上恒成立， x x
必有 a .4 ，即 a 的取值范围为 (—∞ , 4] ．
故答案为： (—∞ , 4] ．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定方法，属于基础题．
18 ．（2024•潍坊二模） 已知命题 p : 3x ∈[—1 ， 1] ， x2 > a ，则 p 为 x ∈[—1 ， 1] ，x2 .a ．

【答案】 x ∈[—1 ， 1] ， x2 .a ．
【考点】求存在量词命题的否定
【专题】综合法；简易逻辑；整体思想；数学抽象 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可．
【解答】解： 由特称命题的否定为全称命题可得 p 为 x ∈[—1 ， 1] ， x2 .a ．

故答案为： x ∈[—1 ， 1] ， x2 .a ．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
19 ．（2024•安徽模拟） 已知下列命题：
①命题“ 3x ∈ R ， x2 + 1 > 3x ”的否定是“ x ∈ R ， x2 + 1< 3x ”；
②已知 p ， q 为两个命题，若“ p √ q ”为假命题，则“ (p) Λ ( q) 为真命题 ”；
③“ a > 2 ”是“ a > 5 ”的充分不必要条件；
④“若 xy = 0 ，则 x =0 且 y = 0 ”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是 ② .
【考点】 2K ：命题的真假判断与应用
【专题】38：对应思想；48：分析法； 5L ：简易逻辑
【分析】① , 命题“ 3x ∈ R ， x2 + 1 > 3x ”的否定是“ x ∈ R ， x2 + 1 .3x ”；
② , 若“ p √ q ”为假命题 → p 、 q 均为假命题则 p 、 q 均为真 → “ (p) Λ ( q) 为真命题；
③ , “ a > 2 ”是“ a > 5 ”的必要不充分条件；
④ , “若 xy = 0 ，则 x =0 且 y = 0 ”是假命题，命题与其逆否命题同真假．

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【解答】解：对于① , 命题“ 3x ∈ R ， x2 + 1 > 3x ”的否定是“ x ∈ R ， x2 + 1 .3x ”，故错；
对于② , 若“ p √ q ”为假命题 → p 、 q 均为假命题则 p 、 q 均为真 → “ (p) Λ ( q) 为真命题，故正 确；
对于③ , “ a > 2 ”是“ a > 5 ”的必要不充分条件，故错；
对于④ , “若 xy = 0 ，则 x =0 且 y = 0 ”是假命题，命题与其逆否命题同真假，故错． 故答案为：②
【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．
20．（2024•安康模拟）已知命题 若 p 为假命题，则 a 的取值范围是 (1, +∞) ． 【考点】全称量词命题真假的应用
【专题】转化法；数学运算；转化思想；简易逻辑
【 分 析 】 根 据 全 称 命 题 的 真 假 可 知 为 真 命 题 ， 由 此 构 造 函 数
结合单调性求得最值，即可求得答案．
【解答】解： 由题意知命题为假命题， 则 为真命题，
设 则 a > f min ，
由于 y = 2x 在 R 上单调递增，故 在 上单调递减，
则 故 a > 1 ．
故答案为： (1, +∞) ．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，